Уравнения с параметрами

Ответ: p; p - 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Дробно  – рациональные уравнения. 

         Уравнение вида P(x)/Q(x)=0, где Р(х), Q(x) -многочлены называют дробными рациональными уравнениями.

    

       Решение дробного рационального  уравнения можно разбить на  два этапа:

1. Решить уравнение  Р(х) = 0.

2. Проверить  условие: Q (х) ≠ 0.

      То есть решение таких уравнений  сводится к решению целых уравнений,  при этом исключают из решения  те корни, которые обращают  в нуль знаменатель уравнения.

    

Необходимое и  достаточно условие равенства дроби  нулю: дробь равна нулю тогда и только, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

 
Процесс решения дробных уравнений  протекает по обычной схеме: дробное  уравнение заменяется целым путем  умножения обеих частей уравнения  на общий знаменатель левой и  правой его частей. После чего решаем известным способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. 

Для решения  дробно – линейного уравнения  удобно пользоваться равносильностью:

 

Алгоритм решения  дробно – рационального уравнения  с параметром.

1. Привести уравнение к виду .
2. Записать условие равенства дроби нулю:
3. Рассмотреть все случаи, когда хотя бы один из нулей числителя является и нулём знаменателя, и когда ни один из нулей числителя не является нулем знаменателя.
4. Записать ответ, объединив все полученные результаты.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение дробно – рациональных уравнений параметрами.  

№1.

2х – 5 –  а =0

x +7 ≠ 0  

x = 2,5 + 0,5a

x ≠ -7 

найдём через  эти уравнения а:

2,5 + 0,5а = -7

0,5а = -9,5

а = - 19

Если а = -19 то уравнение корней не имеет.  

Ответ: если а  ≠ -19, то х = 2,5 + 0,5а; если а = -19 то корней нет. 

№2. 

х – 3 ≠ 0

2х - 4 - 2а + ах =0 

х ≠ 3

х = 2 

№3. 

                                          О.Д.З.

(a + 1)(1 – x) = a + ax                          x ≠ -1

a +1 – x – ax = a + ax                         a ≠ -1

 2ax + x – 1 = 0

 x(2a + 1) = 1

   

при a = -1 и x = -1  данное уравнение не имеет смысла, т.к. эти выражения противоречат О.Д.З. 

        О.Д.З.

                       2а ≠ -1

                        а ≠ -0,5

при а = -0,5 выражение не имеет смысла. 

Ответ: при  a = -1 и x = -1 данное уравнение не имеет смысла. если а ≠ -1 и а ≠ -0,5, то . 

№4. 

         О.Д.З.

          x ≠ -5 
 
 

  x + 5 ≠ 0

  x – 3 –  a + 2 = 0

  x ≠ -5

  x = 3+a-2

  x ≠ -5

  x=1+a 

из уравнений  найдем значение параметра а.

-5 = 1 + а

а = -1 – 5

а = - 6. 

Ответ: при а  ≠ -6,  х = 1+а; при а = -6, х = -5 но это противоречит О.Д.З. 

№5.

                                                                                                                       

           

x²a ( a + 1 ) – x( 3a + 2 ) + 2 = 0

D = ( 3a + 2 )² - 4a ( a + 1 ) 2 =  9a² + 12 + 4 - 8a² -8a = a² + 4a + 4 = ( a + 2 )²

√D= (a+2) 

 

Ответ:  

№6. 

 

a = - 1; a = 1 
 

№7

                                                                                          

                                   О.Д.З.

                                                       x ≠ 0,5 

т.к. разность выражений  равна нулю, то соответственно оба  выражения равны нулю, но это не допустимо, т.к. делитель не может быть равен нулю. соответственно:  

x – a = 0

2x – 1 ≠0 

x = a

x ≠ 0,5

Ответ: при а = 0,5  - решений нет; при а ≠ 0,5 х = а

№8. 

Если а = 2, то 0*х = 4 – решений нет; если а = -2, то х – любое число, но при этом должно быть ( а + 1) х ≠ 4, т.е. (-2 + 1 )х ≠ 4, или х ≠ -4. При этом а ≠ 2 . Учитывая условие на х, придем к соотношению . Последнее выполнено, если а ≠ 3.

Ответ: при а  ≠  2,  а ≠ 3, ; при а = 2 и а = 3 – решений нет; прри а = -2,  

№9. 
 

 

дробь равна  нулю, соответственно делитель и делимое  неравно нулю, но знаменатель не равен нулю, отсюда:

 

 

решим линейное уравнение:

(4m-9)x = 31- 2m,                     но 4m - 9 ≠ 0

                                        m ≠ 2,25

Если m ≠ 2,25? то , если m =  2,25 то решений нет.

Поскольку x ≠ -3, то выясним, имеются ли такие значения m, при которых x = -3, исключим их. 

  

10m +4 ≠ 0

m ≠ - 0,4 

Ответ: если m ≠ -0,4, m ≠ 1, m ≠ 2,25, то ; если m = -0,4, m = 1, m = 2,25, то решений нет. 
 

№10. 

При каких значениях  параметра a все решения данного уравнения неположительны?

решим линейное уравнение:

( a-3)x = 3a+ 4

По условию  нам надо найти неположительные  решения уравнения. Если x ≤ 0, то случай x = 3  невозможен. В этом случае достаточно решить систему:

Решением неравенства  будет промежуток ≤ а < 3, вторая система даст .Решением будет промежуток . 

Ответ: а . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уравнения с модулем 

Модулем (абсолютной величиной) действительного  числа х, т.е. ‌‌ ‌‌|x|, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное: 

               - х, если x < 0 

| x | =

                 x, если x ≥0 

    Геометрически модуль действительного  числа есть расстояние от точки,  изображающей это число на  числовой оси, до начала координат. 
 

 Метод интервалов.

Применение метода интервалов основано на следующем утверждении: функция непрерывна на промежутке, может менять знак только при переходе через нуль. Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак (т.е. участки, где функция принимает только положительные или только отрицательные значения). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение уравнений с модулем  и параметром.  

№1. 

       

1. а < 0 – решений нет, т.к.  модуль - неотрицательная величина.
2. а = 0

 

   х –  3 = 0

   х = 3

      3) а > 0

      

         х – 3 = а

         х = а + 3 

   Ответ:  при а < 0 – решений нет,  при а = 0  х = 3, при а > 0  х = а – 3 

№2. 

 

   (1)    или       (2) 

(1)                                                     (2)

1) если а < 14, то                               1) если а < -2, то

     х  = 14 – а                                            х = -2 - а

2) если а = 14, то                                2) если а = -2, то

     х  = 0                                                   х = 0

3) если а > 14, то                                3) если а > 14, то

     решений  нет, т.к.                               решений нет, т.к.

     модуль  равен                                     модуль равен 

отрицательному  числу,                       отрицательному числу,

но такого не может быть.                    но такого не может быть. 
 
 

Ответ:  
 
 
 

№3.

так как при  сложении двух неотрицательных чисел  получается 0, то каждое из чисел равно 0. 

x + 2 = 0

a ( x – 1 ) = 0

  x = -2            или           x = -2

  a = 0                               x = 0 
 

Ответ: при a = 0, x = -2; при а ≠ 0 – решений нет.