Лекции по "Разработке САПР"

    На  основе одного и того же математического  описания могут быть получены различные математические модели, которые буду иметь разный состав четырёх составляющих: входных переменных, выходных переменных, переменных состояния и параметров.

    В общем виде для матричного представления  можно записать модель ДПТ в форме  переменных состояния:

      

 

где  — вектор переменных состояния;  — вектор входных переменных;  — вектор выходных переменных;  — матрица коэффициентов при векторе состояния;  — матрица коэффициентов при векторе входных переменных;  — матрица коэффициентов при переменных состояния в уравнении выхода;  — матрица коэффициентов при входных переменных в уравнении выхода (в рассмотренном примере с ДПТ была равна нулю).

    Рассмотренная модель записана в матричной форме для случая линейных уравнений. В более общем случае она имеет следующий вид:

      

 

где и  — векторные функции (т. е. вектора, элементы которых являются функциями). 
 

    

9. Модели  технических объектов: допущения, ограничения, адекватность моделей.

    Упрощения (упрощающие допущения), принимаемые при создании моделей, зависят от многих факторов — объекта проектирования, аспекта, в котором он рассматривается, используемого математического аппарата и т. д. Но можно выделить следующие весьма распространённые виды допущений.

    1 Использование элементарных функций для представления зависимостей между величинами.

    2 Использование рядов. Но всё же, иногда эти методы не позволяют выполнять некоторые операции с любыми элементарными функциями, а настроены только на определённые функции, тогда стараются заменить одни функции другими, часто при этом вводя дополнительные упрощения.

    3 Использование линеаризации. Большинство природных явлений приблизительно описывается нелинейными элементарными функциями. Уравнения на их основе (алгебраические, дифференциальные, интегральные), за редким исключением, не имеют типовых решений. В то же время, линейная функция и уравнения на её основе позволяют находить общие решения. Поэтому часто нелинейные функции заменяют линейными, выполняя линеаризацию.

    4 Пренебрежение слагаемыми с малыми коэффициентами.

    5 Использование экспериментальных параметров вместо теоретических (рассчитываемых). В математических моделях часто появляются параметры (коэффициенты), которые могут быть рассчитаны через другие параметры.

    6 Принятие некоторых переменных в качестве постоянных величин. Большинство факторов, влияющих на реальные процессы, меняется во времени или в зависимости друг от друга. Иногда эти зависимости можно выявить и учесть в модели. Но тогда модель становится слишком сложной и не пригодной для решения существующими методами. Если какие-то зависимости не очень существенны, ими можно пренебречь и считать соответствующие переменными постоянными параметрами.

    Ограничения на использование моделей является прямым следствием вводимых упрощений (упрощающих допущений). С формальной точки зрения, ограничения соответствуют принятым упрощениям (допущениям). Но в действительности, оценка ограничений на применение связывается с режимами работы и погрешностями моделирования. Одна и та же модель в разных режимах работы может давать разные погрешности. Поэтому всегда следует выявлять, как влияют сделанные допущения на погрешность. При этом возможны несколько типичных вариантов:

    1) режим работы не влияет существенно на погрешность (которая может быть даже существенной, но постоянной);

    2) режим работы влияет на погрешность только в граничных ситуациях;

    3) режим работы влияет на погрешность существенно.

    В первом случае модель является наиболее приемлемой. Если имеется постоянная погрешность, её можно учесть введением соответствующей постоянной поправки. Если известна зависимость погрешности от какой-то рассчитываемой величины, то эту зависимость можно ввести в модель и тогда происходит уточнение модели. Во втором случае модель используют только в ограниченном диапазоне параметров режима, а при выходе за пределы этих ограничений модель применять бесполезно, так как получаемые результаты не соответствуют реальным. В этом случае, если есть возможность, применяют другие модели. В третьем случае модель является, вообще говоря, непригодной. Но если нет другой модели, то она может использоваться, например, для отражения общих свойств процесса. Такая модель называется качественной, в то время как первые две модели называются количественными.

    Оценка  погрешности модели связана с  понятием адекватности модели (соответствия). Под адекватностью подразумевается соответствие модели реальному объекту. Адекватность — термин качественный. Количественные оценки связаны с погрешностью, но эти количественные оценки служат для вынесения заключения об адекватности или неадекватности модели: адекватные модели можно использовать, а не адекватные — нельзя.

    Адекватность рассматривают с разных точек зрения: уровня моделирования, области применения модели (решаемой задачи), степени близости к реальному объекту.

    Могут быть следующие уровни адекватность модели:

• системный (например, уровень взаимодействия крупных блоков);
• макроуровень (например, уровень функциональных схем или мелких блоков);
• микроуровень (например, уровень принципиальных электрических схем и отдельных элементов).

    Эти уровни адекватности соответствуют  уровням используемых моделей. Модель, адекватная для одного уровня, может оказаться не адекватной для другого. Но, как правило, если модель адекватна для более низкого уровня, то она оказывается адекватна для более высокого уровня. Адекватность модели связана с принятыми при её создании допущениями: чем больше допущений, тем более высокий уровень модели и меньше шансов, что она окажется адекватной для более низкого уровня. Модель, адекватная для одной задачи, может быть не адекватной для другой.

    Степень адекватности предполагает некоторую шкалу оценок этой степени. Существует две шкалы — качественная и количественная. Качественная шкала формулируется в терминах: адекватность достаточная, недостаточная. Количественная шкала определяется численными значениями погрешностей, показывающих различие между величинами, полученными в ходе расчётов (моделирования) и экспериментов (реальных).

    Возможна  оценка погрешностей модели и их измерение. Под оценкой понимают расчёт погрешности по упрощённым выражениям, в результате которого получают максимальное значение погрешности, больше которого она быть не может. Это могут быть завышенные оценки (т. е. реальные погрешности будут меньше), что считается допустимым, в то время как заниженные оценки не допустимы. Принципиальная возможность получения оценок заложена самим наличием модели в математической форме. Но не всегда это бывает возможно по причине сложности выкладок. Тогда для оценки адекватности применяют измерение погрешности, которое представляет собой вычислением разности между значением моделируемой величины и её реальным значением. Но проектируемые объекты ещё не существуют, а потому прямая проверка адекватности сравнением с реально действующим объектом невозможна.

    Для проверки адекватности модели можно  сравнивать её с уже существующей моделью этого же объекта, адекватность которой установлена.

    Оценка  степени адекватности модели по одной  переменной обычно не вызывает сложностей. Но, как правило, в модели (и реальном объекте) присутствуют несколько переменных. Погрешности воспроизведения этих переменных обычно разные. Это усложняет оценку адекватности. Поэтому эту задачу можно переформулировать следующим образом: рассматривать адекватность не в целом, а относительно той переменной, которая интересует проектировщика прежде всего.

    При наличии нескольких переменных следует оценить погрешности по каждой из них и сравнить их с допустимыми: если все погрешности оказываются в пределах допустимых, то модель в целом адекватная; если погрешность хотя бы для одной величины выходит за допустимые пределы, то модель в целом не адекватная.

10. Модели технических объектов: разновидности моделей (общие положения, без рассмотрения примеров).

    Модели  элементов или  процессов

    Моделирование элементов (устройств) даёт представление  об их свойствах. При этом изучаются свойства (параметры) самого элемента (устройства): размеры, соединение элементов, размещение их в пространстве, масса и т. д.

    Моделирование процессов даёт представление о  поведении элементов при их функционировании. В результате моделирования определяются свойства (характеристики) процесса: время протекания, характер изменения физических величин во времени, их максимальные и минимальные значения, зависимость одних величин от других и т. п.

    Моделирование элементов и процессов тесно  связано между собой следующим образом. Для моделирования процессов необходимо иметь модели элементов с их параметрами — именно через них можно определить и параметры процессов (их характеристики). Для моделирования элементов следует знать, в каких процессах они участвуют, т. е. какие именно параметры элементов следует изучить в зависимости от других параметров.

    При этом для моделирования элементов  обычно требуется самое общее  представление о процессе (самая  общая его модель, иногда вербальная, т. е. словесная), а для моделирования процессов желательны максимально детальные модели элементов. Поэтому основой моделирования как элементов, так и процессов, являются модели элементов. Но вид этих моделей зависит от вида процессов, которые будут с их помощью изучаться.

Модели  и моделирование  с точки зрения течения процессов

    Процессы  могут иметь два состояния — динамическое и статическое.

    Статические состояния описываются алгебраическими уравнениями, а динамические — дифференциальными.

    Понятия статики и динамики должны рассматриваться  относительно конкретных переменных: по отношению к одним из них может иметь место статика, а по отношению к другим — динамика.

    С точки зрения моделирования статические  и динамические модели решаются по-разному — в соответствии с математическим языком представления. Для динамических моделей необходимо интегрирование дифференциальных уравнений (иногда аналитическое, но чаще численное), в то время как для алгебраических — аналитические выкладки или тоже численные методы.

    Часто модели оказываются смешанными — состоящими из алгебраических и дифференциальных уравнений. Если в модели присутствует хотя бы одно дифференциальное уравнение, имеет место динамика.

Модели  и моделирование  с точки зрения определённости / неопределённости процессов

    Реальные  процессы зависят от многих факторов, и учесть все их невозможно. Поэтому часто пренебрегают теми факторами, которые оказывают слабое влияние на исследуемые процессы. По отношению к учёту случайных факторов модели подразделяют на детерминированные (предопределённые) и стохастические (случайные).

    В детерминированных моделях случайные  факторы не учитываются, а в стохастических — учитываются.

    Учёт  случайных факторов может осуществляться различным образом: аналитически или численно. При аналитическом учёте случайных факторов оперируют вероятностями и в конечном счёте рассчитывают вероятность того или иного результата моделирования.

    Но  в большинстве случаев целью  моделирования является расчёт переменных состояния. Для этого в численных моделях вводятся датчики случайных чисел, которые имитируют влияние различных факторов. Моделирование, при котором учитываются случайные процессы, называют имитационным, так как в данном случае имитируется реальное взаимодействие объекта моделирования с окружающей средой.

Модели  с точки зрения используемых методов