Прогнозирование динамики роста цен на молоко

 

   T – период упреждения, – средний темп роста (в степени упреждения). Расчеты представлены в табл. 5, в которой отражен прогноз развития .

        Таблица 5 -  Расчетные значения среднего темпа роста

Прогнозное значение	Цены на молоко	Закупочные цены	Производство
Y2013=	160,36р.	102,01р.	150,34р.
Y2014=	204,10р.	103,03р.	185,27р.
Y2015=	259,76р.	104,06р.	228,31р.
Y2020=	867,47р.	109,37р.	648,87р.

      

 

 

     В соответствии с изучением обобщающих характеристик (средний темп роста, средний абсолютный прирост, средний темп прироста) можно судить о существенном росте показателей цен на молочную продукцию. По сравнению с 2012г цена на молоко со126 рублей повысится до 160 рублей уже  на следующий год,  т.е.  вырастит  почти на 34 рубля).  Графически прогнозные значения роста цен по среднему  темпу роста изображены на рис. 3:

         Рисунок 3 – Прогноз развития производства молочной продукции на      основе среднего темпа   роста

Цепной темп роста равен отношению текущего уровня (у_r,) и предыдущего (у_r-1):

%,

где t = 2, 3, ...n; n -  число уровней или длина временного ряда.

          Базисный темп роста может быть представлен в виде:

100%,

где у_t, - текущий уровень временного ряда;

 y_b  -  уровень временного ряда, принятый за базу сравнения

    Темп роста всегда положителен. Если темп роста равен 100%, то значение уровня не изменилось, если меньше 100%, то значение уровня понизилось, больше 100%-повысилось.

      Цепной темп прироста может быть представлен в виде:

%,

где y_t - текущий уровень временного ряда; t = 2, 3, ... n; n - число уровней или длина временного ряда. [4]  Преобразовав выражение (8), можно показать зависимость цепного темпа прироста от соответствующего темпа роста:

% - 100%=Т_r -100%

где Т_r   -  цепной темп роста.

   Результаты представленных  показателей динамики представлены  в табл. 6.

Таблица 6 –  Цепные, Базисные темпы роста и  прироста

     В результате использования данных  методов для анализа динамики  развития роста цен на молоко  наиболее точно отражает динамику  изменения исходных данных средний  темп роста. Например, на основе  прогноза по среднему абсолютному  приросту цена на молоко достигнет  к 2015году 130,05рублей, на основе  прогноза среднего темпа роста  259,76 рублей. Характер  развития  процесса носит умеренный характер. Показатели уровней ряда достаточно равномерно увеличиваются с каждым годом, без каких-либо спадов в производстве.

 

 

 

           3. Прогнозирование тенденции развития с помощью моделей кривых роста

       Основная задача сглаживания временного ряда состоит в устранении неверных и сезонных колебаний для определения асимптотического поведения временного ряда – тренда. Сглаженные данные могут использоваться для прогноза и как часть анализа сезонных колебаний. [9]  

          

          3.1Сглаживание кривыми роста

        При изучении временных рядов основная задача – выявить закономерность (тенденцию) в изменении фактических значений ряда, которую называют трендом. Линия тренда сглаживает фактические значения показателя временного ряда и выражает общую тенденцию изменения параметра. При моделировании экономического процесса, заданного временным рядом, путем сглаживания исходного ряда с помощью кривых роста необходима проверка соответствия выбранной модели реальному процессу (явлению).

Процесс моделирования  включает следующие этапы:

• предварительный анализ данных;
• определения наличия тренда;
• в случае наличия тренда отбор одной или нескольких кривых роста и определения их параметров для получения трендовых моделей исходного временного ряда;
• проверка адекватности модели анализируемым данным, обоснование использования этих моделей для анализа и прогнозирования изучаемого экономического процесса (явления.);
• определение точности модели.

         В табл.1(стр16) представлены данные о ценах на молоко за 2010-2012гг. Требуется рассчитать прогноз цен на будущие периоды. [5] Графически динамика роста цен изображена на рис. 4:

             Рисунок 4 - Исходный ряд

   Как видно из построенного графика, четко прослеживается тенденция к увеличению роста цен в конце периода. Проанализировав полученный график можно сделать вывод о не совсем линейном развитии процесса, предположив об  параболическом развитии, который носит волнообразный характер.

          3.2 Оценка параметров выбранной кривой

         Для расчета коэффициентов параболического тренда воспользуемся выражениями в таблице, полученными из системы уравнений после переноса в начала координат. Так как число уровней нечетное n=19, то центральный уровень (10) принимается за начало отсчета, ему соответствует t=0. Вышестоящие уровни нумеруем с шагом -1, нижестоящие - с шагом +1.

Рассчитаем  коэффициенты параболической модели:

= 106,130031    
= 0,0500516

0,938596491

 

Следовательно, уравнение  параболического тренда имеет вид:

 

 

 

                      

 

                            

                             Таблица 6 – Расчеты коэффициентов модели

Согласно этой модели оценка уровня ряда при t=0 равна 106,13 руб.  В  соответствии с моделью изменение  цен на молоко в среднем составит 0,94руб . Для прогнозирования на базе полученной модели необходимо подставить в нее соответствующее значение времени . Сделаем  точечный прогноз на основе кривых роста на 2013-2014гг.  при t=20 и 21, соответственно:

                    Рассчитанное прогнозное значение:

106,13 + 0,94∙20 + 0,05 ∙400=145,13(руб.)

106,13 + 0,94∙21 + 0,05 ∙441=147,93(руб.)

На рис. 5 изображена графическая иллюстрация сглаженного и исходного рядов цен на молоко методом кривой роста:

            Рисунок 5 – Параболическая модель сглаженного ряда

        3.3 Проверка адекватности выбранной кривой прогнозируемому процессу. Оценка точности модели 

       а) Проверка гипотезы о существовании тенденции

        Рассмотрим  наиболее часто используемые  на практике критерии проверки  «наличия-отсутствия» тренда: критерий  серий, основанный на медиане  выборки. Для ранжированного ряда с нечетным числом индивидуальных величин (например, 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10) медианой будет величина, которая расположена в центре ряда, т.е. пятая величина. В нашем случае  n=19( нечетное )  Me=10 (=107

(19)=2 – число  серий;

(19) = 9 – протяженность самой большой серии.

Делаем проверку:

                      

  

Получаем:

9 < 9,89

2 < 5

 Сравнения медианы,  в нашем случае Me =107, с фактическими значениями для выявления серий представлены в табл. 7:

                                      Таблица 7 – Критерий серий

         Второе неравенство не выполняется,  так как слишком мало число  серий. Следовательно, гипотеза  об отсутствии тренда отвергается  и это говорит о том, что  в данной параболической модели  с вероятностью 0,95 тренд во временном  ряду присутствует, что не согласуется  с выводом, сделанным с помощью  метода Фостера-Стюарта т.е. данная гипотеза отвергается.

        б) Оценка адекватности и точности трендовых моделей

        Модель  считается адекватной, если остаточное  отклонение временного ряда  обладала определенным набором свойств:

        1.Случайность колебаний уровней остаточной последовательности;

         2. Независимость значений уровней ряда остаточных отклонений;

         3. Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

         4. Равенство математического ожидания случайной компоненты нулю.

Рассмотрим проверку каждого  из свойств данной модели.

1. Проверка случайности колебаний остаточных отклонений означает проверку правильности выбора тренда

      В нашем  случае для проверки данного  свойства воспользуемся критерием  поворотных точек. В соответствии с этим критерием каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитываем « P » - сумму поворотных точек .  В данных случаях t считается поворотной точкой:

 

 

      Результаты расчетов, проведенные в Excel, представлены в табл. 8:

                           Таблица 8 – Расчет критерия поворотных точек

Критерий поворотных точек
е	p
-1,72	-
0,19	-
1	-
1,71	+
0,32	-
-0,17	-
-1,76	+
-1,45	-
-0,24	-
0,87	-
1,88	+
1,79	-
1,6	-
1,31	-
-1,08	-
-3,57	-
-4,16	+
-3,85	-
7,36	-
	Сумма = 4

В результате расчетов, при n=19  p=4 (количество «+»).Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить следующим неравенством, которое должно строго выполняться в случайном ряду чисел:

 

         Данное неравенство не выполняется,  так как 4<8 значит,  трендовая модель считается неадекватной по данному критерию.

         2.Проверка независимости значимости уровней случайной компоненты

           Проверка отсутствия автокорреляции  может осуществляться по ряду  критериев, наиболее распространенным  из которых является d-критерий Дарбина-Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле :

 

           Результаты расчетов показателей  для критерия Дарбина-Уотсона представлены в табл. 9:

                    Таблица 9 – Расчет критерия Дарбина-Уотсона

      

        Применение  критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле, с табличными значениями (верхними и нижними границами). При  K=2 (парабола 2-го порядка), n=19, = 0,05 получаем следующие табличные значения:

d1=1,08       

d2=1,53

Так как  d1<d<d2     1,08 <1,22<1,53 , то нельзя сделать определенный вывод по имеющимся данным.

          3. Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения

           Может быть произведена с помощью метода Вестергарда и RS-критерия.  RS-критерий рассчитывается по следующей  формуле:

 

           Где , – максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

 – среднеквадратическое  отклонение ряда остатков

 

В соответствии с данными  формулами делаем расчеты для  RS-критерия:

= 7,36

  = - 4,16

=   =

  Подставляем полученные  значения в формулу:

  = 4,38

      Значение RS-критерия сравнивается с табличным RS-критериями при числе наблюдений n= 19 и уровне значимости 0,05 нижней и верхней границами данного отношения. Критические уровни по RS-критерию 3,14 – 4,43. Наше значение 4,38 попадает в данный интервал, значит,  гипотеза принимается.

2. Проверка равенства математического ожидания  уровней ряда остатков нулю

     Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы. С этой целью стоится статистика на основе t-критерия Стьюдента: