Теория вероятности. Ответы

     При большом количестве опытов использование  формулы Бернулли неудобно. Для этих случаев существует приближенные (асимптотические) формулы.

     Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом опыте стремится к нулю при неограниченном увеличении числа опытов n причем n*p , то вероятность того, что событие А появится ровно m раз в n независимых опытах удовлетворяет предельному равенству.

      =

     !!!Замечания!!!

     1)Из теоремы 1 что = = (λ) – формула Пуассона.

     По  схеме Бернулли p=const, а для формулы Пуассона p 0. Тем не менее с хорошей точностью можно считать, что если p=const и очень мало n велико n*p , то вероятность наступления события А равно m раз в n независимых опытах вычисляется проще по формуле Пуассона. Значение (λ) берутся в специальных таблицах.

     2) λ – это среднее число появления  события А в n независимых опытах.

     Задача 13.1.

     Формула Муавра-Лапласса

     Формула Пуассона применима при p 0 и . В противном случае используют асимптотические формулы Муавра-Лапласса.

     Теорема 1. Если вероятность р наступления события А в каждом опыте постоянно и отлично от 0 до 1, то вероятность того, что событие А произойдет m раз в n независимых опытов. При большом числе n вычисляется по формуле: ,  = * ; x= локальная формула Муавра-Лапласса. Значение берется из таблицы.

     !!!Замечание!!! Формула дает допустимую погрешность при npq≥20. Функция (х) является четной.

     Задача 14.1.

!!!Замечание!!! Если вычисление каждого слагаемого нерационально, то применяют интегральную формулу Муавра-Лапласса.

Теорема 2. Если вероятность р наступления события А в каждом опыте постоянно и отлично от 0 до 1, то вероятность наступления события не менее, чем m1 опыта и не более чем m2 опыта при достаточно большом количестве независимых испытаний n приближенно вычисляется по формуле:  m≤ Ф( )- Ф( ), где Ф( )= dt;

= , i=1,2…

 

!!!Замечание!!!

1)Формула дает  допустимую погрешность при npq=20.

2)Функция Ф(х)  нечётная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х).

Продолжение задачи

Следствие

Если выполняются  условия теоремы (интегральной) Муавра-Лапласса, то вероятность того, что частота  появления события А в n независимых опытах по абсолютной величине отличается от вероятности р наступления события А в одном опыте на величину вычисляется по формуле:

P(| -p|≤ ) 2Ф(х), х= .

 
 

10. Понятия дискретных и непрерывных случайных величин. Закон распределения случайной величины и его формы.

     Опред. Случайная величина явл. Дискретной если ее значение можно перенумероват(число родившихся, число билетов)

     Опред. Случайная величина называется непрерывной если в результате опыта она принимает одно из бесконечного множества значений на некотором промежутке(время безотказной работы, расход электроеэнергии)

     Одни  значения СВ принимает чаще, другие – реже. Т.е. любому из возможных  значений хì СВ Х можно поставить  в соответствие некоторую вероятность  рì появления этого значения. Т.е  рì= Р(Х=хì).

     Рì = это вероятность события состоящего в том что СВ Х имеет значение хì.

     Сумма вероятностей всех возможных значений =1 как сумма событий составл  полную группу.

   Опред. Любое соотношение м\у значениями СВ и соотносимыми им вершинами назыв ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

   1.табл форма.

В порядке возрастания  в табл. Перечисл ввсе возможные  значения дискретной сучайной величины и вероятн.

Х

Ряд распределения  дискрСВ

2.граф. Форма.

В системе координат  последовательно соед точки от начальной до конечной и опускаются перпендикуляры на ОХ. Получаем фигуру распределения.

3. аналит форма.

      Закон распределения может быть задан  в виде формулы если любое значение аргумента х из множества действит чисел ставится в соответствие вероятности  Р(Х<х), состоящего в том, что СВ дискретная или непрерывная примет значение меньше данного х , то  говорят что задана функция распределенияХ и обозначают. F(x)=P(X<x).

11. зависимые и независимые  случайные величины. Математические операции  над одной и  двумя дискретными СВ.

  Две случайные  величины называются зависимыми если закон распределения одной из них не изменится от того какие  возможные значения примет другая в  противном случае. 
СВ зависимы.

  Опред. Суммой (произведением) постоянного числа  и дискретной СВ Х называется дискретСВ, котор принимает все возможные значения С+хì. С теми же вероятностями.

  Степенью  дискретной случайной величины Х  с показателями s называется дискр СВ , которая принимает все возможные значения хì с теми же вероятностями.

  Суммой (разностью или произвед) дискр СВ Х и У называется дискр СВ, которая принимает все возможные значения хì+уì с вероятностями рìý, где

 ì =1,…n, ý= 1, …m.

  Замечания:

1. для независимых дискр СВ рìý=рì+рý для всех случаев в независимости  от того складываются, вычитаются или умножаются дискр СВ.
2. одни и теже значения степени суммы разности и произведения могут быть получены разн способами. Тогда при составл ряда распределения вероятности сов-х значений складываются а само значение запис в табл.

 

12. математич ожидание  дискр СВ : определение, формула, смысл, свойства. Мода дискр СВ.

        Опред. М.- это сумма произведений всех ее значений на соответствующие вероятности. Обозначается: М(Х)= Σ хìрì.

      Замечания:

1. М это среднее квадратическое значение дискр СВ
2. другие обозначения М: Х, <X>.

Свойства:

1. М(с)=С, с= констант
2. М(сХ)=сМ(Х), с=конст
3. М(Х+-У)=М(Х)+-М(У)
4. М(ХУ)=М(Х)М(У), ХиУ=независимые.

Мода.

Опред. Мо СВ Х дискр или непрерыв – это ее наибольшее вероятное значение

Замечания:

1. Мо от постоянной величины не существует
2. некоторые СВ имеют несколько Мо
3. Мо(сХ)=сМо(Х), с=конст
4. Мо(Х+У)не равна сумме мод, Мо(ХУ) не равна произведению мод.

 

12.Математическое  ожидание дискретной  случайной величины: определение, формула  для вычисления, смысл  свойства. Мода дискретной  случайной величины.

Опр. Мат. Ожидание – это сумма произведений всей ее значений на соответствие вероятности. Обозначается:

Замечания: 1. Мат. Ожидание есть средн. Значение дискретной случайной величины Х

2. Др. обозначается  мат-го ожидания.

Cв-ва мат. Ожидания: 1.М(С)=С, с=сonst, 2. M(cX)=с*М(Х), 3.М(Х±У)=М(Х)±М(У) 4. М(Х*У)=М(Х)*М(У), ХиУ -  независ.

Мода:

Опр. Мода случайной величины (Х) дискретной или непрерывной, это ее наиболее вероятностное значение

Замечания: 1. Мода от постоянной величины не существует. 2. Некоторые случайные величины полимодальные, т.е. имеют несколько мод. 3. М₀=(сХ)=сМ₀(Х), с=соnst 4. M₀(X+Y)≠M₀(X)+M₀(Y), M(X*Y)≠M₀(X)*M(Y)

 
 

14. Основные законы  распределения дискретной  случайной величины: биноминальный закон,  закон Пуассона (формулировка, аналитическая форма закона, формулы для числовых характеристик).

Биноминальный закон: Если производится n независимых испытаний в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью Р, то дискретная случайная величина Х – число наступления события А в n независимых опытах имеет биноминальное распределение.

Р(Х=м)= , m=0,1…n.

  X:

 
 

Числовые  хар-ки: 1.М(Х)=n*p 2. D(X)=npq 3. (x)= 4. M₀(X)= m₀

1. Закон Пуассона: Если производится n независимых испытаний n→∞ и в каждом из них событие А может произойти с одной и той же вероятностью р→0. При чем величина ᴧ=np→const, то дискретная случайная величина Х – число наступлений соб.А в nнезависимых опытах. Имеют закон распределения ПуасонаР(Х=м) =*e^-ᴧ

     X:

Числовые  хар-ки:

1.М(Х)=Д(Х)=ᴧ;  2.δ(Х)= ;  3.М₀(Х)=м₀^’;   4.М₀(Х)=м₀^’‘  где м₀ – наивероятнейшее число наступления события А в n независимых опытах

 

     №15 Непрерывная случайная  величина: отличие  от дискретной и определение. Теорема об изолированном  значении. Плотность  вероятности непрерывной  случайной величины и ее свойства.

     Опр. Случайна величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме может быть отдельных точек.

     Замечание: для дискретной случайной величины функция распределения разрывна, каждой точке совпадающей со значением  этой случайной величины.

     Возможные значений непрерывной случайной величины заполняют собой некоторый промежуток, т.е. множество этих значений несчётно. Поэтому для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения. Кроме того нельзя применять табличную форму закона, т.к. справедлива теорема.

     Теорема. Вероятность того, что НСВ примет конкретное отдельное значение равна  нулю. Следовательно 

     Следствие: вероятность того, что значение НСВ  попадет в некоторый промежуток не зависит от того открытый он или  закрытый, т.е. р( = р( = р( = F( -F( )= р(

     Кроме функции распределения F( для НСВ вводится функция f(x).

     Опр. Плотностью вероятностей НСВ называется производная от её функции распределения, т.е. f(x)= F’(

     Замечания:

     1)Иногда  функцию f(x) называют дифференциальной функцией НСВ, а F( - интегральной.

     2)График  функции f(x)  называется кривой распределения

     3)В  отличии от F( , f(x) может иметь разрывы. Она терпит разрывы в тех точках, где функция F( не дифференцируема.

     Свойства  плотности вероятности:

1)f(X)≥0

2)Вероятность  попадания значений НСВ в промежуток  от  до . 

  р( = .

3) F( =

4) =1

Пример12.2

Замечание. Геометрические свойства 1 и 4 означают, что S (площадь) криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения и осью ОХ=1