Применение матричной модели межотраслевого баланса в решении задач определения себестоимости

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 

 

Введение

     Основной  целью курсового проекта является изучение матричных методов анализа хозяйственной деятельности как отдельных предприятий, так и отраслей в целом. Кроме теоретической части курсового проекта, будут также рассмотрены варианты практического применения матричных методов в следующих разновидностях:

• применение матричных моделей межотраслевого баланса в стоимостном выражении;
• применение матричной модели межотраслевого баланса в решении задач определения себестоимости работ, оказываемых основному производству всеми вспомогательными подразделениями;
• определение затрат внешнего ресурса.

     Актуальность  указанной темы невозможно переоценить: использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Этот вопрос стал особенно актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме. Матричные методы анализа, основанные на линейной и векторно-матричной алгебре, применяются для изучения сложных и высокоразмерных структур как на отраслевом уровне, так и на уровне предприятий и их объединений.

     Макроэкономика  функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчёта связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного рода. Впервые эта проблема была сформулирована в 1936 г. в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии в США 1929-1932 гг.

     Балансовая  модель – это система уравнений, характеризующих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном или денежном выражении и направления их использования. При этом наличие ресурсов (продуктов) и потребность в них количественно совпадают. Поскольку в основу решения таких моделей положены методы линейной векторно-матричной алгебры, балансовые методы и модели также называют матричными методами анализа. Наглядность изображений различных экономических процессов в матричных моделях и элементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их в различных производственно-хозяйственных ситуациях. 

 

1. Матричные методы в анализе 
хозяйственной деятельности

     Настоящая глава будет посвящена описанию основных теоретических моментов относительно матричных методов анализа хозяйственной деятельности. Начнем с рассмотрения матричной модели межотраслевого баланса в натурально-вещественной форме.

     Межотраслевой баланс в натуральном выражении  может составляться на национальном и региональном уровнях. В нем в натуральной форме отражается производство и распределение продукции, межотраслевые (межпродуктовые) связи, использование материальных и трудовых ресурсов. Отрасли здесь выступают в качестве отдельных продуктов в соответствии с принципом: каждая отрасль производит один продукт или каждый продукт производится конкретной отдельно взятой отраслью. Поэтому часто данный баланс называют межпродуктовым. В межотраслевом (межпродуктовом) балансе, выраженном в натурально-вещественной форме, в качестве единиц измерения отраслей (продуктов) выступают натуральные показатели (тонны, м³ и т.д.).

     Общая схема межотраслевого (межпродуктового) баланса в натуральном выражении представлена в табл. 1.1.

     Таблица 1.1

Схема межотраслевого (межпродуктового) баланса в натуральном 
выражении

     В данной схеме Х_ij (i = j = 1, 2, … , n) представляют собой затраты продукции i-го вида на все валовое производство продукции j-го вида и сфере материального производства. Межпродуктовые потоки х_ij (i = j = 1, 2, … , n) в данном балансе образуют квадратную матрицу. Эту матрицу часто называют матрицей межотраслевых потоков.

     Кроме матрицы межотраслевых потоков  баланс в натуральном выражении  включает вектор конечной продукции  Y_i (i = 1, 2, ... , n) . Величины Y_i в натуральном балансе характеризуют объем i-той продукции, которая идет на конечное потребление. К нему относится личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов (армия, больницы), экспорт продукции.

     Кроме вектора конечной продукции в  балансе имеется вектор Х_i (i =  1, 2, … , n), где его компонента Х_i характеризует в натуральном выражении объем валового производства i-той продукции.

     В балансе имеется вектор-строка затрат труда, каждая компонента которого (V_j ) характеризует прямые трудовые затраты (в человеко-часах) на производство валовой продукции j-го вида.

     В силу того, что в данном балансе  все показатели выражены в натуральной  форме, складывать их можно только по строкам.

     Для отдельно взятого продукта по строке выполняется следующее равенство (1.1), т.е. валовая продукция отдельно взятого i-го вида используется в сфере материального производства , а также, покидая сферу материального производства, формирует конечную продукцию данного вида. Система (1. 1) определяет модель данного баланса.

 (i = 1, 2, … , n)        (1.1)

     Выделив из схемы баланса матрицу межотраслевых  затрат и валовую продукцию можно рассчитать показатели прямых затрат разных видов продукции на производство единицы каждого вида продукции в номенклатуре баланса:

= =А

     В матрице А компонента a_ij характеризует производственные затраты продукции i-го вида на единицу продукции j-го вида.

     Коэффициенты (1.2) называются показателями прямых материальных затрат, а сама матрица А — матрицей прямых материальных затрат.

  (i = 1, 2, … , n)        (1.2)

     Используя формулу (1.2), система (1.1) может быть выражена в следующем виде (1.3).

(i = 1, 2, … , n)        (1.3)

     По  балансу в натурально-вещественной форме можно осуществлять три основных вида расчетов:

     1. При заданной матрице прямых  материальных затрат А и при  известном векторе конечной продукции  Y_i (i = 1, 2, ..., n) с использованием (1.3) определяются валовые выпуски продукции отраслей x_i (i = 1, 2, ..., n).

     2. При заданной матрице прямых материальных затрат А и при известном векторе валовых выпусков продукции x_i (i = 1, 2, ..., n) с использованием (1.3) определяются конечные выпуски отраслей Y_i (i = 1, 2, ..., n).

     3. При заданной матрице прямых  материальных затрат А и известной части компонентов вектора валовых выпусков продукции x_i (i = 1, 2, ..., k; k < n), а также известной части компонентов вектора конечной продукции Y_i (i = 1, 2, ..., n) определяются неизвестные компоненты векторов валовой и конечной продукции x_i (i = 1, 2, ..., n), Y_i (i = 1, 2, ..., k; k < n)

     Для полноценного анализа матричных  методов рассмотрим пример В. Леонтьева (табл. 1.2). Для производства бушеля пшеницы сельскому хозяйству требуется 0,25 (25/100) единицы его собственной продукции и 0,14 (14/100) единицы продукции обрабатывающей промышленности, в то время как обрабатывающей промышленности для производства 1 ярда ткани требуется 0,40 (20/50) единицы продукции сельского хозяйства и 0,12 (6/50) единицы продукции обрабатывающей промышленности.

     Таблица 1.2

Макроэкономическая  таблица «затраты – выпуск» (в натуральных 
единицах)

     «Рецептура» производства для двух отраслей можно  представлена в компактной табличной форме (таблица 1.3).

     «Рецептурой»  в литературе называют матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат, рассчитанных по формуле (1.2) Это «структурная матрица» экономики, показатели которой являются технологическими коэффициентами, так например, данные столбца 2 представляют собой технологические коэффициенты затрат сельского хозяйства, а данные столбца 3 – технологические коэффициенты затрат обрабатывающей промышленности.

     Таблица 1.3

Затраты на единицу выпуска

     Технологические коэффициенты (коэффициенты прямых материальных затрат) позволяют определить величину годовой валовой продукции сельского хозяйства и обрабатывающей промышленности.

     Представим  формулу (1.3) в матричной (векторной) форме (1.4).

X = A X + Y,         (1.4)

где X – вектор валовых выпусков продукции отраслей с компонентами (x₁, x₂, …, x_n); А – матрица прямых материальных затрат с элементами a_ij (i = 1, 2, ..., n); Y – вектор конечной продукции отраслей с компонентами (Y₁, Y₂, …, Y_n).

     Из  формулы (1.4) следует:

     X – A X = Y

     X (1 – A) = Y

     (E – A) X = Y,

где Е  – единичная матрица.

     Окончательно  получаем формулу:

X = (E – A)^-1 Y или X = B Y,        (1.5)

где B = (E – A)^-1 – матрица полных материальных затрат.

     Процесс расчета коэффициентов полных материальных затрат трудоемок, особенно в том случае, когда количество отраслей значительно.

     Остановимся подробнее на рассмотрении коэффициентов  прямых и полных материальных затрат.