Математические модели систем массового обслуживания

При этом, вероятность  того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного  отклонения , равна 0,6826.

6. В точках E и G, при и , значение функции f(x) равно

а вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного  отклонения, равна 0,9544.

7. Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D, при и , очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f(x) очень мало

а вероятность того, что  абсолютная величина отклонения случайной  величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного  отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется "правило трех сигм".

Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной  величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.

При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.

Изменение величины параметра  (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси X и прижимается к ней. При убывании ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси X и становится более "островершинной".

При этом, при любых значениях и площадь ограниченная нормальной кривой и осью X, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси X нормальной кривой, равна 1).

Нормальное распределение  с произвольными параметрами и , т. е. описываемое дифференциальной функцией

называется общим нормальным распределением.

Нормальное распределение с параметрами и , т. е. описываемое дифференциальной функцией

называется нормированным  распределением (рис). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:

 
Рис.  

Интегральная функция  общего нормального распределения  имеет вид:

Интегральная функция  нормированного распределения имеет вид:

где

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

Пронормируем это выражение. Для этого введем новую переменную z

Откуда:

Новые пределы интегрирования:

Для

для

Тогда, после нормирования, вероятность того, что случайная  величина X примет значение, принадлежащее  интервалу (c, d) равна

Пользуясь функцией Лапласа (функция табулирована)

окончательно получим

Пример.

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и . Найти вероятность того, что X примет значение в интервале (10, 50).

Решение:

По условию: .

Тогда

Пользуясь готовыми таблицами  Лапласа, имеем:

Отсюда 

 

Задачу моделирования  случайных величин с нормальным законом распределения решают в  несколько этапов:

1. Вначале имитируют равномерное распределение и получают последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1].
2. Затем, используя равномерно распределенную псевдослучайную величину, получают последовательность псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения (чаще всего в нормированном виде, т.е. М(X) = 0. ).

Пусть Y – равномерно распределенная случайная величина на интервале, [0,1]. Необходимо получить случайную величину X c нормальным законом распределения.

Различают три основных способа формирования последовательности нормально распределенных случайных величин:

1. Прямое преобразование псевдослучайного числа y являющегося реализацией случайной величины Y, равномерно распределенной на интервале [0,1], с помощью некоторой функции W в число x, которое может рассматриваться как реализация случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения.
2. Отсеивание псевдослучайных чисел из первоначальной последовательности Y равномерно распределенной на интервале [0,1], таким образом, чтобы оставшиеся числа были распределены по нормальному закону.
3. Моделирование условий, соответствующих центральной предельной теореме теории вероятности.

Рассмотрим некоторые  методы моделирования нормально  распределенной случайной величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Моделирование М/Е₃/1/3.

 

 

# include <stdlib.h>

# include <stdio.h>

# include <math.h>

   # define n 100

   # define k 20

void main()

{ int y, i, puass[k], teoria[k];

   float u, p, l, s, xx=0;

   printf ("l="), scanf ("%f, &l");

   for (i=0; i<k; i++), puass[i]=0;

   for (i=1; i<=n; i++);

   u=rand()/32767.0;

   p=exp(-l); y=0; s=p;

   while(u>s)

   { y++; p=l*p/y; s=s+p;

   };

   piass[y]++;

};

   p=exp(-l);

   for (i=0; i<k; i++)

  { teoria[i]=p*n; p=p*l/(i++);

  }

  for (i=0; i<k; i++)

{ printf ("\n%d%d", puass[i], teoria[i]);

    if (teoria [i]!=0)

    xx=xx+pow (1.0*(teoria[i], puass[i]), 2) / teoria[i];

};

   printf ("\n kriteriy=%10.7f",xx);

};

 

     Обозначения.

 

     Программа  содержит обращения к стандартной  библиотеке, в которой находятся  определение типов, констант, макросов, функций и классов. Чтобы использовать их в программе, требуется с помощью директивы #include включить в исходный текст программы заголовочные файлы, в которых находятся соответствующие объявления. Сами библиотечные функций хранятся в скомпилированном виде и подключаются к программе на этапе компоновки.

     Фyнкция main начинает выполняться в момент вызова. Любая функция должна быть объявлена и определена. Как и для других величин, объявлении может быть несколько, а определение только одно.

     Тип данных  для хранения вещественных значении  с плавающей запятой тип float.

     Директива #define определяет подстановку в тексте программ. Она используется для определения символов, управляющих условной компиляцией.

     Функции ввода и вывода scanf и printf. Они выполняют форматированный ввод и вывод произвольного количества величин в соответствии со строкой формата. Строка формата содержит символы, которые при выводе копируются в поток или запрашиваются из потока при вводе, и спецификации преобразования, начинающиеся со знака % (остаток от деления), которые при вводе и выводе заменяются конкретными величинами.

     Ключевые  слова for и while они зарезервированные идентификаторы, которые имеют специальное значение для компилятора. Их можно использовать только в том смысле, в котором они определены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

  
1. В.А. Фролькис. «Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов» Санкт - Петербург, 2000 год.

2. Бyсленко Н.П. Моделирование сложных систем.

3. В .М. Вержбицкий. «Численный методы (математический  анализ и  
обыкновенные дифференциальные уравневия)». Москва «Высшая школа», 2001 год.

4. Варфоломеев В.И Алгоритмическое  моделирование элементов экономических  систем.

5. Емельянов А.А., Власова Е.А. Имитационное моделирование в экономических информационных систем.

6. Павловская Т.А. Программирование  на языке высокого ровня.