Электростатика

Сила Лоренца

На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила, которую мы будем называть магнитной. Эта сила  определяется зарядом q, скоростью его движения v и магнитной индукцией В в той точке, где находится заряд в рассматриваемый момент времени. Простейшее предположение заключается в том, что модуль силы F пропорционален каждой из трех величин q, v и В. Кроме того, можно ожидать, что F зависит от взаимной ориентации векторов v и В. Направление вектора F должно определяться направлениями векторов v и В.

Для того, чтобы «сконструировать»  вектор F из скаляра q и векторов v и В, перемножим v и В векторно и умножим затем получившийся результат на скаляр q. В итоге получим выражение

q[vB]

Опытным путем установлено, что сила F, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, определяется формулой           

F=kq[vB],

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц фигурирующих в формуле величин.

Отметим, что соотношение  можно рассматривать как определение магнитной индукции В.

Единица магнитной индукции В — тесла — определяется так, чтобы коэффициент пропорциональности k в формуле был равен единице. Следовательно, в СИ эта формула имеет вид

F=q[vB]

Модуль магнитной силы равен

F=qvB sin a

где a — угол между векторами v и В. Заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля, не испытывает действия магнитной силы.

Направлена магнитная  сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы v и В. Если заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением вектора [vB]. В случае отрицательного q направления векторов F и [vB] противоположны(Рис.1).

Поскольку магнитная  сила всегда направлена перпендикулярно к скорости заряженной частицы, она работы над частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя.

Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, сила, действующая на заряженную частицу, равна

F=qF+q[vB]

Это выражение было получено из опыта Лоренцем и носит название силы Лоренца или лоренцевой силы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Магнитное поле движущегося заряда

 

Каждый проводник с  током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Но электрический ток в любом проводнике есть движение заряженных частиц: в металлах — это движение электронов, в электролитах — ионов, в газовом разряде — и ионов, и электронов. Отсюда можно заключить, что всякий движущийся заряд создает вокруг себя магнитное поле. Найдем величину этого поля.

Рассмотрим малый отрезок провода  длиной l с током i.

 

 

 

 

 

 

 

 Согласно  (1) этот отрезок создает в некоторой точке, удаленной на расстояние r, напряженность поля

 

Но силу тока можно выразить через  плотность тока j и сечение провода S(i=jS), а плотность тока — через концентрацию заряженных частиц n и их скорость u (j=neu, где e — заряд частицы). Это дает

где N — полное число частиц в отрезке провода. Поэтому напряженность поля можно представить в виде

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что  напряженность поля, вызываемого одной заряженной частицей, имеет значение

Направление этого поля перпендикулярно к скорости u частиц и к радиусу-вектору r, проведенному из заряда в рассматриваемую точку, и подчиняется, как и прежде, правилу правого буравчика.

Пользуясь обозначениями векторной  алгебры, можно выразить и величину и направление поля движущегося заряда одной формулой

Эта формула выражает напряженность поля положительного заряда, движущегося со скоростью u. Если движется отрицательный заряд, то в формуле нужно заменить e на –e.

 

Вектор магнитной  индукции. Принцип суперпозиции. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

 

В опытах Ампера было прежде всего установлено, что сила взаимодействия двух проводников пропорциональна силе тока в каждом из них. Далее опыты показали, что если провод с током изогнуть, как показано на Рис. 4а, то он не производит магнитного действия. И, обратно, такой проводник не испытывает действия силы со стороны других проводников. Магнитное действие не наблюдается и в том случае, если одну часть провода (и притом произвольным образом) обвить вокруг другой (Рис. 4б).

Из этих результатов вытекает заключение, что какие-либо элементы проводника dl₁ , dl₂ и dl₃ совместно (рис. 5) производят такое же магнитное действие, как один элемент dl, замыкающий эти отрезки. В частности, действие изогнутых отрезков 12 и 23 проводника б (рис. 4) оказывается таким, как если бы вместо них был прямолинейный отрезок, соединяющий точки 1 и 3, действие 34 и 45 равно действию 35 и т. д., поэтому действие всего проводника б такое же, как и проводника а (рис. 4), т. е. равно нулю. Из сказанного следует, что магнитное действие бесконечно малого отрезка провода зависит от произведения i^.dl, где i — сила тока, a dl — вектор, имеющий длину отрезка dl и направленный вдоль тока. Это произведение называют элементом тока.

Сила взаимодействия контуров конечных размеров складывается из взаимодействия отдельных элементов тока.

Результаты опытов Ампера и последующих многочисленных исследований можно сформулировать следующим образом. Способность магнитного поля вызывать появление механической силы, действующей на какой-либо элемент тока, можно количественно описать, задавая в каждой точке поля некоторый вектор В. При этом сила, действующая на элемент тока i^.dl, равна

dF=i[dl B]    (4)

Вектор B называется магнитной индукцией и является основной характеристикой магнитного поля. Соотношение же (4) есть определение магнитной индукции.

Полную величину силы, действующей на проводник конечных размеров, можно найти, суммируя силы на отдельных его элементах. Если имеется прямолинейный отрезок провода и магнитная индукция во всех его точках постоянна, то из формулы (4)

F=i[l B]    (4a)

В соответствии с определением векторного   произведения двух векторов величина этой силы равна

                                              F = i^.l^.B^.sin(l, В)  (4б)

 

 

 

 

 

 

 

 

Направление силы перпендикулярно  к l и B и подчиняется правилу правого буравчика: при движении рукоятки буравчика от вектора l к вектору В поступательное движение буравчика происходит в направлении силы F. Взаимное расположение векторов l, В и F показано на Рис. 6.

Посмотрим теперь, как можно найти  магнитную индукцию, входящую в формулу (4). Опыт показывает, что для магнитного поля, так же как и для электрического, в широкой области изменения магнитной индукции справедлив принцип наложения, или суперпозиции: если имеется несколько контуров с током, каждый из которых создает магнитные индукции B₁, B₂ и т. д., то магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме индукций отдельных контуров:

Опыт дает, что правильные значения сил магнитного взаимодействия мы получим в том случае, если примем, что индукция магнитного поля элемента тока равна

Здесь r — радиус-вектор, проведенный из элемента тока в рассматриваемую точку, а К –  коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц.

Из (5) следует, что величина магнитной  индукции в точке, удаленной на расстояние r от элемента тока, равна

где  — u угол между dl и r (Рис. 7). Направление вектора dB перпендикулярно к dl и r, т. е. перпендикулярно к плоскости, в которой они лежат. Это направление подчиняется правилу правого буравчика; направление магнитной индукции совпадает с направлением движения конца рукоятки буравчика с правой нарезкой, движущегося поступательно в направлении тока. Формула (5) носит название закона Био-Саеара—Лапласа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

`

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Магнитное поле кругового проводника (тока)

 

Магнитные поля, так же как и электрические, можно изображать графически при помощи силовых линий. Магнитной силовой линией, или линией напряженности магнитного поля называют линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением напряженности магнитного поля.

Очевидно, что через  каждую точку магнитного поля можно  провести силовую линию. Так как напряженность поля в любой точке имеет определенное направление, то и направление силовой линии в каждой точке данного поля может быть только единственным, а значит, магнитные силовые линии, так же как и электрические, не пересекаются.

Подобно электрическим силовым линиям, магнитные силовые линии прочерчивают с такой густотой, чтобы число линий, пересекающих единицу поверхности, перпендикулярной к ним, было равно (или пропорционально) величине напряженности магнитного поля в данном месте. Поэтому, изображая магнитные силовые линии, можно наглядно представить, как меняется в пространстве напряженность магнитного поля по величине и направлению.

Аналогично можно чертить  и линии магнитной индукции так  же, как и линии любого вектора, характеризующего какое-либо векторное поле.

Рассмотрим силовые  линии поля прямого тока. Напряженность Н всегда перпендикулярна к плоскости, содержащей провод и рассматриваемую точку поля. Поэтому силовые линии в данном случае суть концентрические   окружности,   центр которых расположен на оси тока (Рис. 8).

Представление о виде магнитных силовых линий можно получить на опыте. Для этого пользуются тем обстоятельством, что подвижная магнитная стрелка всегда устанавливается своей осью в направлении силовых линий.

Еще удобнее  пользоваться   железными опилками. Крупинки железа в  магнитном   поле  намагничиваются и становятся подобными магнитным стрелкам. При практическом   осуществлении  этих   опытов исследуемый провод с током пропускают сквозь горизонтальную стеклянную пластину (или листок картона), на которую насыпают небольшое количество железных опилок. При легком встряхивании пластинки (постукивании) частицы опилок образуют цепочки, форма которых близко соответствует силовым линиям исследуемого поля.

На Рис. 9 приведены полученные таким способом картины силовых линий поля кругового тока и поля соленоида.

Из рисунка видно, что в средней  части соленоида силовые линии суть прямые параллельные линии. Это показывает, что здесь напряженность одинакова во всех точках, т. е. что в средней части соленоида поле однородно. У концов соленоида силовые линии искривляются и расходятся, а значит, поле становится неоднородным.

 

 

 

 

Вихревой характер магнитного поля

 

На рис. 9 видно, что силовые линии магнитного поля непрерывны: они не имеют ни начала, ни конца. Это имеет место для любого магнитного поля, вызванного какими угодно контурами с током.

Векторные поля, обладающие непрерывными линиями вектора, получили название вихревых полей. Мы видим, что магнитное поле есть вихревое поле. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от электростатического.

В электростатическом поле силовые линии всегда разомкнуты: они начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Магнитные силовые линии не имеют ни начала, ни конца. Это соответствует тому, что в природе нет магнитных зарядов.

Движение электрических  зарядов есть электрический ток. Так как магнитных зарядов нет, то магнитного тока не существует.

В электростатическом поле напряжение не зависит от формы контура  и для замкнутого контура всегда равно нулю. Это позволило ввести разность потенциалов двух точек  поля, зависящую только от положения  этих точек.

Рассмотрим теперь магнитное напряжение вдоль замкнутого Контура, охватывающего провод с током (Рис. 10а), или циркуляцию напряженности магнитного поля. В этом случае j=2p, и поэтому

 для формулы (6) также справедливо правило правого буравчика: положительное направление обхода контура совпадает с направлением вращения правого буравчика, который движется поступательно в направлении тока. Так, например, на Рис. 10 ток предполагается текущим от читателя за чертеж, и поэтому контур нужно обходить по часовой стрелке.

Если замкнутый контур не охватывает провод с током (Рис. 10б), то при обходе такого контура, например, начиная от точки 1 по часовой стрелке, радиус-вектор будет занимать последовательно положения r₁ r₂, r₃ и угол j будет увеличиваться. Если продолжать обход, начиная с точки 2, то последовательные положения радиуса-вектора r₄ r₅, r₆ и т. д. угол j будет уменьшаться; когда мы вернемся в точку 1, угол j=0. Поэтому магнитное напряжение для любого замкнутого контура, не охватывающего ток, равно нулю.

В том случае, когда замкнутый контур охватывает ток не один, а n. раз (рис. 10в, n=2), магнитное напряжение будет в n раз больше.

Формула (6) выражает важнейшее свойство магнитного поля.

Можно показать, что она  справедлива не только для поля прямого  провода, но и для любого постоянного во времени магнитного поля, вызванного каким угодно распределением токов. Таким образом, магнитное напряжение вдоль замкнутого контура равно полной силе тока, протекающего сквозь поверхность, ограниченную рассматриваемым контуром.

Из формулы (6) видно, что магнитное напряжение измеряется в тех же единицах, что и сила тока, т. е. в амперах.

Рассмотренная теорема  позволяет во многих случаях просто вычислить напряженность магнитного поля.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции для магнитного поля в вакууме и его применение к расчету магнитного поля тороида и  длинного соленоида

Пример 1: Магнитное поле прямого тока. Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом а. Найти индукцию В поля снаружи и внутри провода.