Электростатика

 

Из симметрии задачи следует, что линии вектора В  в данном случае должны иметь вид  окружностей с центром на оси провода. Причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

модуль вектора В должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Г₁ , откуда следует, что

 

 

           Заметим, что решение этого  вопроса непосредственно (с помощью  закона Био-Савара) оказывается гораздо более сложным.

           Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора В являются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Г₂ , где      – ток, охватываемый данным контуром.

Отсюда мы находим, что  внутри провода

 

 

 

Зависимость В(r) показана графически на рис.12

Если провод имеет  вид трубки, то снаружи индукция В определяется формулой , а внутри – магнитное поле отсутствует. Это  также легко показать с помощью  теоремы о циркуляции вектора  В.

 

Пример 2: Магнитное поле соленоида. Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.

Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем  меньше индукция магнитного поля снаружи его. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из изображения симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор В составляет с направлением тока в соленоиде правовинтную систему.

Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнитного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный контур так как показано на Рис. 13. Циркуляция вектора В по данному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно теореме о циркуляции, откуда следует, что внутри длинного соленоида 

 

 

Т.е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением  областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nI называют числом ампервитков.

 

Пример 3: Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора.

Из соображений симметрии  нетрудно понять, что линии вектора  В должны быть окружностями, центры которых расположены на оси ОО' тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.

Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток NI, где N – число витков в тороидальной катушке; I – ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции  , откуда следует, что внутри        тороида

 

 

Внутри тороида магнитное  поле совпадает с полем прямого  тока NI, текущего вдоль оси ОО'. Устремив N и радиус тороида R к бесконечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение для магнитного поля бесконечно динного соленоида.

Если выбранный нами круглый  контур проходит вне тороида, то токов  он не охватывает, поэтому для такого контура . Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.

            В предыдущих рассуждения предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т.е. в плоскостях, походящих через ось ОО' тороида. У реального тороида линии тока (витки) не вокруг оси ОО'. Это составляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.

 

           

 

 

 

 

 

  Пример 4: Магнитное поле плоскости с током. Рассмотрим безграничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно распределенный ток одного направления. На Рис.14 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскостью рисунка (что отмечено крестиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i, направленный вдоль линии тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходящийся на еденицу длинны, которая играет роль "поперечного сечения".

Разбив мысленно плоскость тока на тонкие нити с током, нетрудно сообразить, что результирующее поле В будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости – внз, слева – вверх. Эти направления легко установить по правилу правого винта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения индукции поля В  воспользуемся теоремой о циркуляции вектора В. Зная, как расположены  в этом случаи линии вектора В, выберем контур в виде прямоугольника 1234. Тогда  по теореме о циркуляции  , где l – длина стороны контура,      параллельной плоскости с током.

Из последнего равенства находим

 

 

Из полученной формулы  видно, что магнитное поле как  с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной плоскости с током, но лишь для точек вблизи плоскости и удаленных от ее краев.