Применение матричной модели межотраслевого баланса в решении задач определения себестоимости

     Прямые  материальные затраты, выраженные в  форме матрицы прямых материальных затрат, отражают затраты продукции конкретной отрасли на единицу валового выпуска продукции соответствующей отрасли.

     Полные  материальные затраты складываются из прямых материальных затрат и косвенных затрат продукции отраслей всех порядков. Косвенные затраты осуществляются не прямо на данный продукт, а через промежуточные продукты. Признаком порядка косвенных затрат является количество промежуточных продуктов.

     Если  продукт прямо не затрачивается  на производство единицы этой же продукции, то полные затраты могут иметь  место за счет косвенных затрат этого же продукта через другие продукты. Полные затраты в одних случаях незначительно превышают прямые материальные затраты, в других – это превышение может быть существенным. Это зависит не только от технологии производства каждого вида продукции конкретными отраслями, но и от взаимосвязи между ними.

     Показатели  полных затрат позволяют предельно  точно рассчитать потребность в средствах производства для развития той или иной отрасли. Кроме того, показатели полных материальных затрат позволяют анализировать структуру полных затрат на производство продукции каждой отрасли.

     С использованием математических методов  показатели полных материальных затрат могут быть рассчитаны с необходимой  точностью.

     Связь между валовым и конечным выпуском продукции отраслей с использованием показателей прямых материальных затрат выражается формулой (1.5).

     В поэлементной форме X = B Y записывается в виде:

     Зная  матрицы прямых и полных материальных затрат, можно найти матрицу косвенных  затрат: С = В – А, где С – матрица косвенных затрат.

     Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для  любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (1.5) – векторы х, все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель называется продуктивной.

     Существует  два основных критерия продуктивности матрицы А:

1. Матрица А продуктивна тогда и только тогда,  когда матрица (E – A)^-1 существует и ее элементы неотрицательны.
2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы , причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

     На  данном этапе закончим рассмотрение баланса в натурально-вещественной форме и перейдем к изучению матричной модели межотраслевого баланса совокупного общественного продукта.

     Межотраслевой баланс на общенациональном уровне отражает производство и распределение совокупного  общественного продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые связи, использование трудовых и материальных ресурсов, создание и распределение национального дохода.

     В общем виде такой баланс может  быть представлен в следующей форме (табл. 1.4).

     Таблица 1.4

Межотраслевой баланс совокупного  общественного продукта

     Основу  баланса совокупного общественного  продукта составляет «n» отраслей материального производства.

     В данном балансе каждая отрасль отражается дважды: в качестве производящей, в качестве потребляющей. Производящие отрасли отражаются в строках, потребляющие – в столбцах баланса. На пересечении строк и столбцов находятся величины х_ij. Они обозначают стоимость средств производства, произведенных в i-той отрасли и потребленных в качестве материальных затрат в j-той отрасли.

     В строках баланса совокупного  общественного продукта отражается распределение годового объема продукции каждой отдельно взятой отрасли материального производства (1.6) или учетом матрицы прямых материальных затрат учетом матрицы прямых материальных затрат (1.7).

 (i = 1, 2, … , n)        (1.6)

(i = 1, 2, … , n)        (1.7)

     В столбцах баланса совокупного общественного  продукта в стоимостном выражении отражаются материальные затраты и чистая продукция (вновь созданная стоимость) каждой отрасли. Синонимом термина «вновь созданная стоимость» являются: условно-чистая продукция, валовой доход, национальный доход в масштабе страны.

     Материальные  затраты отражаются компонентами х_ij. Чистая продукция отрасли равна сумме фонда оплаты труда V_j и чистого дохода m_j. Сумма материальных затрат и чистой продукции отрасли равна валовой продукции отрасли (1.8) или с учетом матрицы прямых материальных затрат (1.9).

 (j = 1, 2, … , n)       (1.8)

(j = 1, 2, … , n)       (1.9)

     К числу основных расчетов по данному  балансу относятся:

     1. Расчет валовых выпусков продукции  отраслей x_i (i = 1, 2, ..., n) при заданной матрице прямых материальных затрат А и при известном векторе конечной продукции Y_i (i = 1, 2, ..., n) с использованием (1.7).

     2. Расчет конечных выпусков отраслей Y_i (i = 1, 2, ..., n) при заданной матрице прямых материальных затрат А и при известном векторе валовых выпусков продукции x_i (i = 1, 2, ..., n) с использованием (1.7).

     3. Расчет неизвестных компонентов  векторов валовой и конечной  продукции x_i (i = 1, 2, ..., n), Y_i (i = 1, 2, ..., k; k < n) при заданной матрице прямых материальных затрат А и известной части компонентов вектора валовых выпусков продукции x_i (i = 1, 2, ..., k; k < n), а также известной части компонентов вектора конечной продукции Y_i (i = 1, 2, ..., n).

     Обратим внимание также на способы применения матричных методов. Наиболее значимыми из них являются следующие:

1. Расчет полных трудовых затрат на производство продукции отраслей.

     Полная  трудоемкость производства продукции  отраслей складывается из полной трудоемкости овеществленного труда и прямых удельных затрат живого труда на производство продукции.

     Расчет  полных трудовых затрат на производство продукции отраслей выражается системой уравнений (1.10)

Т₁ = а₁₁ Т₁ + а_2] Т₂+ ... + а_n1 Т_n + t₁

Т₂ = а₁₂ Т₁ + а₂₂ Т₂ + … + а_n2 Т_n + t₂

……………………………………

Т_n = а_1n Т₁ + а_2n Т₂ + … + а_nn Т_n + t_n

или

  (j = 1, 2, …, n)      (1.10)

где a_ij – коэффициенты прямых материальных затрат продукции i-той отрасли на единицу валового выпуска продукции j-той отрасли; T_i(j) – полные затраты труда на единицу продукции i-той или j-той отрасли; t_j – прямые затраты труда на единицу валовой продукции j той отрасли.

     В векторной форме формулу (1.10) можно представить (1.11).

Т = А Т +t       (1.11)

где А  – матрица прямых материальных затрат с элементами a_ij (i = j = 1, 2, …, n); Т – вектор полной трудоемкости продукции отраслей с компонентами (Т₁, Т₂, ..., Т_n); t – вектор прямой удельной трудоемкости продукции отраслей с компонентами (t₁, t₂, ..., t_n).

     Из (1.11) следует утверждение (1.12).

Т = t В        (1.12)

где В  – матрица полных материальных затрат.

     В поэлементной форме (1.12) записывается в виде (1.13).

      (1.13)

     Полная  трудоемкость продукции каждой отрасли  выступает как взвешенная сумма  произведений показателей полных материальных затрат и прямой удельной трудоемкости продукции отраслей.

2. Расчет полной капиталоемкости продукции отраслей.

     Полная  капиталоемкость продукции отраслей складывается из прямой удельной капиталоемкости  продукции отраслей и полной капиталоемкости всех материальных затрат на производство продукции данных отраслей (1.14).

  (j = 1, 2, …, n)      (1.14)

где a_ij – коэффициенты прямых материальных затрат продукции i-той отрасли на единицу валового выпуска продукции j-той отрасли; К_i(j) – полная капиталоемкость продукции i-той или j-той отрасли; к_j – коэффициент прямой удельной капиталоемкости продукции j-той отрасли.

     В векторной форме формулу (1.14) можно представить (1.15).

К = А К +к        (1.15)

где А  – матрица прямых материальных затрат с элементами a_ij (i = j = 1, 2, …, n); К – вектор полной капиталоемкости продукции отраслей с компонентами (К₁, К₂, ..., К_n); к – вектор прямой удельной капиталоемкости продукции отраслей с компонентами (к₁, к₂, ..., к_n).

     Из  формулы (1.15) следует утверждение (1.16).

К = к В        (1.16)

где В  – матрица полных материальных затрат.

     В поэлементной форме (1.16) записывается в виде (1.17).

      (1.17)

3. Полная фондоемкость продукции отраслей.

     Полная  фондоемкость продукции отраслей складывается из прямой удельной фондоемкости продукции отраслей и полной фондоемкости материальных затрат на производство продукции данных отраслей.

     Расчет  полной фондоемкости продукции осуществляется по формуле (1.18).

  (j = 1, 2, …, n)      (1.18)

где a_ij – коэффициенты прямых материальных затрат продукции i-той отрасли на единицу валового выпуска продукции j-той отрасли; F_i(j) – полная фондоемкость продукции i-той или j-той отрасли; f_j – коэффициент прямой удельной фондоемкости продукции j той отрасли.

     В векторной форме формулу (1.18) можно представить (1.19).

F = А F +f        (1.19)

где А  – матрица прямых материальных затрат с элементами a_ij (i = j = 1, 2, …, n); F – вектор полной фондоемкости продукции отраслей с компонентами (F₁, F₂, ..., F_n); f – вектор прямой удельной фондоемкости продукции отраслей с компонентами (f₁, f₂, ..., f_n).