Математические модели систем массового обслуживания

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Имитационное моделирование»

 

 

 

 

 

                                                                                                       Выполнил:

                                                                                                       студент 4 курса

            группы 44 «ИС» 

  Красовский В.В.

                                                                                                       Проверил:

                                                                                                       Горяшин Ю.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Архангельск 2009  г.

 

Содержание.

 

Введение………………………………………………………………………….3

Глава1.Построение математических моделей систем массового обслуживания…………………………………………………………………….6

1. Простейший поток и его свойство…………………………………………….6
2. Расчет характеристик для системы М/М/2/8…………………………….14
3. Потоки Эрланга и их свойства……………………………………………17
4. Расчет характеристик для системы М/Е₃/1/3………………………………23

Глава 2.Иметационное моделирование систем массового обслуживания…..24

   2.1 Методы моделирования случайных величин…………………………………24

   2.2 Моделирование  М/Е₃/1/3……………………………………………………….32

Литература…………………………………………………………………………….34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

      Одним из видов компьютерного моделирования является имитационное моделирование. В частности, оно может использоваться для оптимизации моделей, путем нахождения лучшего решения проблемы или задачи из нескольких возможных вариантов.

Как подметил Ю. Адлер, сочетание  слов имитация и моделирование недопустимо и является тавтологией. Но, рассматривая исторический процесс формирования этого термина, он пришел к выводу, что это словосочетание определяет в моделировании такую область, которая относится к получению экспериментальной информации о сложном объекте, которая не может быть получена иным путем, как экспериментируя с его моделью на ПЭВМ.

      Второй определяющей чертой термина является требование повторяемости, ибо один отдельно взятый эксперимент ничего не значит. Имитационный объект имеет вероятностный характер функционирования. Для исследователя представляют интерес выводы, носящие характер статистических показателей, оформленных, например, в виде графиков или таблиц, в которых каждому варианту исследуемых параметров поставлены в соответствие определенные средние значения с набором характеристик их распределения, без получения зависимости в аналитическом виде.

Объектом имитационного моделирования служит какая-либо модель. В широком понимании модель - это образ или прообраз какого-либо объекта или системы объектов, используемый при определённых условиях в качестве их "заместителя" или "представителя". Модель - это образец, служащий эталоном (стандартом), устройство, воспроизводящее, имитирующее что-либо, такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия "модель". Остановимся на структурно-функциональных и логико-математических моделях.

      Структурно-функциональное моделирование, при котором моделями являются схемы (блок-схемы), графики, чертежи, диаграммы, таблицы, рисунки, дополненные специальными правилами их объединения и преобразования;

математическое (логико-математическое) моделирование, при котором моделирование, включая построение модели, осуществляется средствами математики и логики;

Для имитационного моделирования структурно-функциональную модель необходимо дополнить параметрами, данными, описывающие детали функционирования процесса (это дает возможность уже называть данную модель логико-математической). Таким образом, полученную модель можно рассматривать как алгоритм функционирования объекта, реализованный в виде программного комплекса для компьютера (т.е. на данном этапе уже можно говорить об имитационной модели).

      Имитационное моделирование реализуется посредством набора математических инструментальных средств, специальных компьютерных программ и приемов, позволяющих с помощью компьютера провести целенаправленное моделирование в режиме «имитации» структуры и функции сложного процесса и оптимизации некоторых его параметров. Набор программных средств и приемов моделирования определяет специфику системы моделирования – специального программного обеспечения.

      В отличие от других  видов и способов математического моделирования с применением ЭВМ имитационное моделирование имеет свою специфику: запуск в компьютере взаимодействующих вычислительных процессов, которые являются по своим временным параметрам – с точностью до масштабов времени и пространства – аналогами исследуемых процессов.

Имитационное моделирование как особая информационная технология состоит из следующих основных этапов.

      Структурный анализ процессов. Проводится формализация структуры сложного реального процесса путем разложения его на подпроцессы, выполняющие определенные функции и имеющие взаимные функциональные связи согласно легенде, разработанной рабочей экспертно группой. Выявленные подпроцессы, в свою очередь, могут разделятся на другие функциональные подпроцессы. Структура общего моделируемого процесса может быть представлена в виде графа, имеющего иерархическую многослойную структуру. В результате появляется формализованное изображение имитационной модели в графическом виде.

      Структурны анализ особенно эффективен при моделировании экономических процессов, где (о отличие от технических) многие составляющие процессы не имеют физической основы и протекают виртуально, поскольку оперируют с информацией, деньгами и логикой (законами) их обработки.

      Формализованное описание модели. Графическое изображение имитационной модели, функции, выполняемые каждым под процессов и особенности проведения моделируемого процесса (временная, пространственная и финансовая динамика) должны быть описаны на специальном языке для последующей трансляции. Для этого существуют различные способы:

-   описание в  ручную на языке типа GPSS, Pilgrim и даже на Visual Basic. Последний очень прост, на нем можно запрограммировать элементарные модели, но он не подходит для разработки реальных моделей сложных экономических процессов , так как описание модели средствами Pilgrim компактное аналогичной алгоритмической модели на Visual Basic в десятки-сотни раз;

- автоматизированное  описание с помощью компьютерного  графического конструктора во  время проведения структурного  анализа, т.е. с очень незначительными затратами на программирование. Такой конструктор, создающий описание модели, имеется в составе системы моделирования в Pilgrim.

Построение модели (build).Обычно это трансляция редактирование связей (сборка модели), верификация (калибровка) параметров.

Трансляция осуществляется в различных режимах:

-   в режиме интерпретации,  характером для систем типа GPSS, SLAM-II и ReThink;

-    в режиме  компиляции (характер для системы Pilgrim).

Каждый режим имеет свои особенности.

Режим интерпретации  проще в реализации. Специальная универсальная программа - интерпретатор на основании формализованного описания модели  запускает все имитирующие подпрограммы. Данный режим не приводит к получению отдельной модулирующей программы, которую можно было бы передать или продать заказчику (продавать пришлось бы и модель, и систему моделирования, что не всегда возможно). Режим компиляции сложнее реализуется при создании моделирующей системы. Однако это не усложняет процесс разработки модели. В результате можно получить отдельную модулирующую программу, которая работает независимо от системы моделирования в виде отдельного программного продукта.

      Верификация (калибровка) параметров модели выполняется в соответствии с легендой, на основании которой построена модель, с помощью специально выбранных тестовых примеров.

      Проведение экстремального эксперимента для оптимизации определенных параметров реального процесса. Концепция имитационного моделирования требует предварительного знакомства читателя с методом Монте – Карло, с методологией проведения проверок статистических гипотез, с устройством программных датчиков случайных (псевдослучайных) величин и с особенностями знаков распределения случайных величин при моделировании экономических процессов, которые не рассматриваются в типовых программах дисциплины «Теория вероятностей»    

       Кроме того, необходимо рассмотреть специальные стохастические сетевые модели, которые дают представление о временных диаграммах специальных имитационных процессов при выполнении программной модели.

 

 

 

 

 

 

Глава 1 Построение математических моделей систем массового обслуживания.

 

1.1 Простейший  поток и его свойства.

 

 

Простейший поток событий называется случайный поток, обладающий 3-м средствами:

1. Стационарность – означает, что вероятностные характеристики потока не зависят от времени или вероятности наступления к-событий, в потоке зависят только от данных интервала наблюдения и не зависят на поток участия временной оси этот интервал.
2. Одинарность – означает, что в потоке одновременно события наступить не могут.
3. Независимость – означает, что поток заявок в настоящем, не оказывает ни какого влияния на будущий поток заявок.

  Вероятность наступления к-событий в простейшем потоке можно определить по формуле Пуассона:

 

                                                      

λ – интенсивность  потока.

Вероятность наступления 0 – событий  в потоке равна 

Длительность интервалов между наступлением событий в простейшем потоке подчиняется знаку с  функцией

Распределения и плотность распределения

 

     При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто целесообразно представлять процесс так, как будто изменения состояний системы происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток неисправностей, поток заявок на обслуживание, поток посетителей и т. д.) Поэтому имеет смысл рассмотреть подробнее потоки событий и их свойства,

Поток событий можно изобразить последовательностью точек на оси времени 0—7, каждая из которых имеет определенную координату.

Иллюстрация к определению  потока событий (а), простейший поток (б)

     Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представляет определенный интерес как предельный случай. Чаще приходится встречаться с потоками событий, для которых и моменты наступления событий, и промежутки времени между ними случайны.

Рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми простыми свойствами

     1. Стационарность. Поток называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на элементарный участок времени длиной т зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси t расположен этот участок.

     Стационарность потока означает его однородность по времени; вероятностные характеристики такого потока не меняются в зависимости от времени. В частности, так называемая интенсивность (или «плотность») потока событий — среднее число событий в единицу времени — для стационарного потока должна оставаться постоянной. Это, разумеется, не значит, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно, поток может иметь местные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

     На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере, на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, скажем, на интервале от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (ночью интенсивность потока вызовов гораздо меньше, чем днем). Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физических процессов, которые мы называем «стационарными» — в действительности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности — лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения.