Застосування комплексних чисел до розв’язання геометричних задач в школі

Надалі ми скористаємося декількома зауваженнями, що легко перевіряються.

I. Уявна частина суми декількох комплексних чисел дорівнює сумі уявних частин доданків.

II. Нехай р и q — два яких-небудь комплексних числа, Ф и Ψ – їхні аргументи. Тоді

                            (2.36)

Дійсно, легко підрахувати, що

;

звідси випливає рівність (2.36).

III. Нехай розташований на комплексній площині; р и q – комплексні координати векторів і , причому . Тоді площа трикутника OPQ (будемо її позначати: (OPQ)) зв'язана з числами р и q залежністю:

                            (2.37)

Для доказу досить у (2.36) покласти , і врахувати, що тоді права частина в (2.36) — це подвоєна площа .

IV. Нехай у вектори , і мають відповідно комплексні координати р, q і m, причому . Тоді

                            (2.38)

Справді, нехай q – комплексна координата вектора . Тоді

2.8. Інтерпритація комплексних чисел на площині Лобачевського.

Добре відоме відображення точок площини Лобачевського на точки внутрішнього одиничного кола, при якому прямі площини Лобачевського зображаються діаметрами круга і дугами кола. Це відображення вперше дослідивфранцузький математик і фізик Анри Пуанкаре, і воно носить назву «модель Пуанкаре» площини Лобачевського. «Модель Пуанкаре» можна також розглядати як відображення площини Лобачевського на площину комплексних чисел; дозволяе встановити зв’язок між комплексними числами і точками площини Лобачевського. Цей зв’язок встановлюється наступним чином: точці площини Лобачевського з полярними координатами (r, φ) відповідає комплексне число

z=th r/2(cos φ+sin φ)

При цьому вся площина Лобачевського відображається на множину таких чисел z, що ‌‌|z|2 =zz<1, тобто на множину точок одиничного кола: будемо вважати всы точки площини Лобачевського орієнтоватими, тобто відповідно направленні навколо певної точки (мал. 6). При цій відстані d=(A, B) між двома орієнтованими точками А і В площини Лобачевського буде рівнем довжині r відрізка АВ, якщо положення напрямку навколо А і В співпадає, інакше - відстань між цими точками є комплексною і рівна r+iπ.

В такому випадку, згідно (2.39), двом орієнтованим точкам площини Лобачевського з полярними координатами (r, φ), які відрізняються тільки напрямком, будуть відповідати комплексні числа

z=th r/2(cos φ+sin φ)

i

z1=th(r/2+iπ/2)(cos φ+sin φ)=cth r/2(cos φ+sin φ)=1/z.

Відповідні точки комплексної площини, «симетричні» відносно кола zz=1, ці точки лежать на одному промені з початком координат О, де

(О, z1) =1/(O, z), де (О, z1) і (O, z)- евклідові відстані від точки О до точок

z1 і  z.

Якщо називати точки кола  zz=1 (абсолюта моделі Пуанкаре) нескінченно віддаленими точками площини Лобачевського і вважати, що для цих точок радіус вектор r=∞, то ми отримаємо взаємно однозначні зв’язки між всіма точками площини Лобачевського і всіма комплексними числами, до числа яких також відносять число ∞.

Таким чином, комплексні числа можна представити не тільки як точки евклідової геометрії, а й як орієнтовані точки площини Лобачевського.

2.9. Приклади.

Задача 1. Нехай на площині даних чотирьох кругів S1, S2, S3, S4 , і нехай z1 i w1- точки перетину S1 i S2; z2 i w2- точки перетину S2 i S3; z3 i w3- точки перетину  S3 i S4 ; z4 i w4- точки перетину  S4 i S1. Якщо точки z1 , z2 , z3 , z4 лежать на одному колі (або прямій) Ʃ, то і точки w1, w2, w3, w4 лежать на одному колі (або прямій) Ʃ’.

Доведення:

Скористаємось тим, що точки z1, z2 , w1 , w2 , належать одному колу S2 ; точки z2, z3 , w2, w3  належать колу S3; точки z3, z4 , w3, w4 -  колу S4; точки

z4 , z1, w1, w4- колу S1. Звідси випливає:

Звідси:

Тому з дійсності подвійного відношення випливає також і дійсності подвійного відношення , що доводить теорему

(мал. 7).

Задача 2.  Розглянемо трикутник а1, а2, а3. Будемо вважати, що ; геометрично це значить, що всі вершини трикутника належать одиничному колу ( мал.. 8; таким чином, ми розглядаємо центр описаного кола навколо трикутника, який розглядається, за початок координат, а радіус цього кола – за одиницю довжини). В такому випадку точка а1+ а2=h3 є вершина ромба оа1а2h3 і прямі оh3 і а1а2 взаємно перпендикулярні, як діагоналі ромба. Точка є серединою сторони а1а2 трикутника. Далі, точка є вершина паралелограма оh3ha3. Іншими словами, пряма а3h ǁ oh3┴a1a2, тобто пряма a3h є висота трикутника а1а2а3, а точка b3 її  перетин з основою а1а2. Точно так доводиться , що і прямі а1h i a2h є висотами трикутника а1а2а3, а точка h є перетином висот (ортоцентр) даного трикутника.

З малюнка також видно, що (h3,h)=(0,а3) – відстань від ортоцентра трикутника а1а2а3 до точки , симетричній О описаного кола відносно сторони а1а2, рівна радіусу описаного кола S трикутника. Звідси випливає, що геометричне місце ортоцентрів є рівним колу S з центром в точці h=а1+а2.

Розглянемо далі точку  Ясно, що це є точка перетину діагоналей паралелограма 0а3hh3; через неї проходить також середня лінія m3c3 паралелограма,де При цьому,

(e, m3)= (e, c3)=

таким чином, коло σ з центром е і радіусом ½ проходить через середину m3 сторони а1а2 трикутника і через середину с3 відрізка а3h висоти.

Аналогічно можна показати, що це коло проходить і через середини i двох інших сторін і через середини і

відрізків а1h і а2h двох інших висот.

Коло σ вперше розглядалося великим швейцарським математиком Леонардом Ейлером. Воно називається колом Ейлера трикутника а1а2а3.

Якщо хорди с3b3 і  m3b3 кола σ взаємно перпендикулярні , а с3m3 – діаметр цього кола, то коло Ейлера проходить також через b3 висоти а3b3; аналогічно σ проходить через b1 і b2 двох інших висот а1b1 і а2b2 трикутника.

Таким чином, коло σ проходить через дев’ять точок трикутника а1а2а3 – m1, m2, m3, b1, b2, b3, c1, c2, c3. Тому його часто називають колом дев’яти точок трикутника.

ІІІ. Дослідне навчання

Досвідчене навчання застосовується для об'єктивної і достовірної перевірки гіпотези і припускає одночасне використання цілого ряду методів, наприклад, спостереження, що діагностуючі контрольні роботи, бесіда та інші.

Одним із завдань дослідного навчання була перевірка ефективності розробленого факультативного курсу по вивченню комплексних чисел, які передбачені шкільною програмою, так і тих, що не зустрічаються в шкільному курсі математики. Курс розрахований на систематизацію методів розв’язання геометричних задач за допомогою комплексних чисел.

                Цілі факультативних занять:

              1. Ознайомити учнів з деякими методами розв’язання геометричних задач за допомогою комплексних чисел.

              2. Показати застосування комплексних чисел при розв’язання різних геометричних задач.

              3. Формувати уміння бачити раціональний метод для розв’язання конкретних видів задач.

              4. Формувати логічне мислення.

              5. Формувати наполегливість, цілеспрямованість, працьовитість через розв’язування складних завдань.

              6. Розвивати математичну мову з властивою нею стислістю, точністю і лаконічністю.

              7. Підготувати учнів до вступу у вищі навчальні заклади.

              Знання та вміння, якими повинні володіти учні перед вивченням факультативного курсу з теми «Застосування комплексних чисел в геометрії»:

              1. Володіти основними поняттями, що відносяться до комплексних чисел.

              2. Володіти означеннями понять комплексної множини і комплексного числа.

              3. Знати властивості комплексних чисел.

              4. Уміти розв'язувати геометричні задачі з використанням комплексних чисел.

              Крім того, учні повинні мати уявлення про загальні методи розв'язання задач.

              Мета курсу: дослідження можливості розв’язання геометричних задач за допомогою комплексних чисел.

              Етапи курсу:

              1. Розробка програми факультативних занять «Застосування комплексних чисел в геометрії» для учнів 10 - 11 класу.

              2. Проведення діагностуючої контрольної роботи № 1.

              3. Проведення розробленої програми факультативних занять.

              4. Проведення діагностуючої контрольної роботи № 2.

              5. Аналіз отриманих результатів дослідної роботи.

              Етап № 1

              Розробка програми факультативних занять «Застосування комплексних чисел в геометрії» для учнів 10 - 11 класу.

              Факультативні заняття були розроблені на основі аналізу математичної, методичної та навчальної літератури.

Етап № 2

Проведення діагностуючої контрольної роботи № 1.

Контрольна робота проводиться перед проведенням факультативних занять з учнями 10 - 11 класу. Її основне завдання: визначити рівень підготовки, знань і вмінь з теми «Застосування комплексних чисел в геометрії».

Етап № 3

Проведення розробленої програми факультативних занять.

Всього розраховано 6 занять по 2 години.

Основні завдання проведення факультативних занять:

1) перевірити правильність відбору змісту і системи вправ;

2) виявити той матеріал, який викликає в учнів найбільші труднощі;

3) визначити ефективність засвоєння матеріалу за допомогою поточної перевірки;

4) виявити зацікавленість учнів у вивченні даної теми.

Етап № 4

Проведення діагностуючої контрольної роботи № 2.

Контрольна робота проводиться після проведення факультативних занять розробленої програми. Завдання: перевірка знань та умінь розв’язувати геометричні задачі з використанням комплексних чисел.

Етап № 5

Аналіз отриманих результатів дослідної роботи. Аналіз можна представити у вигляді діаграми або графіка на основі отриманих результатів двох діагностуючих робіт.

Програма факультативних занять на тему «Застосування комплексних чисел в геометрії»

Нижче пропонується програма факультативних занять на тему «Застосування комплексних чисел в геометрії». Курс краще вивчати в 10 - 11 класі, так як рівняння такого виду містяться у завданнях, які можуть бути використані на вступних іспитах до ВНЗ. Програма розрахована на 12 годин. Заняття проводяться по 2 години.

Заняття № 1

Тема: Прямі на комплексній площині.

Мета: 1) Ознайомити учнів з поняттям комплексної площини.

2) Показати прямі на комплексній множині.

Короткий зміст: Визначення поняття комплексної площини та задання прямої на ній.

Заняття № 2, № 3, №4, №5, №6

Тема: Комплексні числа в геометричних побудовах.

Мета: 1) Навчити використовувати учнів комплексні числа в геометричних побудовах.

2) Закріпити вивчений раніше матеріал.

3) Підготувати учнів до вивчення нового матеріалу.

Короткий зміст: Коло на комплексній множині. Побудова правильних многокутників. Уявні числа. Площа многокутників.

III. Висновки

          Комплексні числа широко застосовуються в сучасній математиці і в її прикладних галузях. В процесі роботи я ознайомився з історією розвитку теорії комплексних чисел, мав змогу оцінити значущість цього розділу теорії чисел для інших розділів математики: аналізу, геометрії, алгебри.

           В даній роботі на основі літературних джерел мною була вивчена теорія комплексних чисел відповідно до шкільної програми, розглянуто використання комплексних чисел при доведенні геометричних теорем і тверджень, наведені декілька розв’язків одної геометричної задачі з метою демонстрації особливостей її доведення з застосуванням комплексних чисел.

У першому розділі, тобто вступі, сформовані не лише мету, об’єкт і метод дослідження, а історію введення комплексного числа у курс вивчення. А також аналіз підручників з алгебри.

У другому розділі розкрито застосування комплексних чисел у геометрії, розглянуто геометричну інтерпретацію комплексних чисел на площині Лобачевського та наведено декілька прикладів (наприклад, коло Ейлера, яке описане навколо трикутника).

У третьому розділі дослідна робота: етапи та програма факультативних занять.

          Іноді здається, що доведення геометричних теорем з використанням комплексних чисел має більш громіздкий вигляд, ніж геометричне, переважно за рахунок алгебраїчних перетворень. Але неможна не оцінити стрункість і гармонію, які вносить застосування комплексних чисел до розв’язання геометричної задачі.

           Вважаю, що застосування комплексних чисел до розв’язання геометричних задач може бути і корисним і цікавим з точки зору поглиблення знань з предмету, пізнання його багатогранності.

Література

1.      Балк М. Б., Виленкин Н. Я., Петров В. А. Математический анализ. Теория аналитических функций.– М.: Просвещение, 1985.– 160 с.

2.      Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа.– М.: Наука, 1973.– 144 с.

3.      Кострикин А. И. Введение в алгебру.– М.: Наука, 1977.– 495 с.

4.      Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения.– М.: Наука, 1979.– 56 с.