Аналогия в задачах принятия решений

      Обратим внимание на то, что атом в не обязательно является фактом в . Следовательно, такая аналогия наводит с помощью на мысль о возможности существования атома , который дедуктивно не выводится из .

      Для определения атома  , который можно вывести по аналогии, прежде всего из правила

      

с помощью построим правило

      

затем рассмотрим вывод  из и известных фактов с помощью правила «модус поненс». Построение из R называется преобразованием правила (на основе ), а процесс вывода  обозначается   следующей   графической   формой   (называемой основной графической формой):

      (конкретизация)                   

      (преобразование  правила           с помощью ) 

      (модус  поненс)                         

      В основной  графической форме конкретизация  и «модус поненс» - это выводы в дедуктивной системе, поэтому если в этой системе можно будет реализовать часть, указанную пунктирной чертой, т. е. преобразование правила, то будет возможным органичное использование аналогии и дедукции.

      Факт  , который получен как следствие такой аналогии, как отмечено выше, не обязательно является логическим следствием  . Однако парное соответствие, по крайней мере дает, основание полагать, что справедлив. Поэтому, предположив существование , можно продолжить процесс вывода, а именно: пусть в основной графической форме — факт в  , а   — факт в ;    если есть атом, который выведен по аналогии из этих фактов, то допустим, что он является также фактом, и на основе того же парного соответствия  из , выведем новый . Множество атомов, которые можно вывести таким образом, будем обозначать через . Преобразование правил и определение  можно строго дать так, как указано ниже.

      Определенение 2.4. Пусть — парное соответствие,  - множества фактов в . Тогда скажем, что два правила  вез переменных

                  

                 

      являются - подобными, если 

                

      Кроме того, для заданного построение и  - подобного      назовем   преобразованием правила, обозначим его в виде следующей графической формы:

       …………………

      

      Преобразование  в соответствии с определением 2.4, когда в качестве выбирается конкретизация предложений , а в качестве   — минимальные модели множества , является преобразованием правила с использованием указанной выше основной графической формы. В приведенном ниже определении допускается, что правила преобразуются в правила .

      Определение 2.5. Пусть — минимальные модели , а — парное соответствие, тогда множество фактов определяется следующим образом:

      

      

       |—

        для конкретизации  некоторого правила существуют и подобное правило

      Кроме того, атом в назовем фактом, выводимым по аналогии на основе парного соответствия .

      Пример 2.1:

                                     

                                      

                                    

                                        

                            

                                      

      Здесь прописные буквы обозначают переменные, а строчные — предикаты без  переменных. Кроме того, рассмотрим парное соответствие

      

      Фактами в  являются только и . Прежде всего   из основной графической формы

                             

                               

                       

      получим, что   .  Аналогично получим, что . Допустим, что - факт в и получим следующую основную графическую форму:

                                     

                                            

             

      Следовательно,     

      2.2.2. Аналогия и дедукция

      В 2.2.1. использовано понятие преобразования правил и объяснен принцип аналогии в дедуктивной системе. С точки зрения заданных объектов ,  выведенные атомы в общем случае логически не следуют из , поэтому вывод, заданный в предыдущем разделе, если так можно сказать, находится строго «над» дедуктивными выводами. Однако случай известного парного отношения можно считать своего рода дедукцией. На самом деле атом логически выводится из суммы аналогий и , определенной ниже [7].

      Сумма аналогий — это ограниченное множество  правил, состоящее из следующих подмножеств:

        множества правил, определяющих парное соответствие ,

         «копий» и ,

         множества правил, выполняющих преобразование правил.

      Прежде  всего, для определения  введем, предикат  ~.  Для каждого элемента

        принадлежащего  , имеет место    (2.3)

      Для функции  , существующей одновременно в , ,

                        (2.4)

       -  это множество, состоящее  из правил (2.3) и (2.4).

      Лемма 2.1. Для парного соответствия , терма в и терма в следующие два утверждения эквивалентны: и |—

      Затем построим копии  . Для того чтобы подчеркнуть принадлежность каждого предиката множеству , присвоим ему индекс и будем писать . Тогда — это множество правил, которые дают возможность применить эту операцию к . Правила, которые делают выводы, основанные на преобразованиях правил, можно задать следующим образом: используя предикат ~ и введенный выше предикат присвоения индексов .

      Для каждого правила  действующего для непустого , построим  новое правило суммы аналогий, состоящее из правил 

                    

                                                                           

                                                   

                                                          (2.5)

                                                              

                                                                .  .  .                              

      Для каждого правила

      

      действующего  для непустого , по аналогии с (2.5) поставим  в соответствие правило

                       

                                                                   

                                                    

                            (2.6)

                                                                                  

                                                              .  .  .                             

      Определение 2.6. Сумма аналогий для парного соответствия между и - это сумма множества правил, определенных в (2.5), (2.6), и множеств , , . Обозначим эту сумму, аналогий 

      Пример 2.2.    Пусть                           

                                  

                                                                

      Тогда — это множество  

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      Аналогии  в  случае известного можно приписать свойства дедукции  из суммы аналогии.

      Теорема 2.1.    Для атома    утверждения

      1)

      2) |—

      равнозначны. 

      2.2.3. Логика  первого   порядка для   аналогии

      Если  для заданных и парное соответствие «обнаружено» и известно, то теорема 2.1 утверждает, что аналогия с помощью — это дедукция из суммы аналогий . Следовательно, наиболее важной проблемой при аналогии следует считать метод обнаружения .

      Следуя  определению парного соответствия, данного в предыдущем разделе, под можно было бы понимать простое ограниченное отношение между термами. Но в действительности на зачастую накладываются дополнительные ограничения. В данном разделе мы рассмотрим частичную эквивалентность термов как одно из таких ограничений, а парное соответствие , удовлетворяющее такому ограничению, назовем частичным тождеством. Кроме того, определим логику первого порядка (множество логических формул), включающих как параметр частичное тождество , и покажем, что проблему обнаружения можно свести к проблеме получения , не противоречащего такой логике первого порядка.

      Как следует из определения 2.1 парного соответствия и леммы 2.1, необходимо, чтобы удовлетворяла аксиоме

      

      Соответствующее отношение  не всегда является взаимно однозначным. Например, пусть в    — обозначения констант, a — обозначение функции двух переменных, в — константы , функция , тогда рассмотрим парное соответствие

      

      Для такого  ,  т. е. два различных терма в поставлены в соответствие одному терму в  . Это означает, что отношение между областями, в которых определено подобие, не то же самое, что эквивалентность между областями.