Математические модели систем массового обслуживания

     2. Отсутствие последействия. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков).

     В таких потоках события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказывается нарушенным.

     Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке. Если по условиям безопасности они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени , то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Однако, если интервал мал по сравнению со средним интервалом между поездами, то такое нарушение несущественно.

     3. Ординарность. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

     Ординарность означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую, практически можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака, и т. д.

     Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Несколько сложнее обстоит дело, если число событий, образующих «пакет» (группу одновременно приходящих событий), случайно. Тогда приходится наряду с потоком пакетов рассматривать случайную величину X — число событий в пакете, и математическая модель потока становится более сложной.

Простейший поток 

     Рассмотрим поток событий, обладающий всеми тремя свойствами: стационарный, без последействия, ординарный. Такой поток называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «простейший» связано с тем, что математическое описание событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым. Отметим, между прочим, что «самый простой», на первый взгляд, регулярный поток со строго постоянными интервалами между событиями отнюдь не является «простейшим» в вышеназванном смысле слова: он обладает ярко выраженным последействием, так как моменты появления событий связаны между собой жесткой функциональной зависимостью. Именно из-за этого последействия анализ процессов, связанных с регулярными потоками, оказывается, как правило, труднее, а не легче по сравнению с простейшими.

     Простейший поток играет среди других потоков особую роль — можно доказать, что при суперпозиции (взаимном наложении) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков суммируется. Дополнительно требуется, чтобы складываемые потоки были сравнимы по интенсивности, т. е., чтобы среди них не было, скажем, одного, превосходящего по интенсивности сумму всех остальных.

     Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассо-новским потоком. В таком потоке интенсивность (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени:

тогда как для простейшего  потока

     Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и нестационарный) тесно связан с известным распределением Пуассона — число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона.

     Поясним, что это означает. Рассмотрим на оси t, где наблюдается поток событий, некоторый участок времени длины , начинающийся в момент и заканчивающийся в момент Нетрудно доказать (доказательство дается во всех

курсах теории вероятностей), что вероятность попадания на этот участок ровно т событий и выражается формулой:

где а — среднее  число событий, приходящееся на участок ; е — основание натуральных логарифмов.

Для стационарного (простейшего) пуассоновского потока величина а равна интенсивности потока, умноженной на длину интервала:

т. е. не зависит от того, где на оси t находится период Для нестационарного пуассоновского потока величина а зависит от того, в какой точке начинается участок t.

     Рассмотрим на оси t простейший поток событий с интенсивностью . Нас будет интересовать случайный интервал времени Т между соседними событиями в этом потоке; найдем его закон распределения. Сначала найдем функцию распределения:

т. е. вероятность того, что величина Т будет иметь значение, меньшее, чем t. Отложим от начала интервала Т (точки ) отрезок t и найдем вероятность того, что интервал Т будет меньше t. Для этого нужно, чтобы на участок длины t, примыкающий к точке попало хотя бы одно событие потока. Вычислим вероятность этого F(t) через вероятность противоположного события (на участок t не попадет ни одного события потока):

Вероятность найдем по формуле, полагая m = 0:

откуда функция распределения  величины Т будет:

Чтобы найти плотность  распределения случайной величины Т, необходимо продифференцировать выражение по t:

Закон распределения с плотностью называется показательным (или экспоненциальным). Величина называется параметром показательного закона.

Показательный закон  распределения играет большую роль в теории марковских случайных процессов.

Найдем числовые характеристики случайной величины Т — математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию .

Имеем (интегрируя по частям):

Дисперсия величины T составляет:

.

Извлекая корень квадратный из дисперсии, найдем среднее квадратическое отклонение случайной величины Т.

     Итак, для показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны друг другу и обратны параметру , где — интенсивность потока.

Приведем выражение для так называемого «элемента вероятности появления события» или вероятности наступления на элементарном участке (рис 5.3, а) события потока.

     Найдем вероятность того, что на участке появится какое-то событие потока, т. е. участок не будет «пуст». Так как поток ординарен, вероятностью появления на участке более чем одного события можно пренебречь. Обозначим вероятность того, что на участке не будет события, а — вероятность того, что на нем появится одно событие.

В силу ординарности потока

а вероятность определяется по:

откуда

Разлагая  в ряд и пренебрегая величинами высшего порядка малости, получаем:

Эта вероятность и  называется «элементом вероятности  появления события».

Очевидно, такая же формула  будет справедлива и для нестационарного  пуассоновского потока с той разницей, что величину нужно брать равной ее значению в той точке t, к которой примыкает участок

    

     Потоки Пальма и Эрланга

Рассмотрим вкратце некоторые смежные понятия . Поток событий называется потоком Пальма (или потоком с ограниченным последействием), если промежутки времени между последовательными событиями:

представляют собой  независимые, одинаково распределенные случайные величины.

     Простейший поток есть частный случай потока Пальма: в нем расстояния представляют собой случайные величины, распределенные по одному и тому же показательному закону; их независимость следует из того, что простейший поток есть поток без последействия, и расстояние по времени между любыми двумя событиями не зависит от того, каковы расстояния между другими.

Многие потоки событий, встречающиеся на практике, хотя и  не являются в точности потоками Пальма, но могут быть ими приближенно  заменены.

     Важными для практики образцами потоков Пальма являются так называемые потоки Эрланга. Эти потоки образуются в результате «просеивания» простейших потоков.

     Например, если из точек на оси t сохранить не все точки, а только каждую вторую, то в результате такой операции «просеивания» образуется снова поток событий; он называется потоком Эрланга второго порядка.

     Вообще, потоком Эрланга к-то порядка называется поток, получающийся, если в простейшем потоке сохранить каждую k-го точку, а остальные выбросить. Очевидно, простейший поток представляет собой частный случай потока Эрланга, а именно поток Эрланга 1-го порядка

     Интервал времени Т между соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка представляет собой сумму к независимых случайных величин - расстояний между событиями в исходном простейшем потоке:

Каждая из этих случайных  величин распределена по показательному закону

Закон распределения  интервала T между соседними событиями  в потоке называется законом Эрланга k-го порядка.

     Нетрудно получить следующие выражения для матожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения для интервала событий в потоке Эрланга k-го порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Расчет характеристик  для системы М/М/2/8.

 

М/М/2/8    λ = 2; μ = 2;

Выделим состояние, в  которых может находиться система, причем состояние выделяем по числу  заявок.

S₀ – в системе нет ни одной заявки

S₁ – в системе одна заявка и она обслуживается

S_m+n – в системе m+n заявок из которых m – обслуживается и n – находится в очереди

Нарисуем граф поведение системы.

 

 

 

 

Таким образом, мы получили граф определяющий процесс «рождения» которого можно записать решение уравнений.  

 

 

P_i=

i < 2; i ≥ 2;

Вероятность состояния S₀ найдем, из условия сумма всех вероятностей равна 1.

 

 

Вычислим среднее число  заявок находящихся в очереди. Известно, что с вероятностью P_m – в очереди находятся 0 – заявок с вероятностью P_m+1 – в очереди одна заявка, с вероятностью P_m+n – в очереди n – заявок.

Следовательно, число  заявок находящихся в очереди  – это дискретная случайная величина, среднее значение которой находится  по формуле:

 

 

Среднее время пребывания заявки очереди определим по Теореме Литтла.

 

 

Среднее время нахождение заявки во всей системе складывается из среднего времени пребывания заявки в очереди  и среднего времени обслуживания.

 

Нам известно, что время  обслуживания представляет собой случайную величину, имеющую экспециальное распределение с плотностью.

 

Среднее значение этой случайной  величины определим по формуле математического  ожидания не прерывной случайной  величины.

 

 

Средние числа заявок находящихся в системе определяем  Теореме Литтла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Потоки Эрланга и их свойства.

 

Потоки Эрланга катового порядка получаются из простейшего  потока прореживанием событии в  нем, когда в простейшем потоке остается каждое какое-то событие.

Например:

Пусть событие в простейшем потоке наступают в моменты t₁, t₂, t₃,…t_n;

 

 

 

 

Если в простейшем потоке оставить каждое второе событие, то случайная величина Т будет иметь распределение Эрланга второго порядка.