Лекции по "Разработке САПР"

    Расчёты при синтезе сводятся к решению  той или иной системы уравнений, характеризующих поведение объекта проектирования. При этом могут быть два основных варианта расчётов:

    1) решается система уравнений и в результате находится совокупность искомых параметров;

    2) ищется экстремум (максимум или минимум) некоторой величины, которая зависит от искомых параметров, и в конечном счёте берутся для использования те параметры, которые соответствуют точке экстремума.

    С математической точки зрения в первом случае решается система уравнений и получается одно единственное решение. Соответственно, в используемой модели число искомых переменных должно равняться числу уравнений. Если число искомых переменных меньше числа уравнений, то имеет место избыточность и от некоторых уравнений, возможно, следует избавиться (т. е. переработать модель). Если число искомых переменных больше числа уравнений, то некоторым переменным следует задать значения (исходя из каких-либо теоретических или практических соображений), а остальные рассчитать. Этот подход применяется наиболее часто.

    Во  втором случае с математической точки  зрения решается задача оптимизации. Это означает, что может быть несколько решений (с точки зрения функционирования), но выбирается только одно из них, для чего вводят критерии выбора — целевую функцию и ограничения. Для целевой функции указывают также вид экстремума, а для ограничений — их тип (равенство, неравенство — строгое или нестрогое и какое именно).

    Часто задача оптимизации относится к  одному из двух случаев:

    1) ищется максимум эффекта (точности, быстродействия и т. п.) при ограничениях («не больше чем») на используемые ресурсы;

    2) ищется минимум в использовании ресурсов при ограничениях («не меньше чем») на получаемый эффект.

    Задача  оптимизации может решаться для  поиска оптимальных параметров (с использованием понятия целевой функции) и для поиска оптимального изменения какой-либо величины, например, во времени (с использованием понятия функционала).

    В реальности, далеко не все проектируемые  объекты могут синтезироваться с применением методов оптимизации. Это связано, по крайней мере, с двумя причинами. Во-первых, по физическому смыслу зависимости заданных характеристик от искомых параметров, они часто не имеют экстремумов — и тогда задача оптимизации вообще отсутствует. Во-вторых, математические модели объектов часто таковы, что их невозможно использовать для оптимизации. Т. е. задача оптимизации существует, но её решение затруднено. В этом случае можно попробовать улучшить модель (усложнить или упростить её), чтобы добиться возможности сформулировать и решить задачу оптимизации.

    Общая и частные цели синтеза

    Конечная  цель синтеза объекта проектирования распадается на ряд более мелких (частных) целей, если объект сравнительно сложный и синтез выполняется поэтапно. Например, часто выделяют следующие этапы синтеза и соответствующие им цели, которые должны быть достигнуты на этих этапах:

    1) работоспособность, функциональные характеристики (т. е. способность объекта выполнять нужные функции);

    2) характеристики по массе, габаритам, объёму, размерам и т. п.;

    3) характеристики по мощности, производительности и т. п.;

    4) характеристики по точности, воспроизводимости процессов и т. п.;

    5) динамические характеристики (время включения, выключения, длительность переходных процессов, колебательность процессов и т. п.);

    6) надёжностные характеристики (время безотказной работы, вероятность безотказной работы и т. п.);

    7) эксплуатационные характеристики (совместимость с другими объектами, ремонтопригодность и др.).

    Могут быть и другие частные цели — в зависимости от объекта проектирования. Очевидно, что полностью спроектированный объект должен быть разработан с учётом достижения всех частных целей, выбранных для него. Но состав частных целей может различаться для разных объектов и даже для одного и того же объекта, в зависимости от конкретных условий.

    Этапы проектирования и соответствующие  им цели могут появиться также  в связи с разделением объекта проектирования на части и проектированием этих частей по отдельности. 

    

16. Анализ  в САПР: анализ как основная часть процесса проектирования, динамика и статика (основные понятия).

    Под анализом в проектировании понимают изучение характеристик известного объекта. Характеристика — это взаимосвязь между зависимыми (выходными) и независимыми (входными) величинами, характеризующая изучаемый объект с какой-либо стороны. Принципиально важно, что анализировать можно только известный объект, т. е. объект с известными внутренними параметрами.

    Изучение  характеристик можно выполнять  экспериментально на реальном объекте. При проектировании возможно создание экспериментальных образцов и их экспериментальные исследования, но всё же во время проектирования создаваемый объект обычно пока ещё не существует и его экспериментальные исследования не возможны.

    Поэтому основой анализа является математическое моделирование, т. е. выполнение расчётов с использованием математических моделей объекта, при этом сам объект в его физическом воплощении может отсутствовать.

    Анализ  является прямой задачей проектирования, когда по заданным входным переменным с учётом внутренних параметров модели рассчитывают переменные состояния, а по ним — выходные переменные.

    В общем случае можно выделить следующие виды анализа, классифицируя их по тому или иному признаку:

• расчёт процессов в динамике или статике;
• расчёт переменных состояния или дополнительных переменных;
• анализ в символьном виде (аналитические выкладки) или числовые расчёты.

    Все процессы в природе протекают  во времени. Это значит, что с математической точки зрения они описываются дифференциальными уравнениями — в частных производных или обыкновенными.

    Дифференциальные  уравнения в частных производных  учитывают изменение переменных состояния как во времени, так и в пространстве:

      

 или , (1)

где  — время;  — вектор переменных состояния;  — вектор внешних воздействий; , ,  — координаты трёхмерного пространства.

    Обыкновенные  дифференциальные уравнения учитывают  изменение переменных только во времени:

      

 или , (2)

где  — время;  — вектор переменных состояния;  — вектор внешних воздействий.

    В приведённых выражениях для упрощения  записи показаны только первые производные, но в общем случае могут быть производные более высокого порядка. При этом учитывается, что в большинстве реальных случаев системы уравнений с производными высокого порядка сводятся к системам уравнений с производными первого порядка.

Приведённые выражения записаны в векторной форме, т. е. имеется виду, что используется несколько переменных состояния и несколько внешних воздействий:

    :

     .

    Переменные  , , соответствуют обычным пространственным координатам, что является обычным для природных и технических объектов, но, вообще говоря, они могут иметь и иной физический смысл и в этом случае их может быть больше, чем три.

    Записанные  в общем виде уравнения, конкретизируются для объекта проектирования с учётом законов природы и математических положений (тригонометрии, планиметрии и др.). Дополнительно к дифференциальным уравнениям (1) и (2) могут быть записаны алгебраические уравнения, объединяемые в систему:

      

 или  , (3)

где  — вектор выходных переменных, в результате чего получается модель объекта в форме переменных состояния.

    Модели (1) и (2) можно использовать для исследования характеристик объекта в самом общем виде, применяя методы аналитического или численного интегрирования. В результате, получаются зависимости переменных состояния от времени [в выбранной точке пространства ] и распределение их в пространстве [в выбранный момент времени ]. если. Затем можно вычислять искомые переменные в соответствии с (3). Такие расчёты — наиболее общий вид анализа.

    Уравнения (1) и (2) содержат производные, а потому отражают изменения переменных состояния, т. е. динамику процесса.

    Уравнение (3) не содержит производных (оно алгебраическое), но оно также отражают динамику, так как для расчёта выходных переменных используются переменные состояния , найденные при решении дифференциальных уравнений.

    Если  в уравнениях (1) и (2) избавиться от производных  по времени, то будут получены алгебраические уравнения для установившегося режима. Это означает, что в любой точке пространства каждая переменная состояния не меняется во времени. Это может происходить только в объектах, в которых переходный процесс может перейди в установившийся.

    Возможность статического режима часто определяется внешним воздействием.

    Оценка  вида режима (динамический или статический) зависит от того, с какой точки зрения рассматривается объект, с учётом каких координат.

    Целью анализа может быть получение  как динамических, так и статических характеристик. Статические характеристики для случая объекта, описываемого моделями (1) или (2), представляют собой установившиеся значения или параметры синусоидальных функций (амплитуд, частот фаз) переменных состояния. Их можно получить двумя способами:

• во-первых, можно смоделировать динамические процессы и дождаться, когда процессы установятся;
• во-вторых, можно из дифференциальных уравнений получить алгебраические, тогда их решение и будет искомыми характеристиками.

    Первый  вариант применим для моделей  любой сложности в случае использования численных методов интегрирования. Аналитические методы для него практически не применимы. Для получения установившихся значений необходимо ждать, когда закончится переходный процесс.

    Второй  вариант применим не для всех моделей (некоторые могут оказаться слишком сложными). Но во многих случаях появляется возможность получить аналитические выражения в общем виде. Решение получается сразу, а в случае аналитических выражений можно построить зависимость одних переменных от других. Если решение не может быть получено аналитически, то оно ищется численно — методами численного решения алгебраических уравнений, а потому достаточно быстро (по сравнению с методами численного интегрирования).

    Чтобы получить решение для статики  вторым способом, необходимо получить соответствующие модели. Основой  для них являются модели (1) или (2). В простейшем случае достаточно приравнять нулю все производные по времени и сразу получаются уравнения для установившегося режима. Способ получения уравнений для статики приравниванием к нулю производных в уравнениях для динамики непригоден при рассмотрении электрической цепи, питаемой синусоидальными напряжениями. В установившемся режиме а производные от синусоид не равны нулю. 
 
 
 
 

    

17. Анализ  в САПР: анализ как составная часть синтеза.

    Анализ  играет также важную роль в задаче синтеза.

    Пусть задана модель объекта ,

где  — время;  — вектор переменных состояния;  — вектор выходных переменных;  — вектор внешних воздействий;  — массив параметров.

    Формально задача синтеза решается как обратная задача в одном из двух вариантов.

    Вариант 1. Ищутся управляющие переменные при заданных параметрах объекта, желаемых переменных состояния и выходных переменных (функциональный синтез): , где  — некоторое преобразование от функции, представляющей модель объекта;  — искомое управление; переменные состояния и параметры считаются заданными.