Ток функциясы, құйын

 

1.5 Ток функциясы мен құйын үшін шекаралық шарттардың қойылымы

 

 

 

Сурет 2. Жоғарғы қабырғасы қозғалмалы болып келетін кавернадағы сұйық ағысы туралы есеп  қойылымының эскизі(нобайы).

 

Берілген жұмыста ток  функциясы мен құйын үшін шекаралық  мәндері қарастырылады. Қозғалмайтын қабырғаларға жабысу шарты қойылады. Сөйтіп шекаралық шарттар келесі түрде жазылады:

1. Төменгі қозғалмайтын қабырғада Том формуласы келесі түрде жазылады (Сурет 2(b) қарау)

 

 

 

ал Вудс формуласы:

 

 

 

2. Сол жақтағы қозғалмайтын қабырғада  Том формуласы келесі түрде жазылады (Сурет 2(a) қарау)

 

 

 

ал Вудс формуласы:

 

 

 

3. Оң жақтағы қозғалмайтын қабырғада  Том формуласы келесі түрде жазылады (Сурет 2(c) қарау)

 

 

 

ал Вудс формуласы:

 

 

 

Ал жоғарғы қозғалатын қабырғаға (Сурет 2(d) қарау) және шарттары қойылады. Онда теңдеу жүйесі үшін қойылған, және анықтайтын шекаралық шарттар жабысу шарты қойылатын қозғалмалы қабырға үшін шарттары болады, яғни , ал келесі түрге келеді

Қозғалмалы қабырға үшін Том формуласы:

 

 

 

Қозғалмалы қабырға үшін Вудс формуласы:

 

 

 

(1.5.7) формуласын Кембелл мен Мюллерде сәтті нәтижемен қолданған [19].

 

 

1.6 Құйынның шекаралық мәні үшін тестілік есеп [18].

 

 

Құйын үшін стационарлы теңдеу :

 

 

 

Ток функциясы үшін теңдеу:

 

 

 

Бірөлшемді жағдайды қарастырайық, яғни деп алып көрейік.

Тесттік есеп:

 

 

 

 

 

 

Нақты шешім:

 

 

 

Тексеру:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Міне енді нақты шешім болғаннан кейін Том, Вудс формуласының нақты шешіммен қалай сәйкес келетіндігін тексеруге болады.

Есептеу циклы:

1. қуалау әдісі бойынша ішкі түйіндерден іздейміз:

 

 

 

шекарадан ескі мәндерін аламыз.

2. қуалау әдісі бойынша іздейміз, онымен қоса ток функциясы үшін теңдеудің оң жақ бөлігінде жаңа мәндері қолданылады:

 

 

 

 ток функцияларын мына шекаралық шарттардан

 аламыз.

3. шекарасынан құйынның жаңа мәндерін есептеу

Том формуласы:

 

 

                                                                                                                              (1.6.4)

 

 

Вудс формуласы:

 

 

                                                                                                                              (1.6.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. САНДЫҚ СҰЛБАЛАРҒА  ШОЛУ

 

2.1 Конвекция–диффузия сызықтық теңдеуі үшін айырымдық сұлбалар

 

 

                         Сурет 3.                                                   Сурет 4.

                Айқын емес сұлба                              Кранк-Николсан сұлбасы

 

 

Орталық айырымды айқын емес сұлба. Конвекция теңдеу үшін айқын емес сұлба

 

(1.2.1.2) модельдік теңдеуін қарастырайық:

 

 

 

Алдымен тұтқыр емес сұйықтың () ағынын сипаттайтын модельдік теңдеудің жалпы сұлбасын келесі түрде жазып аламыз:

 

 

 

Бұл жерде жазық туындының  ұсынылуы тек орталық айырымда ғана қарастырылатын болады, сондықтан

 

 

мұндағы уақытындағы қабат әлі анықталмаған.

Егер конвекция теңдеуіндегі (2.1.1) мүшені жаңа -ші қабатында жазатын болсақ, онда толық айқын емес сұлба шығады [13].

 

 

 

Бұл жағдайда қателік ретті болды, бірақ бұл сұлба орнықтылық мағынасында айтарлықтай маңызды артықшылыққа ие. Орнықтылықты Нейманның спектральді әдісімен зерттейтін болсақ, шешімді мына түрде алып, –өту көбейткіші, –жорамал бірлік, –кез келген нақты сан, –саны, айырымдық сұлбаға қою керек:

 

 

 

 және  қысқартайық:

 

 

 

 –Курант саны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Орнықтылық шарты қажет

 

 

 

 

 

Осылай анық емес сұлба  үшін шамасынан тәуелсіз шығады. Берілген сұлба абсолют орнықты болғандықтан, уақыт бойынша еркін үлкен қадамдармен есептеу жүргізуге болады, бұл үлкен артықшылық болып табылады.

Егер конвекция теңдеуінде (2.1.1) шамасын және қабатындағы орта мәні ретінде есептейтін болсақ, онда келесі түрді аламыз

 

 

 

Лилли бұл сұлбаны «Эйлердің түрленген сұлбасы» (уақыт бойынша алдағы айырымдылық сұлба мен кеңістікті айнымалылардан тұратын орталық айрымдық сұлба Эйлерлік сұлба деп аталады). Бұл сұлба да айқын емес, бірақ орталану () жөнінде кеңістік туыдыны орталандырылғандықтан, қателік ретке ие. Осы сұлба үшін өту көбейткіші тепе–тең күйінде бірге тең, .

Шыныменде

 

 

 

 

 қысқартамыз да, келесіні аламыз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Диффузия теңдеуі  үшін айқын емес сұлба.

 

 

Енді диффузия теңдеуі  үшін сұлбалар қаратырайық, яғни ():

 

 

 

Дәлдігі бірінші ретті  толық айқын емес сұлба диффузия теңдеуі үшін де абсолют орнықты. Енді толық айқын емес сұлбаның орнықтылығын диффузия теңдеуі үшін зерттейік:

 

 

 

 

 

 

 

 қысқартамыз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кез келген үшін болғандықтан, кез келген немесе кез келген үшін бар. Тағы байқап кететін жай, кез келген үшін .

 

 

 

Кранк-Николсан сұлбасы

 

 

Диффузия теңдеуіне қолданылған уақыт бойынша орталану белгілі Кранк–Николсан сұлбасына алып келеді және ол тура солай ретті қателікке ие:

 

 

 

Фон Нейманның әдісі бойынша  орнықтылықты талдау келесіні береді

 

 

 қысқартамыз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 үшін  бар. Енді болған жағдайды қарастырайық. Егер , онда (бұл жағдайында да болу керек). Егер , онда . Осымен, Кранк–Николсан сұлбасы абсолют орнықты және үлкен үшін ; бірақ үлкен кейбір фурье – компоненттің шартты түрдегі уақыт бойынша тым үлкен қадамдағы осцилляциясына алып келеді. Бұл әрине келесі ойды туындатады: екінші ретті Кранк–Николсан сұлбасының жеткілікті үлкен болған жағдайда айқын уақыт бойынша алдағы айырымдылық сұлба мен кеңістікті айнымалылардан тұратын орталық айрымдық сұлбаға қарағанда дәлдігі азырақ болады [11]. Шынымен де, бұл өте оңай шығады және сұлбалардың қателігін беретін мүшелерін салыстырған кезде жеткілікті аз үшін ретінің мүшесі ретінің мүшесіне қарағанда аз болады, ал жеткілікті үлкен үшін жағдай керісінше болады.

 

 

Айқын емес ағынға қарсы сұлба

 

 

Конвекция теңдеуі үшін Эйлердің түрленген сұлбасы (2.1.8) мен диффузия теңдеуі үшін Кранк–Николсан сұлбасын (2.1.14) конвективті және диффузионды мүшелерден тұратын толық теңдеуге қолдану үшін құрамдастырылуына болады; құрылған сұлба да абсолют орнықты болады.

 

 

 

 

 

 

2.2 Қуалау әдісі

 

 

Келесі есепті қарастырайық:

 

 

                                                                                                                               (2.2.1)

 

 

онымен қоса барлық  үшін

Бұл жүйенің қарапайым шешу тәсілін көрсету қажет. Ол үшін екінші ретті айырымдық теңдеуді бірінші ретті үш айырымдық теңдеуге келтіру керек. және анықталмаған коэффициенттері бар келесі рекуренттік қатынастың орны бар деп болжайық

 

 

 

  өрнегін (2.2.1) қоямыз

 

 

 

(2.2.2) арақатынасты қолданайық:

 

 

 

Бұл теңдеу кез келген үшін орындалған, егер

 

 

 

Осы жерден үшін рекуренттік формуланы аламыз:

 

 

 

((3) формуладан бөлімі нольге тең емес деп болжайтын боламыз, бұл жағдай орындалған шартты төменде қарастырамыз) және

 

 

 

Біз бұны (2.2.2) арақатынастан шығардық.

Егер де және коэффициенттері белгілі болса және мәні белгілі болса, онда оң жақтан солға қарай қозғала отырып ( –ден – дейін) тізбектей анықтаймыз. мен үшін теңдеулер – сызықты емес, олар бұл функциялардың мәнін екі көрші нүктелерінде байланыстырады. мен үшін есеп сол жақтан оңға қарай шығарылады, үшін – қарсы бағытты шығарылады. Әрбір функциялары үшін Коши есебін шығару керек. Бұл функциялардың бастапқы мәедерін табу үшін шекаралық мәндерді қолданамыз. (2.2.2) формула болған жағдайда ақиқат болғандықтан. болған жағдайда

 

 

 

болады. Басқа жағынан,

 

 

 

Сондықтан

 

                                                                                                       (2.2.5)

 

                                                                                                                     (2.2.6)

Осылай  мен функциялары үшін Коши есебін аламыз: үшін (2.2.3) пен (2.2.5), ал үшін (2.2.4) пен (2.2.6) (тура қуалай формуласы).

Барлық  үшін мен функциялары табылғаннан кейін шекаралық мәнін табу керек. Бұл шекаралық мән келесі теңдеулер жүйесінің шешімінен анықталады

 

 

 

бұл жерде, егер ,

 

 

 

Осылай  анықтау үшін Коши есебін аламыз (2.2.2), (2.2.7) (кері қуалау формулалары).

Қарастырылған әдіс қуалау әдісі деп аталады (оң қуалау).

Оң қуалаудын барлық формулаларын жинап, қолдану реті бойынша жазатын  болсақ, келесі түрде болады:

 

 

 

 

 

 

 

 

Қуалау әдісінің орнықтылығы. Жоғарыда қуалау әдісінің формулалары  формальді түрде алынған. Біз және өрнектерін қашан бөлуге болатынын білмей бөлдік. (2.2.2) мен (2.2.7) формуланың мағынасы болатындай жетлілікті шарттарды көрсетейік:

 

 

 

 

 

Бұл шарттардан барлық үшін болатынын көрсетейік.

Енді  деп болжап, көрсетейік; болғандықтан, міне осы жерден барлық үшін деп аламыз.

Келесі айырымдықты қарастырайық: . болғандықтан, болады, яғни

 

 

 

Бұл жерден егер болса, болатыны көрініп тұр; болғанда барлық болады. (2.2.7) формуласының бөлімін бағалайық:

 

 

 

өйткені немесе , яғни .

Міне осылай, (2.2.8) шарты бойынша (2.2.3), (2.2.4) және (2.2.7) формулаларының бөлімі нольден өзгеше болады. Ескеретін бір жағдай, егер дым дегенде бір нүктесінде болса, онда барлық – да болады және де үшін де солай болады. Бұл жағдайда шарты қажет емес болып қалады, өйткені және болғанда, .

Міне осылай, (2.2.8) шартты орындаған кезде (2.2.2)-(2.2.7) формулаларымен анықталатын (2.2.1) есеп жалғыз шешімнен тұрады.

Бұл формулалармен есептеу  ЭЕМ жуықтау арқылы есептелінеді. Нәтижесінде қате шығатын болса, дөңгелектеу функциясында емес ((2.2.1) есептің шешімі, – қарсылық білдіретін коэффициенттер мен оң жақ бөліктерден , тұратын тура сол есептің шешімі болып табылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 САНДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДІҢ НӘТИЖЕЛЕРІ.

 

Сурет 5. Айқын емес сұлба бойынша бірінші тесттік есепке (2.1.16) келтірілген сандық эксперименттің нәтижесі

 

Сур.5–те нақты шешімі (1.2.1.3) бар бірінші тесттік есептің сандық шешілген графиктері көрсетілген. Есептеулер түйін саны бірқалыпты торда жүргізілген. Аймақтың ұзындығы 1 тең болып алынып, деп жорамалданды, уақыттың соңғы мезеті , тұтқырлық коэффициеті , ал коэфициенті 1 тең, . Нақты шешім үзік сызықпен бейнеленген. Бұл эксперименттің мақсаты берілген сұлба шынымен де абсолют орнықты болатынын көрсету болды. Сондықтан есептеу уақыт бойынша әр түрлы қадамдарда жүргізілді, бұл қадамдар шамасымен реттелініп отырды, дәлірек . Келесі берілген мәндер алынған болатын , мұндағы жақшаның ішінде шамасына сәйкес келетін сур.5–гі график номерлері көрсетілген.

 

 

 

 

Сурет 6. Кранк-Николсан сұлба бойынша бірінші тесттік есепке келтірілген сандық эксперименттің нәтижесі

 

(2.1.16) және (2.1.17) сұлбалардың дәлдігін салыстыру үшін сандық эксперименттер жүргіздім. Бірінші сұлба уақыт бойынша үлкен қадам алғандығымнан қанағаттандырмайтын нәтиже берді. (Cур. 6-дағы 2 сызыққа қараңыз). Бұл жерде тура осындай уақыт бойынша алынған үлкен қадамда Кранк-Николсан сұлбасы дәлірек нәтиже көрсетті.