Математические методы исследования в экономике

 

      Рисунок 1.8. Этапы экономико-математического  моделирования

 

      3. Математический анализ модели.

      Целью этого этапа является выяснение  общих свойств модели, для чего применяются математические приёмы исследования. Наиболее важный момент- доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования).. Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает;

      4. Подготовка исходной информации

      Моделирование предъявляет жёсткое требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения  информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического  использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

      5. Численное решение.

      Этот  этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, подбор необходимого программного обеспечения  и непосредственное проведение расчётов. Трудности этого этапа обусловлены  прежде всего большой размерностью экономических задач и необходимостью обработки значительных массивов информации.

      6. Анализ численных результатов и их применение.

      На  этом заключительном этапе цикла  встаёт вопрос о правильности и полноте  результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

      Математические  методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым  сужать класс потенциально правильных моделей.

      Недостатки, которые не удаётся исправить  на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах.

      Следует выделить четыре основных аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

      1. Совершенствование системы экономической  информации.

      2. Интенсификация и повышение точности  экономических расчётов.

      3. Углубление количественного анализа  экономических проблем, 

      4. Решение принципиально новых  экономических задач. 

Глава 2.ПОИСК ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ

      Одной из главных задач макроэкономической науке является разработка различных методов наилучшего распределения ограниченных трудовых, материальных, финансовых, временных и других ресурсов для оптимального управления предприятиями. Наиболее подходящем инструментом решения проблем оптимизации является линейное программирование – один из разделов математического программирования.

      Линейное  программирование – это метод  поиска неотрицательных значений переменных, максимизирующих или минимизирующих значение линейной целевой функции  при наличии ограничений, заданных в виде линейных неравенства.

      Метод нахождения решения основной задачи линейного программирования, получивший название “симплексный метод” или  “метод решения с помощью мультипликатора”, независимо друг от друга открыли  в 1940г. советский учёный Л.В. Канторович и американский математик Дж. Данциг.

      Разновидностью  общей задачи линейного программирования является так называемая транспортная задача, применяемая как для оптимизации  перевозки грузов, таки в ряде друг их приложений.

 

      2.1. Постановка линейной  транспортной Задачи

      Формальным  признаком транспортной задачи является то, что каждая переменная входит лишь в два ограничения, причем с коэффициентами, равными единице. Если при этом критерий оптимальности (сумма расходов, общий  пробег) прямо пропорционален значениям  переменных (транспортных потоков), возникает линейная транспортная задача. В других случаях рассматривается нелинейная транспортная задача, решаемая другими методами.

      Транспортные  задачи известны в двух постановках: матричной и сетевой.

      Матричная:

      Пусть имеется ряд пунктов потребления и предприятий-поставщиков некоторой продукции.

      Дано:

      А_i – ресурс i-го поставщика (запас продукции или план отгрузки из текущего производства).

      В_i – потребности в той же продукции в пунктах j.

      С_i – расстояние или стоимости перевозки из i в j.

      Требуется найти такие размеры поставок от каждого поставщика каждому потребителю  Х_i (переменные задачи), при которых общая сумма расходов или общий пробег будут минимальными.

      Различают следующие разновидности транспортных задач (рисунок 2.1.)

      Система ограничений закрытой задачи: предусматривает поставку каждому потребителю количество продукции, равного потребности в ней (2.1.) и вывоз продукции от каждого поставщика в количестве, равном ее ресурсу (2.2.)

      Σ Х_ij = B_i (j=1,2, … n);                                            (2.1)

      Σ X_ij = A_i (i= 1,2, … m);                                         (2.2)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 2.1. Разновидности транспортных задач

 

      В открытой задаче с превышением ресурсов возможен вывоз меньше наличия:

      Σ X_ij < A_i (i=1,2, …m ),  где

      m – отправители;

      n – получатели.

      Каждая  конкретная переменная входит в два  условия: типа (2.1) для данного потребителя  и типа (2.2) для данного поставщика.

      Критерием оптимальности решения является минимум общих расходов по перевозке  или с пробега в тонно-километрах (вагоно-километрах) по всем планируемым  корреспонденциям. Если стоимость перевозки (расстояние) от i до j - обозначить как С_ij то целевая функция определится следующим образом:

      F = Σ Σ C_ij X_ij → min

      Транспортная  задача в этой постановке решается на матрице, в строках которой  показываются поставщики, в столбцах – получатели, а в клетках (пересечениях)- корреспонденции между ними.

      Сетевая задача:

      Оптимальное планирование перевозок может быть произведено непосредственно на схеме сети путей сообщения (рисунок 2.2). Схема состоит из (или дуг) и узлов (или вершин). Вершинами  являются пункты или (центры агрегации) погрузки и выгрузки а также все реальные узловые пункты сети.

      Вершины без погрузки и выгрузки данного  груза являются транзитными.

      Каждый  участок (звено) сети между двумя  соседними вершинами обычно рассматривают  как две дуги противоположного направления  с движением в одну сторону  по каждой дуге.

 
 

      Рисунок 2.2. Схеме транспортной сети

       +10   Б    - Пункты и размеры  отправления

 

       -8 Д      - Пункты и размеры прибытия

 

            - линии соединения  – «дуги» или «звенья»

 

- стрелка  – поток груза

       Х_АВ = 8      - размер груза

 

      Каждая  дуга характеризуется показателем  расстояния (или стоимости) перевозки единицы груза- или длиной дуги. При решении задач по критерию стоимости длины прямой и обратной дуг обычно различны (т.к. издержки перевозки по участку “туда” и “обратно” не совпадают).

      Переменными сетевой транспортной задачи являются потоки груза по каждой дуге. Поток может включать много отправок, например, поток по дуге Б-Д включает поставки из Б в Д – 8 единиц груза, а из Б в Г – 7 единиц груза.

      до  решения, как правило, неизвестно, в  какую сторону будет перевозиться груз по участку в оптимальном варианте. поэтому в число переменных включаются потоки в обоих направлениях, а общее число переменных принимается равным удвоенному числу участков сёти. (При значительном числе поставщиков и получателей число переменных при сетевой постановке значительно меньше чем при матричной, что облегчает решение задачи, Например, при наличии на сети 600 участков, 50 пунктов отправления и 200 пунктов назначения, число переменных при сетевой постановке составит 1200 (6002), а при матричной постановке оно будет гораздо больше (200*50=10000 переменных).

      Обязательным  условием сетевой  задачи является требование балансировки прибытия и отправления груза в каждой вершине сети: прием груза со всех направлений плюс собственная погрузка равны сдаче на все направления собственная выгрузка:

      Σ X_ks – Σ X_kr = R_k (2.3)

      где К – произвольная вершина;

      R_k – погрузка (+) или выгрузка (-) (R_k -О для транзита);

      Х_ks – потоки от К по всем соседним вершинам S;

      Х_kr – потоки к К от соединительных вершин r;

      Целевая функция закрытой сетевой задачи имеет вид:

      F = Σ C_rs X_rs → min (2.4)

      Суммирование  выполняется по всем дугам сети.

      Итак, сетевая транспортная модель включает в себя: