Ток функциясы, құйын

 

РЕФЕРАТ

 

 

Бітіру жұмысында  «Ток функциясы, құйын» айнымалыларындағы тұтқыр сығылмайтын сұйықтың қозғалысын сипаттайтын теңдеулер қарастырылған. Есептің қойылымында сыртқы күш жоқ болған кездегі қасиеттері тұрақты болатын сығылмайтын ньютондық тұтқыр сұйықтың жазық ағынын сипаттайтын негізгі теңдеулер: қозғалыс мөлшерінің екі теңдеуі (Навье – Стокс теңдеулері)  және үзіксіздік теңдеуінен құйын тасымалдау теңдеуі мен ток функциясын анықтаған. Құйын тасымалдау теңдеу тәртібінің көптеген аспектісін зерттеу үшін, модельдік теңдеу ретінде конвективті және диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу мен Бюргерс теңдеуін қарастырылған.

Аталған теңдеулер бойынша әр түрлі сандық сұлбаларды келтіріп, зерттелген. «Ток функциясы, құйын» айнымалылары бойынша сығылмайтын сұйықтың торлық теңдеулеріне әр түрлі сұлбалар бойынша сандық есептеулер жүргізіп, зерттелген.

Көлемі 40 беттен тұратын бітіру жұмысы кіріспе бөлімінен, 3 бөлімнен, қорытынды бөлімнен, пайдалынылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Жалпы бітіру жұмыстың құрамына 7 сурет кіреді. Бітіру жұмыстың соңында қосымшалар бар.

Кілт сөздер: сығылмайтын  сұйық,  конвективті және диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу, құйын тасымал теңдеуі, сұлбалар, Том формуласы, Вудс формуласы, орнықтылық шарт.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АНЫҚТАМАЛАР

 

 

Гидродинамика—	гидроаэромеханиканың сығылмайтын сұйықтықтың қозғалысын және оның өзімен шекаралас орналасқан қатты денемен әсерлесуін зерттейтін бөлімі.
Рейнольдс саны—	(ағылшын ғалымы О.Рейнольдстың атымен) — инерциялық күш пен тұтқырлық күш арасындағы қатынасты анықтайтын, тұтқыр сұйықтық пен газ ағысының ұқсастық критерилерінің бірі.
Тұтқырлық—	сұйықтар мен газдардың  негізгі қасиеттерінің бірі, сұйыктың қозғалысына кедергі жасайтын ішкі үйкеліс күштері.
Сызықтық теңдеу —	белгісіздері (айнымалы шамалары) 1-дәрежелі болып келетін және белгісіздердің көбейтінділері қатыспайтын теңдеу
Диффузия—	(лат. dіffusіo – таралу, жайылу) – нақтылы дене бөлшектерінің жылулық қозгалыстарга ұшырай отырып, сол дене конңентрациясының селдір аудандарына қарай жылжуы; молекулалардың жылулық қозғалысы салдарынан шеқаралас орналасқан әр түрлі заттардың бір-біріне өту құбылысы..
Проекция (лат. projectio - алға лақтыру)—	бұйымның  бетке, көбінесе жазықтыққа белгілі бір әдіспен тұрғызылған кескіні.
Айырымдық сұлба (the difference circuit) —	дифференциалдық тендеулер  мен белгілі бір нүктелердегі туынды функциялар мәндерінің ақырғы саны арқылы жуықталып ұсынылған  айырымдық теңдеулер жүйесінің  қосымша шарттарының аппроксимациясы.
Итерация (лат. іteratіo – қайталау) –	қандай да бір математикалық  амалды қайталап қолдану.
Түйін –	тордағы нүктелер.
Конвекция (лат. convectio— әкелу, жеткізу)	1. атмосферада — жер  бетіндегі неғұрлым жылыған (тығыздығы кем) ауа массасының немесе ағынының жекелеген бөліктерінің жоғары көтеріліп, онымен бір мезгілде неғұрлым салқын (тығыздау) ауа массасының төмен түсуі. 2.мұхиттағы конвекция—  температура немесе тұздылықтың  өзгеруі нәтижесінде судың тығыздығы  өзгеруінен туындайтын вертикаль  қозғалысы.

 

 

Белгілеулер

 

 

	Тығыздығық
	жылдамдық.
	қысым.
	Құйын
–	ток функциясы
–	өзіндік ұзындық.
–	Курант саны.
–	есептің өзіндік жылдамдығы
–	өлшемсіз параметр, Рейнольдс  саны
	құйын тасымалдау теңдеуіндегі өлшемге сәйкес келетін диффузияның жалпыланған коэффициенті
–	жорамал бірлік
–	өту көбейткіші

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАЗМҰНЫ

 

 

	Кіріспе ...............................................................................................................6
1	«ТОК ФУНКЦИЯСЫ, ҚҰЙЫН» АЙНЫМАЛЫЛАРЫНДАҒЫ  ТҰТҚЫР СЫҒЫЛМАЙТЫН СҰЙЫҚТЫҢ ҚОЗҒАЛЫСЫН СИПАТТАЙТЫН ТЕҢДЕУЛЕР.....................................................................................................8
1.1	Есептің қойылымы...........................................................................................9
1.2	Модельдік есептер..........................................................................................13
1.2.1	Тасымалдаудың бірінші модельді теңдеуі: конвективті және диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу..........................................................................................13
1.2.2	Тасымалдаудың екінші модельді теңдеуі: Бюргерс теңдеу.......................14
1.3	Гидродинамиканың толық  есебінің  барлық шешу процедурасының жалпы түрі.......................................................................................................16
1.4	Ток функциясы мен құйын  үшін шекаралық мәндер.................................17
1.5	Ток функциясы мен құйын  үшін шекаралық шарттардың қойылымы.......................................................................................................20
1.6	Құйынның шекаралық мәні үшін тестілік есеп...........................................22
2	САНДЫҚ СҰЛБАЛАРҒА ШОЛУ................................................................25
2.1	Конвекция–диффузия сызықтық теңдеуі үшін айырымдық сұлбалар.....................................................................................25
2.2	Қуалау әдісі.....................................................................................................30
3	САНДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДІҢ НӘТИЖЕЛЕРІ............................................34
	Қорытынды....................................................................................................38
	Пайдаланылған әдебиеттер.........................................................................39

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

 

 

  Жұмыстың жалпы сипаттамасы. Дипломдық жұмысым «ток функциясы, құйын» айнымалыларындағы тұтқыр сығылмайтын сұйықтың қозғалысын сипаттайтын теңдеулер үшін айырымдық сұлбаларды құру мен зерттеуге арналған.

Зерттеу нысанасы – «ток функциясы, құйын» айнымалыларындағы бірөлшемді тұтқыр сығылмайтын сұйықтың қозғалысын сипаттайтын теңдеу мен модельдік теңдеулер.

  Мәселенің (проблема) өзектілігі.  Техника және жаратылыстанудың дамуында сұйық қозғалысысының заңын зерттеу әрқашан маңызды роль ойнаған. Бұл саладағы зерттелу авиация, кеме жасау, жылу энергетикасы, атом энергетикасы, геофизика және т.б. қажеттіліктеріне жағдай жасап отырады.  Осы соңғы он жылда сұйық қозғалысына байланысты зерттелу сферасы мен осы сферадағы құбылыс қолданысы айтарлықтай кеңейді. Бұл сфераға техниканың алдыңғы қатарлы  бағыттарымен ( химиялық технология, металлургия, мұнай өндірісі және т.б.) қоса негізгі жаратылыстану ғылымдары

( биология, атмосфера және  мұхит физикасы және т.б.) кіреді.

Сұйық динамикасын зерттеу  барысында шыққан әр түрлі болып  келетін есептер теориялық жолмен немесе мұқият та ұқыпты қойылған физикалық  эксперимент көмегімен зерттелуі  мүмкін. Көптеген жағдайларда сұйық  ағысы кезінде өз орны болатын  құбылысты модельдеу  лабораториялық және табиғи жағдайында аса қиындатылған. Осы сұйық қозғалысынын зерттеу  сияқты бағыттардағы физикалық эксперименттер әдетте техникалық жағынан ауыр, қиын және қымбатқа шығады. Онымен қоса, тәжірибелі өлшеулердің берілімі жалпы жағдайда шектеулі сипатқа ие болып келеді. Сол себептен гидродинамикалық зерттеулерде математикалық модельдеу маңызды  роль атқарады.

Сығылмайтын сұйықтың дифференциалдық  теңдеулер жүйесінің сандық шешілуіне  көптеген монографиялар мен ғылыми мақалалар арналған, оның ішінде қазақ  зерттеушілерінің құнды жұмыстары  баршылық. Есептеу гидродинамика  саласында жұмыс атқаратын мамандар үшін тұтқыр сығылмайтын сұйықтың Навье–Стокс теңдеуінің шешіміне тиімді сандық алгоритм құру аса қызығушылық тудырады. Бұл жүйені «ток функциясы, құйын» айнымалылары бойынша қарастыратын болсақ, есептеулік және теориялық қиындықтар туады.

Сондықтан сығылмайтын сұйық  теңдеулерін шешудегі айырымдылық  әдістер теориясының ары қарай  дамуы есептеу математикасында  өзекті мәселелердің бірі болып табылады.

Жұмысымның мақсаты «ток функциясы, құйын» айнымалыларындағы сығылмайтын сұйықтың торлық теңдеулері үшін ең тиімді итерациялық сұлбаларды зерттеу болып табылады.

Жұмыстағы көрсетілген мақсатқа жету үшін келесі міндеттер қойылды:

1. сығылмайтын сұйықтың торлық теңдеулері үшін итерациялық

сұлбалар құру.

2. айқын емес итерациялық сұлбалардың орнықтылығы мен дәлдікке зерттеу.
3. сандық есептеулер жүргізу және алынған нәтижелерге талдау

жасау.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 «ТОК ФУНКЦИЯСЫ, ҚҰЙЫН» АЙНЫМАЛЫЛАРЫНДАҒЫ ТҰТҚЫР СЫҒЫЛМАЙТЫН СҰЙЫҚТЫҢ ҚОЗҒАЛЫСЫН СИПАТТАЙТЫН ТЕҢДЕУЛЕР

 

 

Тұтқыр сығылмайтын сұйықтың ағынын сипаттайтын Навье – Стокстың теңдеуі көптеген жылдар ағынында жеке туындылы теңдеулерді шешу мәселесімен айналысатын зерттеушілер мен сандық талдау аймағында жұмыс атқаратын мамандардың назарын аударып келеді. Бұндай қызығушылыққа қарамастан, үш кеңістік айнымалылар жағдайындағы стационарлы емес Навье – Стокс теңдеуінің шешімінің болуы мен жалғыздығы туралы сұрақ әлі де ашық қалуда.

Бұл теңдеулердің сандық шешу жағдайы өте ауыр сипатқа ие. Мұндағы  мәселе, бір түрдегі есепті жақсы  шығаруда көрінген сандық әдіс басқа  түрдегі есепті шығаруында тиімсіз  болып келеді. Өлшемнің аз болып  келуі тордағы қадамның ұсақталуына  байланысты проблемаға тірейді.

Тұтқыр сұйық ағыны  туралы есептің шешімі сызықты емес теңдеулердің шешілуін қажет етеді, және де оның сызықты еместігі теңдеудің  сол жақ бөлігіндегі тұрған, жылдамдықтың конвективті бөлігін сипаттайтын  инерциондық мүшесінде тұр. Бұл  мүшені оған жақындатылған сызықты  өрнекке ауыстыратын болсақ теңдеудің  сызықтандырылуына алып келеді. Бұндай сызықтандырудың қарапайым мысалы ретінде Стокстың классикалық есебі  бола алады.

Навье – Стокс теңдеулер жүйесін интегралдау кезінде нақты шешімді алу үшін шекаралық шарт қолданылуы тиіс, егер қозғалыс стационарлы емес болған кезде бастапқы шарттар қолданылуы керек. Тұтқыр сұйықтың қозғалысы туралы жеке түрдегі есептер үшін шешімнің бар болуы мен жалғыздығы туралы теоремалардың қатал дәлелдеулері бар [1]. Бұл теоремалар өзінің жалпы математикалық мазмұнын қоса дифференциалдық теңдеулерге қойылған шекаралық және бастапқы шарттардың қандай болу керек екендігін көрсететіні үшін маңызды.

Қазіргі уақытта гидродинамика  есептеріне негізделген сандық әдістерде  бағыттардың қатары анықталған. Оның інінде ерекше орын алатын әдістер: ақырлы айырымдық әдістер, «ірі бөлшектер», ақырлы элементтердің, интегралдық қатынастардың, торлық-варияциялықтың және т.б. әдістер болыа табылады. Тұтқыр сұйық динамикасына байланысты айтатын болсақ, онда бұл жерде ақырлы айырымдық әдісін қолдану аса сәттілік алып келуде. Бұл әдіс өзінің қарапайымдылығы мен негізінің жан жақты болып келуімен ерекшеленеді және де нәтижесінің жоғарғы деңгейде дәл шығуын қамтамасыз етеді. Бұл әдіс әр түрлі шекаралық және бастапқы шарттары бар сызықты емес теңдеулері мен сызықты да теңдеулерін сандық шешу үшін қолданылады.

Сызықты айырымдық сұлбалардың  теориялары, яғни айырымдық сұлбалардың  аппроксимация, рет, орнықтылық , жинақтылық сияқты қастиеттерін зерттеу А.А. Самарский, А.В Гулин [2], А.А. Самарский, Е.С. Николаев [3], А.А. Самарский [4], А.А Самарский., Р.Д. Лазаров, В.Л. Макаров [5], В.М Ковеня [6] және де тағы басқа өз еліміздегі және шетел елдеріндегі есептеуіш математиктердің монографиярында кеңінен, тереңінен жазылған.

Навье-Стокс теңдеуін шешуде Н.Т. Данаев, Ш.С Смагулов [15] үлкен еңбегін сіңдірген. Бұл еңбекте қатты өзгермелі коэффициенттері бар Навье-Стокс теңдеуі үшін тиімді сандық әдістер қарастырылған.

Екі айнымалы болған кездегі  Навье-Стокс теңдеуін шешу тәсілінің бірі ток функциясы мен құйын айнымалыларын қолдануында бекітіледі және де сығылмайтын сұйық үшін екіөлшемді теңдеуді шешудің таралған әдістерінің бірі болып саналады.

Сандық әдістердің көптеген бөлігі ток функциясы мен құйын  айнымалыларын қолданғандағы теңдеулер  жүйесі үшін құракстырылған. Бұл әдістердің жалпы кемшілігі қатты беттегі  құйын үшін шекаралық шарттарды  қолдану болып табылады, ол есептің  физикалық қойылымда жоқ.

Стационарлы емес күйде жағдай нашарлай түседі, -дан уақыт бойынша алынған туынды қосылады. Онымен қоса, ток функциясы үшін екі шекаралық мән беріледі, ал құйын шекаралық мән жоқ болып келеді. Бұның бәрі арнайы сандық әдістерді құруды талап етеді. Ереже бойынша бұл әдістер құйын үшін жасанды шекаралық шарт енгізуге негізделген. (Том, Вудс формуласы және т.б) [22], [23].

Шаршы кавернадағы тұтқыр сығылмайтын сұйық ағынына сандық зерттеу [21] мақалада қарастырылған. Және де есептің қойылымы бір белгісіз функция–ток функциясы алынған, ол үшін төртінші ретті теңдеу жазылған.

Бұл мақаланың аса бір  ерекшелігі кавернаның жоғарғы беті ақырындап нөлден кей шекті мәнге  дейін өсетін айнымалы жыламдықтан  тұратыны ([21]–те жоғарғы бетінің шекті мәні 1 тең).

 

 

1.1 ЕСЕПТІҢ ҚОЙЫЛЫМЫ

 

 

Сыртқы күш жоқ болған кездегі қасиеттері тұрақты болатын  сығылмайтын ньютондық тұтқыр сұйықтың жазық ағынын сипаттайтын негізгі  теңдеулер   қозғалыс мөлшерінің екі теңдеуі (Навье – Стокс теңдеулері)  және үзіксіздік теңдеуі болып табылады және келесі түрде жазылады:

 

 

 

 

 

 

 

Теңдеулер жылдамдығының , векторлары мен P қысымнан тұратын физикалық айнымалылар үшін жазылған. Сұйықтың қасиеттері тығыздық

 пен тұтқырлық кинематикалық  коэффициентімен сипатталады. Бұл теңдеулер келесі физикалық заңдарға негізделген: (1.1.1), (1.1.2) теңдеулер қозғалыс мөлшерінің векторлық теңдеуінің (Ньютонның екінші заңы) проекциясы болып табылады, онымен қоса тұтқыр күштер жанама кернеу үшін сызықты ньютондық заң бойынша деформация жылдамдығымен байланысқан, ал (1.1.3) теңдеуі массаның сақталу заңын білдіреді. Келтірілген теңдеулер координатаның эйлерлік жүйесінде жазылған, дәлірек айтқанда қозғалмайтын жүйеде. Сұйық сол қозғамайтын жүйеге салыстырмалы қозғалады. Тікелей осы теңдеулерді сандық шешуге болатынына қарамастан, өте жақсы нәтижелерді құйын мен ток функция үшін сандық шешуде алуға болады.