Ток функциясы, құйын

теңдеулерінің біріншісін у  бойынша, ал екінші теңдеуді х бойынша  дифференциалдап, шыққан нәтижені бір  бірінен алып, қысымды шығырып  тастауға болады. Құйынды төмендегідей анықтап

 

 

 

параболалық типті құйынды тасымалдау теңдеуін аламыз:

 

 

 

Субстанциональды туынды қолданып, бұл теңдеуді келесі түрде көрсетуге болады:

 

 

 

Ток функциясын келесі арақатынастармен анықтап

 

 

 

(1.1.4) теңдеуді эллиптикалық типті Пуассон теңдеуі ретінде жазуға болады:

 

 

 

Құйынды тасымалдау теңдеу (1.1.5) құрамына тұрақты емес мүше /, конвективті мүшелер / және / және  тұтқыр диффузиямен байланысты мүше кіреді. Бұл теңдеу конвективті мүщелері үшін сызықты емес, өйткені (1.1.7) және (1.1.8) күшінен мен өздігімен тәуелді айнымалының функциялары түрінде көрсетіледі.Ол уақыт бойынша параболалық болып табылады, сондықтан оған бастапқы шарттары болатын есеп қойылады. Ол есепте шешім кейбір бастапқы берілімнен әр қадам бойынша «жылжиды».                                                     

Ток функциясының (1.1.8) теңдеуі эллиптикалық болып табылады, сондықтан оған итерациялық әдіспен шығарылатын, шекаралық шарттары берілген есеп қойылады. Көптеген практикалық есептерде шешімнің уақыт бойынша шығу нәтижесі емес, тек тұрақты шешімі ғана қызықтырады; бұл жағдайда (1.1.5) теңдеуінің сол жақ бөлігіне /=0 қойып, бір тәуелсіз айнымалы – уақытты алып тастаймыз. Негізі ереже бойынша аналитикалық зерттеу жүргізген уақытта дәл солай істейміз; сондықтан осы есептеу гидродинамикасымен жұмыс істеп көрмеген адамдар гидродинамиканың тіпті стационарлы есептерінің көптеген(тек барлығы емес) тиімді сандық әдістерімен шешілуі стационарлы емес теңдеулерді интегралдауға негізделетініне, ал стационарлы шешім (егер ол болса) стационарлы емес теңдеулерінің шешілу шегі уақыт бойынша асимптоталы болып келетініне таңқалады.

Тағы бір есекеретін жағдай, құйынды тасымалдау теңдеуі (1.1.5) басқа да көптеген үрдістерге модельдік сипаттама жасау қызметін атқарады.

Әдетте математиктер жеке туындылы (сызықты) дифференциалдық теңдеулердің келесі типтегі классификациясына қанағаттанады: параболалық, эллиптикалық және гиперболалық. Бұндай классификацияда құйын тасымадау теңдеуі мен диффузия теңдеуінің /=/арасында айырмашылық жасалмайды, бірақ, төменде көрсетіп отырғанымдай, (1.1.5) теңдеуде бірінші ретті туындының болуы, оның диффузия теңдеуіне қарағанда сапалы өте жақсы екендігін көрсетеді, және де конвективті мүше сандық шешу кезінде аса маңызды рөл ойнайды. Өкінішке орай, көрсетілген екі мүше үшін әртүрлі сандық сұлбалар ең тиімдірек болып шығуы мүмкін.

 

 

Теңдеудің консервативті  формасы

 

Үзіксіздік теңдеуін (1.1.3)

 

 

 

толық жылдамдық векторы  арқылы келесі түрде жазуымызға болады:

 

                                                                                                              (1.1.9)

 

 қарастырайық. Векторлық алгебрада келесі тепе-теңдік белгілі

 

 

 

Сонымен құйын тасымалдау теңдеуінің консервативті формасын алу үшін (1.1.5) теңдеуде мүшесін осы мүшеге ауыстыру керек, нәтижесінде

 

 

 

осындай түрге келеді.

 

 

Өлшемсіз айнымалылар теңдеулері

 

Менің дипломдық жұмысымда  қолданылған өлшемсіз айнымалылармен келетін теңдеулер жүйесі барлық жерінде конвективті масштабқа негізделеді, мұндағы–өзіндік ұзындық, ал –есептің өзіндік жылдамдығы; мысалы, егер –қанатты пішіндегі хорда ұзындығы және –жүгірмелі ағынның жылдамдығы, онда –уақыт, осы уақыт аралығында жүгірмелі ағынның бөлшегі бүкіл пішіннен(профиль) өтеді. Келесі өлшемсіз шамалар енгіземіз:

 

 

 

Осыдан (1.1.10) және (1.1.8) теңдеулер келесі түрге келеді

 

 

 

 

 

мұндағы – өлшемсіз параметр, Рейнольдс саны,

 

 

 

Сайып келгенде, шекаралық  шарттағы кез келген берілген жиынтығы үшін ағын бір өлшемсіз параметр–Рейнольдс санымен сипатталады.

Ендігі есеп қойылымымда мен N=1 болғанын қарастырамын.

 

 

 

 

Ток функциясы үшін келесі шекаралық мәндері қойылады:

 

 

 

 

1.2 Модельдік есептер.

 

 

Құйын тасымалдау теңдеуі  консервативті емес және консервативті (1.1.12) формада да уақыт бойынша параболалық болып келеді, екі тәуелсіз кеңістік айнымалыдан тұрады және сызықты емес конвективті мүшелер арқылы ток функциясы үшін келтірілген эллиптикалық Пуассон теңдеуімен (1.1.13) байланысты. Бұл теңдеулердің ақырлы–айырымдық ұқсастығының орнықтылығына жоғарыда айтылған теңдеу қаситтерін ескере отырып, зерттеу әлі де жүргізілген емес. Дегенмен құйын тасымалдау теңдеу тәртібінің көптеген аспектісін зерттеп, төменде келтірілген екі модельдік теңдеулерінің кез келгенін қарастыра отырып, көптеген ақырлы–айырымдық сұлбалардың елеулі белгілерін анықтауға болады [11].

 

 

1.2.1 Тасымалдаудың бірінші модельді теңдеуі: конвективті және

диффузиялық мүшелері бар сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу

 

 

Тасымалдаудың бірінші модельді теңдеуі болып конвективті және диффузиялық мүшелері бар (Аллен [1968], У. Кроули [1968а]) сызықтандырылған бірөлшемді теңдеу болып табылады, консервативті формада жазылған түрі

 

 

 

Я болмаса консервативті  емес формада

 

 

 

Бұл теңдеулерде  құйынды немесе басқа бір конвективті және диффузиялық өлшемді білдіреді, –құйын тасымалдау теңдеуіндегі өлшемге сәйкес келетін диффузияның жалпыланған коэффициенті, –конвекцияның сызықтандырылған жылдамдығы.   x бойынша тұрақты деп санаймыз, . Қарастырылып отырған екі бірөлшемді теңдеулер құйын тасымалдау теңдеулері болып табылмайды(өйткені бірөлшемді біртекті ағында құйын болмайды), әйтсе де көпөлшемді теңдеулердің кейбір аспекттерін модельдейді. Физикалық түрде бұл теңдеулер бір біріне бояуы араласқан сұйықтың конвекциясы мен диффузиясын сипаттайды. Бірінші модельдік теңдеудің нақты шешімі

 

 

 

Тексеру:

 

 

 

 

 

 

 

   

  

Нақты шешімнің дұрыс екендігі айқындалды.

 

 

1.2.2 Тасымалдаудың екінші модельді теңдеуі: Бюргерс теңдеу

 

 

Тасымалдаудың екінші модельдік  теңдеуі Бюргерс теңдеу

 

 

 

болып табылады. Мұндағы  жалпыланған жылдамдық болып қарастырылады. Бұл теңдеу құйын тасымалдау теңдеулері мен Навье–Стокс теңдеуінің сызықты еместігін сақтайды. Бұл теңдеуде әртүрлі ақырлы–айырымдық сұлбаларды зерттеуге болады. Бюргерс теңдеуінің нақты шешімі

 

 

 

Тексеру:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нақты шешімнің дұрыс екендігі айқындалды.

1.3 Гидродинамиканың толық есебінің  барлық шешу процедурасының жалпы түрі

 

 

Негізі жеке есептерді, нұсқаларды және болмашы сұрақтарды зерттеуден бұрын гидродинамиканың толық есебінің барлық шешу процедурасын жалпы түрде сипаттап кеткен жөн. Нақтылық үшін тек стационарлы емес теңдеулер шешіміне негізделген жай тәсіл үшін есептеу циклын сипаттаймыз.

Зерттеліп отырған ағын аймағы ақырлы–айырымдық тормен жабылады. Ақырлы–айырымдық шешім тордың қиылысқан сызықтарында жататын тордың түйіндерінде анықталатын болады.

Жалпы шешім  уақыт мерзімінде тордың барлық түйіндеріне алғашқы шарттар , , және қойылудан басталады. Бұл алғашқы шарттар кейбір айқын бастапқы жағдайларға (егер стационарлы емес есептерді шешу жағдайы қарастырылатын болса) немесе стационарлы шешімге кей өрескел жуықтауына(егер орнатылған тәртіп жағдайы қарастырылса) сәйкес бола алады.

Саналып отырған аймақтың барлық ішкі нүктелерінде жуықтап анықтау үшін құйын тасымалдаудың дифференциалдық теңдеуінің (1.1.12) кейбір ақырлы–айырымдық ұқсастығы қолданылған кезден бастап есептеу циклы басталады. жаңа мәндері құйын тасымалдау теңдеуін уақыт бойынша жылжытуымен өсу уақытына сәйкес келетін жаңа уақыт қабатында есептелінеді, мысалы (жаңа)=(ескі )+. Келесі есептеу циклы ток функциясының жаңа мәндерін анықтау үшін Пуассон теңдеуіндегі (1.1.13) ақырлы–айырымдық ұқсастықты шешу болып табылады, сонымен қатар (1.1.13) теңдеудің оң жақ бөлігінде тордың ішкі түйіндеріндегі жаңа мәндері қолданылады. Жаңа үшін Пуассон теңдеуі әлі белгілі емес жаңа үшін шекаралық шарттарына тәуелді еместігі маңызды. Әдетте жаңа үшін шешім итерациялық жолмен шығады, сондықтан табу үшін итерациялық үрдіс жалпы есептеу циклына қосылады. Енді өлшемсіз айнымалыдан тұратын теңдеудің (1.1.7) ақырлы–айырымдық ұқсастығын қолдана отырып, жаңа құрылған жылдамдықтарды табамыз. Есептеу циклының соңғы қадамы қарастырылып отырған аймақтың шекарасындағы құйынның жаңа мәнін есептеуден тұрады. Әдетте бұл жаңа шекаралық мәндері сол шекараға жақын орналасқан аймақтың ішкі нүктелеріндегі жаңа және (есептеліп қойылған) мәндерге тәуелді болады. Одан кейін есептеу циклы уақыттың берілген мәніне жетпейінше немесе шешім дәлдіктің берілген дәрежесіндегі стационарлыққа өтіп кетпейінше қайталана береді. Бұл процедураның кейбір жерлері әр түрлі белгілі бір есептер үшін өзгеріп отырады, тек негізгі сұлба өзгеріссіз қалады.

 

 

 

 

1.4 Ток функциясы мен құйын үшін шекаралық мәндер

 

 

Ары қарай ток функциясы  мен құйын үшін шекаралық мәндерді есептеу әдістерін толық сипаттаймын. және шындыққа сай келетін шекаралық шарттарының кейбір типтерін елестету қиын емес, бірақ орнықты шешімге әкелетін анық нақты шарттарды анықтау мүмкіндігі сәтті болып келмеуі мүмкін. Сандық эксперимент көмегімен анықталған кез келген шекаралық шарттардың сәйкестілігі Рейнольдс санына, ішкі нүктелерде қолданылатын айырымдық сұлбаларға, басқа шекаралық шарттарға, кейде бастапқы шарттарға да тәуелді болатыны белгілі болды. Мұндай факторлардың көп болуы аналитикалық зерттеуді қиындатады және олардың қолданысына шек қояды. Әйткенмен бұл бағытта жасалған жұмыстар көп; мысалы Эдди [1949], Кист пен Митчелл [1967], Кемпбелл мен Кист[1968], П. Дж. Тейлор[1968, 1969, 1970] мен Чен [1968, 1970].

Көптеген есептерде математикалы қатаң шешімдері жоқ. Біздің негізгі қорытындылар интуиция мен сандық эксперименттерге негізделетін болады.

Шекаралық шарттарды зерттеу  кезіндегі көптеген сандық эксперименттер құйын тасымалдау теңдеуі үшін жай  екіқабатты айқын сұлбалар көмегімен  орындалды [12]. Ескеріп кетсек, басқа сұлбалардан алынған тура сол шекаралық шарттар орнықсыздыққа алып келетін бірнеше жағдай белгілі. (бұл жерде «орнықсыздық» термині міндетті түрде қателіктің экспоненциальды өсуі деген мағынада емес, итерация жинақтылығы жоқ деген мағынада қолданылады). Бұл мысалдардың осындай маңызды жеке әдістерді қолданудан алдын ала сақтау қызметін атқаруына болады.

Көбінесе берілетін шекаралық  шарттар не Дирихле шарттары (функция мәні берілген), не болмаса Нейман типінің шарттары(шекараға нормаль келетін функция градиенті берілген) болып келеді. Осы уақытқа дейін функция мәнінің сызықтық комбинациясы мен нормальды туынды берілген, аралас типті шарттардан (Роббин шарттары) тұратын гидродинамикалық есептер шығарылған емес [13].

Ток функциясы мен құйын  үшін шекаралық шарттарды есептеу  тәсілін қарастырайын [14]. Құйын тасымалдау теңдеуі (1.1.12) конвекция мен диффузияның көмегімен құйынның таралуын сипаттайды, бірақ құйын ішкі нүктелерде емес, жабысу шарты қойылатын шекараларда туындайды. Дәл диффузия және осы қабырғада пайда болған құйынның келесі конвекциясы есептің мазмұнын анықтайды.

Сурет 1.

 

Қабырғадағы құйыннның мәні жабысу шартынан шығады. Мысал ретінде  (сурет 1) қарастырып, жіктеуін (i,jc) нүкте аймағында Тейлор қатарына жіктеп жазамыз:

 

 

 

 

Бірақ жабысу шартының күшінен , ал

; онымен қоса . Қабырғаның бойында ( т.е. ) болғандықтан, . Сайып келгенде, . Бұл өрнектерді (1.4.1) қойып, шартын ескере отырып салыстырмалы шешіп, келесі теңдікті аламыз

 

 

 

Қабырғалардың бағдарынан және  шекарадағы мәнінен тәуелсіз былай жазуғак болады

 

 

 

мұндағы –жақын жатқан қабырғадағы түйін нүктесінен оның проекциясына дейінгі нормаль бойынша арақашықтық.

Бұндай бірінші ретті  шарт ең алғаш 1928 жылы Том [1928, 1933] жұмыстарында ұсынылған және де қазіргі уақытқа дейін кеңінен қолданылады. Бұл шарт өте сенімді және жиі құйын үшін жоғарғы ретті шарттардың формасының көмегімен алынған нәтижелерге жетерлік жақсы келісетін нәтижеге алып келеді [8].

(1.4.1) жіктеуіндегі ретінің мүшелерін сақтай отырып, Вудс [1954] қатты қабырғадағы құйын үшін екінші реттік дәлдіктегі шекаралық шарттың формуласын ұсынды [9]. Құйынды анықтайтын өрнекті анықтап, келесіні аламыз

 

 

 

Үзіксіздік теңдеуінен (1.1.3) бар. Осыны ескере отырып және қабырғаға (1.4.4) жазып,

 

 

 

табамыз.

Жабысу шартының () күшінен екінші мүше нольге тең. мүшесі дәлдік реті бар, айырымы артқа жүретін сұлба бойынша есептелінеді:

 

 

 

Осы өрнекті (1.4.1) теңдеуіне үшін қойып және салыстырмалы келісіп, қабырғадағы құйын үшін Вудс шартын аламыз:

 

 

 

Тағы бір жиі қолданылатын құйынның шекаралық шарты үшін екінші ретті дәлдіктегі формула ең алғаш  Йенсен В.Г. ұсынған [20], ал кейінірек Пирсон С.Е. ұсынды. [16], [17] және басқа да жұмыстарда Вудс пен Пирсон формулаларының көмегімен алынған шешімдер Том формуласын қолданғанға қарағанда орнықтылығы азырақ екендігі көрсетілген. Тіпті орнықты шешім бергеннің өзінде де, Том формуласын қолданған кездегіге қарағанда, нәтиже дәлдігі азырақ (дегенмен Том шартының дәлдігі бірінші ретті, Вудс пен Пирсондыкы–екінші).

Шекаралық шарттың аса анықталу мүмкіндігіне ескерту жасау қажет. Ток функциясы үшін екі шекаралық шарт қойылады

 

 

 

Егер (1.1.8), (1.1.10) жүйесіде тек ток функциясы үшін жазылған теңдеуді қарастыратын болсақ, онда осы шарттардың әр біреуі шешім табу үшін жеткілікті болады. теңдеуіне екі шартты бір уақытта алуға болмайтыны айқын, өйткені бұл есепті аса анықталған қылады. Бірақ шарты қабырғадағы құйынды анықтау үшін жеткіліксіз. Тағы градиентті шартты қолдану қажет. Сондықтан құйынға қойылған басқа шекаралық шарттың атынан градиенттік шарт қолданылады, ал шарты ток фунуциясы бар  теңдеуі үшін алынады. Бұл берілген шарттардың жалғыз таралымы болып саналады [8].