Математические модели систем массового обслуживания

Плотность распределения  Эрланговской случайной величины можно  получить по композиции двух случайных величин, пусть даны две случаиных величины t₁ и t₂ с известными плотностями распределения

 

Найдем плотность случайной  величины равны  t=t₁+t₂

 

Пусть складывается два простейших потока с разными  интенсивностями

 

Потоки Эрланга

 

            Потоки  Эрланга также являются потоками  с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием  простейшего потока.           

 Суть этого просеивания  состоит в следующем. Если изобразить  на временной оси простейший  поток, поставив в соответствие  каждому событию некоторую точку,  и выбросить из потока каждую  вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.            

 Определение. Потоком Эрланга k – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую (k + 1) – ю точку, а остальные выбросить.           

 Очевидно, что простейший  поток может рассматриваться  как поток Эрланга нулевого  порядка.           

 Пусть имеется простейший  поток с интервалами Т₁, Т₂, … между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k – го порядка.           

 Очевидно, что  . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины Т₁, Т₂, … распределены по показательному закону:

           

 Обозначим f_k(t) плотность распределения величины Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t-  (t, t + dt). На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока – на промежуток  (0, t).

Вероятность первого  события равна 

, а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.

Полученный закон распределения называется законом распределением Эрланга k- го порядка.

При k = 0 получаем показательный закон распределения.            

 Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое  отклонение для распределения  Эрланга находятся по формулам:

           

 Плотность потока Эрланга равна

           

 Для промежутка  времени между двумя соседними  событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.           

 Закон распределения для такого потока будет иметь вид:

,                 

 Математическое ожидание  и дисперсия будут равны:

           

 Получается, что неограниченном  увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .           

 Изменение порядка  нормированного потока Эрланга  позволяет получить различную  степень последействия. Последействие  возрастает с увеличением k.            

 На практике это  удобно для приближенного представления  реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.

Потоки Эрланга

 

            Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.           

 Суть этого просеивания  состоит в следующем. Если изобразить  на временной оси простейший  поток, поставив в соответствие  каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.            

 Определение. Потоком Эрланга k – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую (k + 1) – ю точку, а остальные выбросить.           

 Очевидно, что простейший  поток может рассматриваться  как поток Эрланга нулевого  порядка.           

 Пусть имеется простейший поток с интервалами Т₁, Т₂, … между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k – го порядка.           

 Очевидно, что  . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины Т₁, Т₂, … распределены по показательному закону:

           

 Обозначим f_k(t) плотность распределения величины Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t-  (t, t + dt). На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока – на промежуток  (0, t).            

 Вероятность первого  события равна , а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.

Полученный закон распределения  называется законом распределением Эрланга k- го порядка.

При k = 0 получаем показательный закон распределения.            

 Математическое ожидание, дисперсия  и среднее квадратическое отклонение  для распределения Эрланга находятся  по формулам:

           

 Плотность потока Эрланга равна

           

 Для промежутка  времени между двумя соседними  событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.           

 Закон распределения  для такого потока будет иметь  вид:

,                 

 Математическое ожидание  и дисперсия будут равны:

           

 Получается, что неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .           

 Изменение порядка  нормированного потока Эрланга  позволяет получить различную  степень последействия. Последействие возрастает с увеличением k.            

 На практике это  удобно для приближенного представления  реального потока с каким –  либо последействием потоком  Эрланга. При этом порядок этого  потока определяется из того  соображения, чтобы характеристики  потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Расчет характеристик  для системы М/Е₃/1/3.

 

Анализ М/Е₃/1/3

 

Состояние S_ij и число заявок в системе j – номер интервала обслуживания.

 

 

 

 

Глава 2 Имитационное моделирование систем массового обслуживания.

 

2.1 Методы моделирования  случайных величин.

 

Выделяют три основных метода генерации случайных величин:

1. Аппаратный – используют различные физические явления. Например: явления радиоактивного распада.
2. Табличный – создаются таблицы чисел со случайной выборкой из них данных.
3. Алгоритмический – используют алгоритмы генерации псевдослучайных чисел.

Первый арифметический генератор был создан в 50-е годы прошлого века Фон-Немоном и называется методом серединных квадратов.

Генераторы должны удовлетворять  следующие условия.

1. Получаемые числа должны равномерно распределены  и не иметь корреляции друг с другом.
2. Чтобы генератор можно было использовать на практике, он должен обладать быстродействием и не требовать больших затрат памяти.
3. Генератор должен обеспечить точное воспроизведение заданного потока случайных величин.
4. В генераторе должен быть предусмотрен простой способ получения отдельных случайных потоков.

Этим требованиям удовлетворяют  линейные генераторы, предложенные Лемером  и использующие рекуррентные соотношения.

z_i+1 = (az_i + c) mod m

если c = 0, то генератор называется мультипликативным.

если z_i+1 = f(z_i, z_i+1) генератор называется атдетивным.

Линейные генераторы отличаются друг от друга значениями коэффициента a, c и m.

В качестве модуля m – выбирают число 2^l, l – длинна разрядной сетки машины это позволяет избежать операции деления. Если модуль равен 2^l, то полный период генератора не может быть больше 2^l.

Для того, чтобы генератор  имел полный период необходимо:

1. m и c должны быть взаимно простыми.
2. если q – положительное число, простое и на него делится m, то a-1 тоже делится на q.
3. если m делится на 4, то a-1 тоже делится на 4.

Кунт рекомендует следующие параметры генератора.

1. z₀ – любое, но положительное число.
2. коэффициент a должен быть не четным a/m=1/2 min корреляции достигается тогда, когда a= .
3. a – должно быть а mod 8=5, m/100<a<m- .

В одном из генераторов множитель a получается умножением 2^l золотое сечение 1,618 и выбором в качестве a ближайшего целого, удовлетворяет условию a mod 8=5, таким числом оказалось 2³⁰-3.

Хорошее качество распределения  получается в генераторе Тоус-Форда, которую используют двоичной последовательности, каждый разряд вычисляется по формуле: z_i=z_i-k+z_i-l, где k ≠ l.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача моделирования  случайных величин с нормальным законом распределения

     Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины занимает особое место среди различных теоретических законов, т. к. является основным во многих практических исследованиях, им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами.

     К случайным явлениям, подчиняющимся нормальному закону распределения, относятся ошибки измерений производственных параметров, распределение технологических погрешностей изготовления, рост и вес большинства биологических объектов, распределение параметров пленочных резисторов и др.

Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией

где

a - математическое ожидание  случайной величины;

-среднее квадратичное отклонение  нормального распределения.

График дифференциальной функции нормального распределения  называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис.).

 
Рис.

Свойства нормальной кривой (кривой Гаусса):

1. Кривая симметрична относительно прямой x = a.
2. Нормальная кривая расположена над осью X, т. е. при всех значениях X функция f(x) всегда положительна.
3. Ось X является горизонтальной асимптотой графика, т. к.

4. При x = a функция f(x) имеет максимум равный

5. В точках A и B при и кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны.