Застосування комплексних чисел до розв’язання геометричних задач в школі

Міністерство освіти і науки в Україні

Житомирський державний університет імені Івана Франка

Курсова робота на тему:

«Застосування комплексних чисел до розв’язання геометричних задач в школі»

Підготувала: студентка 41 групи фізико – математичного факультету Богданець Ю. О.

Перевірив: доцент, кандидат технічних наук Ленчук І. Г.

Житомир 2011

План

І. Вступ.              3

1.1.              Минуле і теперішнє комплексних чисел              4

1.2. Аналіз шкільних підручників з алгебри та початків аналізу……………6

ІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії              6

2.1.       Прямі на комплексній площині              6

2.2.              Комплексні числа в геометричних побудовах              9

2.3.              Коло на комплексній площині              10

2.4.              Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного

кола              12

2.5.       Геометричні застосування визначників з комплексним

елементами              13

2.6.  Корені з комплексних чисел              15

2.7. Уявні числа і плоскі многокутники              16

2.7.1.              Побудова правильних многокутників              16

2.7.2.              Уявні числа і площа многокутника              21

2.8. Інтерпритація комплексних чисел на площині Лобачевського……...22

         2.9. Приклади…………………………………………………………………23

ІІІ. Дослідна робота………………………………………………………………..26

IV. Висновки……………………………………………………………………….30

V. Література……………………………………………………………………….31

І. Вступ.

          Застосування комплексних чисел у геометрії грунтується на геометричному тлумаченні комплексних чисел та операцій над ними. Застосування цього незвичного курсу геометрії методу дозволяє розв’язувати певні питання більш цікаво та динамічно.  Особливу мою увагу привернула можливість розглянути площину Лобачевського зо допомогою геометричної інтерпретації комплексного числа. Це завжди цікаве та корисне питання – розв’язання математичної задачі декількома способами. Також дуже важливо відстежити міжпредметний зв’язок нових і доволі абстрактних понять курсу алгебри та начал аналізу з практичними, а під час і з вже знайомими геометричними питаннями та задачами. Це дозволяє не тільки розвинути математичні уявлення про поле комплексних чисел та важливість його існування для розв’язку певних математичних та механічних питань, а і виховує свідоме ставлення до науки, вимагає використання певних логічних тверджень та міркувань. Застосування комплексних чисел при розв’язанні практичних задач – це важливий аспект у технічному навчанні, підготовка майбутніх інженерів до вивчання теорії функції комплексної змінної у вузі, її зв’язків з теорією диференціальних рівнянь; тому поглиблення знань з цього питання  відповідає меті даної роботи.

   МЕТА РОБОТИ. Розвинути навички з самостійної  роботи з монографічною і періодичною літературою, з узагальнення та аналізу фактичного матеріалу за певною проблемою, удосконалити оволодіння геометричною інтерпретацією комплексних чисел як засобом розв’язування геометричних задач.

   ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ. Комплексні числа та їх геометрична інтерпретація.
   МЕТОД  ДОСЛІДЖЕННЯ.  Узагальнення   і   аналіз    літератури   з   даної   теми,  використання апарату поля комплексних чисел до розв’язання геометричних задач, висновки на основі зробленої роботи.

1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел

Уявні числа зобов’язані своїм народженням цілком реальній задачі – задача розв’язання рівняння третього степеня ще у XVI столітті.

Корені рівняння :

                            (1.1)

можуть бути обчислені за формулою, яку називають формулою Кардано:

,

де D=(.

Ця формула не дає бажаного результату в тому випадку, коли рівняння (1.1) має три різні (дійсні) корені. Наприклад, легко перевірити, що коренями рівняння будуть числа 0,1,-1. Але якщо б ми розв’язали це рівняння за формулою Кардано, то отримали б :

Яким чином можна отримати числа 0, 1, -1? Щоб дати відповідь на це питання математикам XVI-XVIIст. Необхідно було навчитися оперувати з виразами виду , де , і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.

Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, неможливими величинами Вважалося  що вони не мають реального змісту. Г. В. Лейбніц назвав їх “гібридом між буттям і небуттям”.

Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків XVII-XVIIIст. полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го степеня, тобто рівняння вигляду

                              (1.2)

Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна стверджувати, що їх не більше ніж . Якщо розглядати і уявні корені, то відповідь на поставлене вище питання виявляється простою: коренів у рівнянні (1.2) всього рівно . З цим виявилося важливим друге питання, яке вперше було поставлене Л.Ейлером: чи правильно, що будь-який многочлен можна представити у вигляді многочлена не вище другого степеня? Багато математиків 18 століття вважали, що відповідь повинна бути негативною. Але, між тим, відповідь виявилася позитивною. Це вдалося показати за допомогою уявних чисел. У XVIII столітті Л.Ейлер з іншими математиками виявили, що вивчення різних коливальних процесів зводяться до пошуку функцій , які задовольняють умову виду

                            (1.3)

де -постійні числа.

Наприклад, вивчення гармонічних коливань зводяться до розгляду рівняння , де -константа, -час, - відхилення маятника від деякого нейтрального положення. Ейлер виявив, що для знаходження функції , яка задовольняє диференціальне рівняння (1.3), необхідно знати корені алгебраїчного рівняння

                            (1.4),

де - ті ж числа, що і в рівнянні (1.3). При цьому потрібно всі корені рівняння (1.4)- не тільки дійсні, але й уявні.

Протягом останніх двохсот років комплексні числа знайшли чисельні застосування. Так, наприклад, за допомогою комплексних чисел Гаусс в 1 ральних значеннях можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник?

Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії, електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв’язані досліди вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.

1.2. Аналіз шкільних підручників з алгебри та початків аналізу.

При вивченні будь-якої нової теми в основному курсі школи встає проблема викладу даної теми в шкільних підручниках. Пропедевтикою вивчення розділу комплексної множини в школі є введення поняття комплексного числа і, відповідно, вивчення його властивостей.

Проаналізуємо в яких класах вводиться дане поняття різними авторами підручників. Поняття множини вводиться безпосередньо ще у підручниках «Алгебра. 8 клас» . У підручнику В.Кравчука «Алгебра. 10 клас» вводяться поняття комплексної множини, а саме: комплексні числа, операції над ними, геометрична інтерпретація, дії з комплексними числами та їх застосування. У підручнику М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С. Дубінчук «Алгебра і початки аналізу, 10-11клас» також вводить поняття комплексної множини, а саме: комплексні числа, операції над ними, геометрична інтерпретація, дії з комплексними числами та їх застосування.

Проте ні в одному з підручників не виділяють застосування комплексних  чисел до розв’язку геометричних задач, тому це питання пропонується винести на факультативні заняття та додаткові уроки.

II. Застосування комплексних чисел в геометрії

2.1. Комплексні числа в геометричних побудовах. Комплексні числа і центр мас.

Застосування комплексних чисел спрощує розв’язування складних задач на побудову (з допомогою циркуля і лінійки). Суть цього методу полягає в тому, що ми зводимо задачу до побудови якої-небудь точки, а  комплексну координату цієї точки виражаємо формулою через величини, які можна вважати відомими. По отриманій формулі будуємо шукану точку. Цей метод доцільно застосовувати в задачах, де мова йде про повороти.

Нехай на площині вибрано декілька точок (мал.6) і в кожній точці поміщені маси . Матеріальні точки, які виникли в результаті визначимо так:. Центром мас цієї системи матеріальних точок називається така точка, для якої справедлива векторна рівність:

              .               (2.1)

Виберемо на площині декартову систему координат, тоді точки отримують комплексні координати, які позначимо буквами . Вектори мають комплексні координати , а рівність (2.1) рівносильна рівності:

                            (2.2)

звідки отримуємо формулу для комплексної координати центра мас:

                            (2.3)

Із формул (2.2)-(2.3) випливають важливі властивості центра мас:

1.Кожна система матеріальних точок з ненульовою сумарною масою має центр мас і до того ж єдиний.

2.Центр двох додатних мас розміщений на відрізку, який з’єднує ці матеріальні точки, і його положення задовольняє таке правило: . Якщо маси не рівні, то центр двох мас ближче до більшої з них.

3.Якщо в системі матеріальних точок

                            (2.4)

відібрати декілька матеріальних точок

                            (2.5)

і зосередити їх сумарну масу в їх центр мас , то від цього положення центра мас всієї системи (2.4) не зміниться. Іншими словами система матеріальних точок

                            (2.6)

має той же центр мас, що й система (2.4).

Як для механіки, так і для геометрії, важливою є теорема Лагранжа про моменти інерції. Нехай на площині є матеріальна точка і точка . Ейлер назвав моментом інерції матеріальної точки відносно точки величину ,а моментом інерції системи матеріальних точок відносно точки : . Виявляється, що, якщо відомий момент інерції системи матеріальних точок (2.4) відносно її центра мас, то легко знайти її момент інерції відносно будь-якої іншої точки .

Теорема Лагранжа. Момент інерції системи матеріальних точок

відносно точки може бути виражений через момент інерції тієї ж системи відносно її центра мас за формулою , де -сумарна маса системи (1.19), тобто .

Доведення. Для конкретності обмежимося випадком трьох матеріальних точок, які лежать в одній площині. Виберемо на площині декартову систему координат. Нехай точки мають комплексні координати . Тоді

              ,               (2.7)

              ,               (2.8)

              .

Оскільки

                            (2.9)

то  .

Аналогічно:

,

.

Додаючи почленно останні три рівності і враховуючи рівності (2.3), (2.7)-(2.8), отримаємо: .

2.2. Прямі на комплексній площині

На комплексній площині кожна пряма може бути задана рівнянням:

              , де .              (2.10)

Не важко записати те ж рівняння прямої в комплексній формі. Для цього достатньо ввести комплексну змінну . Відомо, що , . Тоді (2.10) можна записати у вигляді:

.

Позначимо комплексне число через . Тоді , і рівняння прямої буде мати вигляд:

              ,              (2.11)

де - комплексне число, , а - дійсне. З допомогою комплексних змінних зручно записати рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки . Дійсно, при будь-якому виборі точки на прямій вектори і колінеарні, тому відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом, звідки:

              .              (2.12)

Це і є рівняння прямої, яка проходить через точки і .

Напишемо рівняння прямої , яка проходить через дану точку і паралельно заданому вектору , який заданий своєю комплексною координатою (мал.2). Тоді при будь-якому виборі точки на прямій вектор колінеарний вектору , відповідно, відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом. Іншими словами кожної точки прямої задовольняє умову . Це і буде шукане рівняння прямої. Число є уявне, і його можна записати у вигляді , де - дійсна константа. Отримаємо:

              .                  (2.13)

Рівнянням вигляду (2.13) може бути задана будь-яка пряма. При цьому - кут нахилу прямої до дійсної осі. Зупинимося на рівнянні прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно вектору , де - нульова точка (мал.3). Нехай - точка цієї прямої. Тоді вектор колінеарний вектору з комплексною координатою . Тому - дійсне число і, відповідно, рівне спряженому до нього числу: , тобто . Це і є рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Щоб знайти комплексну координату точки перетину двох прямих і , потрібно розв’язати систему з двох рівнянь і знайти , або .