Уравнения с параметрами

№7.  

2а ( а –  2)х = а - 2

 а = 0    а = 2    а ≠ 0   а ≠ 2

при а = 0,  х = - 2 – ложно.

при а = 2,  х = - 2 – ложно .

при а ≠ 0  и   а ≠ 2

 

Ответ: при а = 0 и а = 2 данное уравнение не имеет  решений; при а ≠ 0 и а ≠ 2,  . 

№8. 

( а – 1)( а  -2)х = а – 1

а = 1

0х = 0,   х R.

а = 2

0ч = -1 – корней  нет

а ≠ 1 и а ≠ 2

 

Ответ: при а = 1, х  R; при а = 2 – корней нет; при а ≠ 1 и а ≠ 2, . 

№9. 

 

Ответ: при а = 1, х  R; при а = -3, х = 0; при а ≠ 1 и а ≠ - 3,  

№10. 

При каком значении а уравнение    а( х – 1) = 2х + 5  не имеет корней. 

а( х – 1) = 2х + 5 

ах – а  – 2х – 5 = 0

( а – 2)х  = а + 5

а = -5

-7х = 0

х = 0

а = 2

0х =3 – корней  нет.

а ≠ -7 и а ≠ 2

 

Ответ: при а = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Квадратное  уравнение. 
 

Квадратное  уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где .

Уравнение вида ax² + bx + c = 0 равносильно уравнению:

Выделяя полный квадрат, получаем

Далее имеем:

откуда

окончательно

Выражение ( b-4ac)  называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.      

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня: которые могут быть вычислены по формулам:

или

     

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если D < 0, то действительных корней нет.

Квадратное  уравнение со старшим коэффициентом равным 1, то есть 
уравнение вида , называется приведённым.

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

В общем случае (для неприведённого квадратного  уравнения ax² + bx + c = 0):

 

Разложение квадратного уравнения на множители  

Выражение ax² + bx + c   называется квадратным относительно переменной x. Корни этого квадратного трехчлена являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.  

на основании  теоремы Виета

отсюда

Имеем:

ax² + bx + c = ax

- a(x +x )x + ax x = ax - ax x - ax x + ax x = 

ax(x-x

) - ax (x-x ) =  (ax-ax )(x-x ) =  a(x-x (x-x ).

Итак,

ax² + bx + c =  a(x-x

)(x-x ).

Если квадратный трехчлен имеет вид , то получаем

     Если D > 0, то      

Если D = 0, то

Решение квадратных уравнений  с параметром

При решении  таких уравнений необходимо использовать следующие сведения.

1. Зависимость  количества корней квадратного  уравнения от его дискриминанта. 

D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней).

2. Если D > 0 то  аx² + вx + с = а (x – x₁) (x – x₂)

3. Если D > 0, то  левую часть можно представить  в виде полного квадрата или  выражения, ему противоположного 

ax² + вx + с = а (x – x₁)²

4. Если уравнение  приведенное то x₁ + x₂ = – р, аx₁ • x₂ = q

5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два  действительных различных корня

а) в < 0, с > 0 оба корня положительны 
б) в > 0, с > 0 оба корня отрицательны 
в) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль. 
г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение квадратных уравнений  с параметрами. 

№1. 

Найти значения k  при котором данное квадратное уравнение имеет корни. 

 
 
 

 

Ответ:

 

№2. 

b < 0 – решений нет  

Ответ: b > 0, x = - 1; b = 0, х R; b<0 – решений нет. 

№3.  

Найти корни  уравнения при D > 0. 

x² - ( 2p + 1 )x + ( p² + p – 2 ) = 0

D = ( 2p + 1 )²  - 4( p² + p – 2 ) = 4p² + 1 + 4p - 4p² -4p + 8 = 9

√D = 3

 

Ответ: p-1, p+2. 

№4. 

При некотором  значении параметра р корни квадратного  уравнения

2px² + ( p² - 9 )x - 5p + 2 = 0 являются противоположными числами. Найти корни уравнения.

2px² + ( p² - 9 )x - 5p + 2 = 0

 

Ответ:  

№5. 

Найти значение р при котором данное квадратное уравнение имеет корни. 

3x² + 2px - (p –  6) = 0

D ≥ 0.

D = 4p² - 12p -72 ≥  0

p² + 3p -18 ≥  0

p = -6; p = 3 
 
 

p (-∞;-6] v [-3;+∞). 

Ответ: p (-∞;-6] v [-3;+∞). 

  №6 

Найти значение k при котором данное уравнение имеет не более одного корня.

2x² - kx + k + 6 = 0

D ≤ 0

D = k² - 8(k+6) = k²  -8k -48

k² - 8k – 48 ≤  0

k = 12, k = - 4. 
 
 

Ответ: k [-4;12]. 
 

№7 

ах² - 3х + 4 = 0

1) а = 0

     -3х  + 4 = 0

      3х = 4

      х =

2) а > 0

    ах²  - 3х + 4 = 0

    D = 9 – 16 = - 7 – решений нет

3)  а < 0

     - ах² - 3х + 4 = 0

     D = 9 + 16 = 25

    √D = 5

     х =               х =

  х = 1                    х = - 4 

Ответ: при а = 0, х = ; при а > 0 – решений нет; при а < 0, х = 1; -4.

№8 

При каких значениях  параметра p данное уравнение имеет один корень.

x² + 3px + p = 0

D = 0

D = b² - 4ac

D = 9p² - 4p

9p² - 4p = 0

p ( 9p – 4 ) = 0

p = 0       или     9p – 4 = 0

                           9p = 4│:9

                           p =  

Ответ:  0; . 
 

№9 

Докажите, что  не существует такого значения параметра p, при котором данное уравнение имело бы только один корень. 

x²- px + p – 2 = 0

D ≠ 0

D = b² - 4ac

D = p² - 4( -2 + p ) = p² + 8 – 4p

p² + 8 – 4p = 0

D = 16 -32 = -16

D < 0, значит D ≠ 0 и уравнение имеет 2 корня. 
 

№10. 

x² - ( 2p – 2 )x + p² - 2p = 0

D = ( 2p – 2)²  - 4( p² - 2p) = 4p²- 8p + 4 – 4p² + 8p = 4

√D = 2

 

x =                x =

x = p                              x = p - 2