Застосування комплексних чисел до розв’язання геометричних задач в школі

2.3. Коло на комплексній площині

Коло з центром у точці С і радіусом R – це множина усіх тих точок Z, для яких відстань CZ дорівнює R, тобто

                                                      (2.14)

Це і є рівняння кола. Рівність (2.14) можемо переписати так:

тобто рівняння кожного кола має вигляд:

                            (2.15)

де α – комплексне число, γ – дійсне. Однак рівняння вигляду (2.15) не при кожному γ задає коло. Дійсно, ми можемо рівняння (2.15) записати так:

                            (2.16)

а це рівняння задає коло лише за умові, що . При рівнянню (2.15) задовольняє лише одна точка , а при – жодне комплексне число z не задовольняє рівності (2.16), тобто зовсім не існує точок, що задовольняють умові (2.15).

Особливо зручно записувати в комплексній формі рівняння кола Г, що проходить через три дані точки Z1, Z2, Z3. Виведемо це рівняння. Точки Z1 іZ2 (мал. 4) поділяють коло на дуги Г' і Г". Нехай Г' – та з них, що виникає при русі від Z1 до Z2 у додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Будемо вважати, що Г' – дуга, що не містить точку Z3, – а дуга Г" містить Z3. Радіаyну міру дуги Г' позначимо через 2φ. Тоді , і вектор може бути отриманий з вектора поворотом на кут φ з наступним розтягом. Тому

                              (2.17)

де t – дійсне (навіть додатне) число. Для кожної фіксованої точки Z, яка лежить на дузі Г", маємо аналогічна рівність:

                            (2.18)

де t, – додатнє число. Якщо ж точка Z розташована на додатковій дузі Г', то кут Z1ZZ2 – містить π-φ радіан, причому проходиться в від’ємному напрямку (мал. 5). Тому

                            (2.19)

де t2 – додатне число.

З (2.17) і (2.18) – (2.19) бачимо, що при кожнім, виборі точки Z на колі Г дріб

є дійсним числом, а значить, що він дорівнює спряженому до нього дробу:

                            (2.20)

Це і є рівняння кола, що проходить через три задані точки Z1, Z2, Z3. У тому випадку, коли точки Z1, Z2, Z3 лежать на одній прямій, то кола, що проходить через ці три точки, не існує, але рівняння (2.20) має й у цьому випадку зміст: воно задає цю пряму.

2.4. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного кола.

Одиничним колом в комплексному аналізі прийнято називати коло, у якого центром є нульова точка (початок координат), а довжина радіуса рівна одиниці. На ньому, очевидно, розташовані ті і тільки ті точки площини, чиї комплексні координати z задовольняють умову . Цю умову можна переписати так:, тобто , або . Таким чином, для координати z точки одиничного кола (і тільки для координати такої точки) число спряжене співпадає з оберненим числом .

Якщо ми маємо на площині будь-яке коло ω з центром у деякій точці О и радіуса R, то можна вибрати декартову систему координат так, щоб початком координат був центр О цього кола. Тоді координати z точок кола будуть задаватися умовою , або . Тому викладення, зв'язані з такими колами, теж прості. При необхідності можемо від такого кола перейти до одиничного за допомогою гомотетії з центром у точці О. Аналітично це означає заміну змінних: .

Якщо точка Z лежить на колі радіуса R, що має центром нульову точку, і якщо радіус-вектор точки Z утворить з дійсною віссю кут t, то комплексна координата z точки Z задається формулою

.

Ці прості розуміння дозволяють вирішити різноманітні задачі, зв'язані з колом з центром у нульовій точці.

2.5. Геометричні застосування визначників з комплексним елементами.

Рішення деяких геометричних задач значно спрощується, якщо скористатися визначниками третього порядку. Визначники (їх також називають детермінантами) були уперше введені Г.В.Лейбніцем у зв'язку з розв’язанням систем лінійних рівнянь. Нехай потрібно розв’язати систему двох рівнянь (з дійсними чи комплексними коефіцієнтами):

                            (2.21)

Одержимо (якщо ):

,

Розв’язок буде, і притому єдиний, якщо . Вираз називають визначником другого порядку і записують так:

'

Розв’язок системи (2.21) можна записати так:

Під визначником, третього порядку

приймають такий многочлен: .

Таке визначення зручне для розв’язання системи трьох рівнянь із трьома невідомими:

                            (2.22)

Виявляється, що якщо визначник

то розв’язок системи єдиний і він може бути отриманий за формулою:

, ,

де

.

При d1=d2=d3=0 система (2.22) здобуває вид:

                            (2.23)

Таку систему називають однорідною. Вона завжди має розв’язок (трійка чисел х=0, у=0, z=0), що називається тривіальним, або нульовим. Іноді тривіальний розв’язок системи (2.23) є єдиним. Однак є однорідні системи рівнянь, у яких, крім тривіального, існують і інші рішення. Така, наприклад, система х‑у=0, у-z=0, z-х=0 (одне з її нетривіальних рішень: 7, 7, 7).

2.6. Корені з комплексних чисел.

Коренем п-го степеня (п – натуральне число) з комплексного числа z називають кожне таке комплексне число ω, для якого виконується рівність . Той факт, що комплексне число ω є коренем n-го степеня з комплексного числа z, записують так:

Враховуючи, наприклад, що і2=–1, і ми можемо сказати, що значеннями кореня квадратного з числа –1 є комплексні числа i і –i. Цей приклад, зокрема, свідчить про те, що корінь п-го степеня з комплексного числа визначається неоднозначно. Виникає питання: скільки різних значень має корінь п-го степеня з комплексного числа z і як усі вони можуть бути обчислені?

Формули Єйлера і Муавра дозволяють отримати просте правило для добування кореня з комплексного числа. Нехай , , (φ– аргумент числа z) і нехай , (, α–аргумент числа ω). Рівність можна записати так: . Зіставляючи модулі й аргументи обох частин останньої рівності, записуємо:

                            (2.24)

                            (2.25)

де k — деяке ціле число.

Із (2.24) випливає, що (у правій частині записаний +арифметичний корінь п-го степеня з числа r, так що –додатне число). А з (2.25) одержуємо: , де k — ціле число. Легко перевірити, що при будь-якім цілому числі k число задовольняє умові , тобто ω являється одним зі значень кореня п-го степеня з числа z. Отже, безліч усіх чисел, що є коренями п-го степеня з числа z, задається формулою:

(2.26)

де k – будь-яке ціле число.

Формулу (2.26) можна записати так (у тригонометричній формі):

                            (2.27)

Скільки ж різних значень кореня п-го степеня з числа z одержимо по формулі (2.26) при всеможливих цілих значеннях k? Виявляється, тільки п (при ). Дійсно, підставляючи у формулу (2.26) замість k цілі числа 0, 1, 2, ..., п–1, можна переконатися, що всі одержувані при цьому значення кореня n-го степеня являють собою числа з попарно різними аргументами, що відрізняються один від одного менше, ніж на 2π, і зображуються попарно різними векторами, а отже, різні. Якщо ж k приймає будь-яке інше ціле значення, то його можна представити у виді де q-ціле число, а р—одно з чисел 0, 1, 2,   ,п–1. Тоді:

Тому відповідному обраному значенню k значення збігається з одним з раніше отриманих (при k=0, 1, 2,..., n–1) значень кореня п-го степеня із числа z.

Отже, корінь п-го степеня з комплексного числа має п різних значень, які можуть бути обчислені по формулі (2.26) або (2.27) при k=0, 1, ..., n– 1.

2.7. Уявні числа і плоскі многокутники.

2.7.1 Побудова правильних многокутників.

Побудова правильних трикутників, чотирикутників, п'ятикутників, шестикутників з допомогою циркуля і лінійки було відомо грецьким геометрам ще в IV ст. до н.е. Архімед (III ст. до н.е.) намагався знайти спосіб побудови тими ж інструментами правильного семикутника, однак йому це не удалося. Такої побудови не зуміли знайти геометри і протягом двох тисячоріч після Архімеда, хоча ніхто не сумнівався в існуванні способу розв’язання цієї за дачі. Питання про побудову правильного семикутника був вирішений у 1796 р. німецьким математиком К. Ф. Гауссом. Більш того Гаусс одержав теорему, що дозволяє для кожного натурального числа п сказати, чи можна циркулем і лінійкою побудувати правильний п-кутник чи така побудова неможлива. Проблему побудови правильних многокутників Гаусс зумів вирішити завдяки застосуванню комплексних чисел

Будемо вважати, що п – просте число. Зрозуміло, що побудова правильного п-кутника рівносильна поділу кола на п рівних дуг. Ми можемо взяти будь-яке коло ω, вважаючи довжину його радіуса рівним одиниці, розглянути декартову систему координат з початком у центрі О обраного нами кола. Тоді кожна точка на площині здобуває визначену комплексну координату. Зокрема, точка Z0 перетину кола з додатною віссю осі абсцис буде мати координату z0=1. Правильний п-кутник, що має Z0 однією зі своїх вершин, буде мати іншими своїми вершинами точки Zk, з комплексними координатами:

(k=1,2,...,п-1)

Усі ці числа – відмінні від одиниці корені рівняння тобто корені рівняння

                              (2.28)

Задача поділу кола полягає в тому, щоб побудувати точки з комплексними координатами zk (k=1, 2, 3, n-1), тобто в тім, щоб побудувати корені рівняння (2.28). Тому рівняння (2.28) називають рівнянням поділу кола. Помітимо, що при простому п для побудови усіх вершин правильного п‑кутника, уписаного в коло, досить побудувати одну із цих вершин.

Якщо п – просте число, то послідовно підносячи в натуральні степені будь-якій, не рівний одиниці, корінь рівняння , можна знайти всі корені п‑го степеня з одиниці. Геометрично це означає, що якщо крім вершини Z0 побудована на колі яка-небудь одна вершина Zk, то, відкладаючи послідовно по колу п–2 рази дугу Z0Zk. одержимо всі інші вершини правильного п-кутника.

Таким чином (при простому п) питання про можливість побудови за допомогою циркуля і лінійки правильного п-кутника зводиться до питання про можливість за допомогою цих інструментів побудувати на комплексній площині який-небудь корінь рівняння (2.28) поділу кола.

Розглянемо три частинні випадки.

1) Нехай п=5

Тоді рівняння поділу кола має вид:

                            (2.29)

З'ясуємо, чи можливо побудувати циркулем і лінійкою корінь рівняння (2.29)

                            (2.30)

Покладемо

                              (2.31)

де під z розуміємо число (2.30). Тоді:

                            (2.32)

Тому що число z задовольняє рівнянню (2.19), те воно задовольняє і рівнянню

                            (2.33)

У силу (2.31) маємо і рівняння (2.33) здобуває вид:

Із (2.32) видно, що нас цікавлять додатні корені цього рівняння . Відрізок такої довжини легко побудувати циркулем і лінійкою. Після цього можна побудувати і точку z, що задається формулою (2.30). Тим самим не тільки встановлена можливість побудови правильного п'ятикутника, але і знайдений визначений спосіб для фактичного виконання цієї побудови.

2) Нехай п=7.

Рівняння поділу кола на 7 рівних частин має вигляд:

, або

Нехай z– який-небудь його корінь. Покладемо тоді легко знайти, що , і ми приводимо рівняння до виду:

                            (2.34)

Це рівняння не має раціональних коренів. Жоден з коренів рівняння (2.34) не може бути побудований циркулем і лінійкою. Отже, не існує способу, що дозволяє побудувати правильний семикутник за допомогою циркуля і лінійки.

3) Нехай п=17.

У цьому випадку задача зводиться до побудови відрізка До побудови цієї величини можна підійти поступово, виходячи зі співвідношення:

                            (2.35)

Позначимо:

,

.

Зі співвідношення (2.26) ясно, що . З іншого боку, виходячи з того, що , неважко встановити, що .Отже γ1 та γ2 – корені квадратного рівняння γ2+γ-4=0, так що .Ці корені можна легко побудувати (по абсолютній величині). Щоб відрізнити один корінь від іншого, помітимо, що . Це число – від’ємне, так що

Маючи величини γ1 і γ2, можна побудувати величини: , , та . Дійсно, , , так що β1 і β2 – корені рівняння а, отже:

Тому що

то

,

Точно так само можна показати, що

,

Позначимо , . Тоді , , так що величини α1 і α2 є коренями рівняння:

тобто

Тому що

,

то і відповідно

Вважаючи, що β1 і β2 уже побудовано, відмітимо, що циркуль і лінійка дозволяють тепер побудувати відрізок довжини .

Проводячи аналогічні міркування, К.Ф.Гаусс у 1796 р. довів теорему: побудова правильного п-угольника за допомогою циркуля і лінійки можливо в тому, і тільки в тому випадку, коли число п може бути представлене у виді де попарно різні прості числа виду , а число m – ціле ненегативне.

Зокрема, якщо п – просте число, то для побудови правильного п-кутника за допомогою циркуля і лінійки необхідно і досить, щоб число п мало вид .

2.7.2. Уявні числа і площа многокутника.

Відомі формули, що дозволяють по трьох незалежних основних елементах трикутника (наприклад, по трьох його сторонах; чи по двох сторонах і куту між ними; чи по стороні і двом кутам) обчислити його площу. А як обчислити площу п-кутника при п>3 (наприклад, чи п'ятикутника семикутника), якщо відомі його сторони і кути? Відповідь на подібні питання підказують комплексні числа. Заради конкретності обмежимося випадком опуклого п'ятикутника (міркування у випадку довільного п-кутника аналогічні).