Теория вероятности. Ответы

Геометрическое  определение вероятности применяется  если число элементарных исходов  бесконечно. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области g, благоприятной для события А к мере всей области G.

Р(А)=М(g)/M(G)

Задача  о встрече: Два человека договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждёт второго в течении 15 минут, после чего уходит, если не встретились. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый на удачу выбирает время своего прихода.

Решение: Пусть х –время прихода первого, а Х – время прихода второго.

0≤х≤60

                                    0≤Х≤60

M(G)=3600

M(g)=Sкв - S∆=3600 – 2*1/2*45^2=3600 – 2025 1575

P(A)=M(g)/M(G)=1575/3600≈0,44

!!!Там где М –это буква МЮ везде

 

5. СУММА И ПРИЗВЕДЕНИЕ  СОБЫТИЙ. ТЕОРЕМЫ  СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ  И НЕСОВМЕСТНЫХ  СОБЫТИЙ, ЧАСТНЫЕ  СЛУЧАИ

Суммой  нескольких событий называется событие, которое состоится если в результате опыта произойдёт хотя бы одно из них: А+В

!Замечания:1) Если события А и В совместны, их сумма состоит в появлении или события А или события В, или обоих вместе.

2) Если  события А и В несовместны,  то их сумма состоит в появлении  или А или В.

3) Сумма  событий, образующих полную группу, является событием достоверным.

Произведением нескольких событий называется событие, которое состоится, если в результате опыта произойдут все эти события. !Замечание: если события А и В несовместны, то А*В=0.

Теоремы сложения вероятностей:

Теорема1:Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятности. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

!Замечания:  1. Для попарно несовместных событий А1,А2,…,Аn   вероятность суммы:

Р(∑(i от 1 до n) Ai) = ∑ (i от 1 до n) P(Ai)|

2. Сумма  вероятностей событий образующих  полную группу равна единице.

3. Сумма  вероятности противоположных событий  равна единице.

Теорема2: Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) – Р(А*В)

!Замечание:  Вероятность суммы трёх совместных событий вычисляется по формуле:

Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) – Р(А*В) – Р(А*С) – Р(В*С)+Р(А*В*С)

6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ.  ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ  СОБЫТИЯ В ПАРЕ. НЕЗАВИСИМОСТЬ ОБЫТИЙ  В СОВОКУПНОСТИ. ТЕОРЕМЫ  УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Произведением нескольких событий называется событие, которое состоится, если в результате опыта произойдут все эти события. Замечание: если события А и В несовместны, то А*В=0.

События А и В называются независимыми, если вероятность любого  из них  не изменится от того, что произойдёт другое. Т.е. Р(В/А)=Р(В), Р(А/В)=Р(А). В противном случае называются зависимыми.

Замечания: 1) Если выполняется равенство: Р(В)=Р(В/А), то это значит что события В и В/А – одинаковы.

2) Р(В/А)  ≠ Р(А/В)

Теоремы умножения вероятностей:

Т.1: Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В, вычисленную при условии, что А произошло: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)

Замечание: события А и В можно поменять местами, тогда Р(А*В)=Р(В*А)=Р(В)*Р(А/В)

Т.2: Если события А и В независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Т.е. Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Замечание: Теоремы 1 и 2 можно распространять на любое конечное число событий.

 
 

7. Схема испытаний  Байеса. Формулы полной  вероятности и  Байеса.

Встречаются ситуации в которых соб-е А происходит только после того, как состоится 1из событий, составляющих полную группу. Причем заранее неизвестно какое. Однако при наличии некоторых данных о вероятностях, вероятность события А можно вычислить.

Т.1. Если соб.А может произойти только при условии, появлении 1из событий(гипотез) Н_1, Н _2…Н _n составляющих полную гр-у, то вероятность соб.А определяется по формуле: Р(А)= - ф-ла полной вероятности._.

Т.2. Если выполняется условия Т.1, то условная вероятность гипотезы Н_i при условии наступления события А опред-ся формулой: Р(Н_i\A)= – формула Байесса.

Замечание: В общем случае Р(H_i\A)≠P(A\H_i)

Схема решения задач на полную вероятность:

1. Осмыслить  условие задачи и записать  кратное условие

2. Ввести  соб.А, ввести гипотезы Н_i появление одной из кот. Должно произойти до соб.А.

3. Найти  вероятности гипотез Р(Н_i) и записать их слева в столбец. Проверить, что (гипотезы составляют полную группу)

4. Рядом  в столбец справа записать  вероятности соб.А при условии,  что верна соот-ая гипотеза.

5. По  ф-ле полной вероятности найти  Р(А)

6. Если  нужно найти условную вер-ть  Р(Н_i\А) используют ф-лу Байесса.

 
 

№7 Схема испытаний  Байеса. Формулы полной вероятности и  Байеса.

     Встречаются ситуации в которых событие А  происходит только после того, как состоится одно из событий, составляющих полную группу. Причем заранее неизвестно какое. Однако при наличии некоторых данных о вероятностях, вероятность события А можно вычислить.

     Теорема1. Если событие А может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) Н1, Н2 …Нn составляющих полную группу, то вероятность события А определяется по формуле: Р(А) = формула полной вероятности.

     Задача 11.1 На столе 25 экзаменационных билетов. Среди них 20 трудных и 5 легких. Студент входит в аудиторию вторым и берет билет. Какова вероятность того, что ему достанется легкий билет.

     Дано: 25 билетов, 20тр, 5 легк. Найти: Р(А) - ?. Решение: А – второй студент вытянул  легкий билет,  Н1 – первый студент  вытянул легкий билет, Н2 – первый студент вытянул трудный билет. Р(Р1) = 1/5 + Р(Н2)= 4/5=1 след-но Н1 и Н2 образуют полную группу. Р(А) = Р(Н1) * Р(А/Н1) + Р(Н2) * Р(А/Н2) = 1/5 * 4/24 +4/5 * 5/25 = 1/30 + 5/30 = 6/30 = 1/5.

     Теорема 2. Если выполняется условие теоремы 1, то условная вероятность гипотезы Н1 при условии поступления события А определяется формулой: – формула Байеса.

     !!!Замечание!!! В общем случае Р(Нi/A)≠P(A/Hi).

     Задача 11.2 Используя условия задачи 11.1 найти вероятность того, что у первого студента был легкий билет, ели второму тоже достанется легкий.

     Р(Н1/А)=Р(Н1)*Р(А/Н1) / Р(А) = 1/5 * 1/6 /1/5 =1/6.

     Схема решения задач  на полную вероятность

     1.Осмыслить  условие задачи и записать  краткое условие;

     2. Ввести событие А. Ввести гипотезы  Hi появление одной из которых должно произойти до события А.

     3. Найти вероятности гипотез Р(Н1) и записать их слева в столбец.  Проверить, что Р(Н1) и от 1 до  n=1. (гипотезы составляют полную группу.

     4. Рядом столбец справа записать  вероятности события А при  условии, что верна соответствующая гипотеза.

     5. По формуле полной вероятности  найти Р(А).

     6. Если нужно найти условную  вероятность Р(Hi/A) использовать формулу Байеса.

 

№8 Независимые повторные  испытания. Формула  Бернулли. Наивероятнейшее  число наступлений события: определение, отрезок для оценки числа m0.

     На  практике часто встречаются задачи в которых один и тот же опыт повторяется много раз. Причем в  каждом опыте события А может  прозойти с одной и той же вероятностью р, независимо от исходов остальных  опытов. Обычно в таких случаях имеет значение общее число появления события А, а не исход конкретного опыта. Примерами таких событий является несколько подбрасываемых игральных костей или монеты, несколько извлечений карт из колоды с возвращением, несколько выстрелов по цели и т.д.

     Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом опыте постоянно, то вероятность того, что событие А наступит ровно m раз в n опытов (независимых). Обозначается: Pn,m = * , q = 1-p   - формула Бернулли.

     !!!Замечания!!! 1. р – вероятность наступления события А в любом одном опыте, q – вероятность ненаступления события А в любом одном опыте, n – число сделанных опытов, m – число опытов в которых событие А появилось, Pn,m – вероятность того, что событие А наступит ровно m раз в n независимых опытов.

2. Если  заданы n и р, то говорят, что составлена схема Бернулли.

Задача 12.1. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди них: а) два мальчика, б) не более двух мальчиков, в) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность того, что рождается мальчик равно 0,51.

Решение: Опыт состоится в рождении ребенка. Т.о. число опытов n=5.

Дано: р=0,51, n=5 (схема Бернули). Найти: а)Р5,2- ? б)Р5, m≤2 - ? в)Р5,2≤ m≤3 - ?

А –  рождение мальчика. Р=о,51; =1-р =0,49.

а) Р5,2 = * 0,306.

б) сложное  событие в семье не более двух мальчиков состоится, если мальчиков  не будет совсем, т.е. событие А  произойдет 0 раз в пяти независимых  опытах, либо если мальчик будет 1, т.е. событие А произойдет 1 раз, либо если мальчиков будет двое, т.е. событие А произойдет ровно два раза. Все три случая несовместны, поэтому вероятность суммы этих событий есть сумма вероятностей каждая из которых вычисляется по формуле Бернулли. Р5, m≤2 = Р5,0+Р5,1+Р5,2= * * + * 0,481.

в) сложное  событие в семье не более трех мальчиков и не менее двух состоится, если в семье будет ровно 2 мальчика, либо равно трем. Р5,2≤ m≤3= Р5,2+Р5,3= * * 0,625.

!!!Замечания!!!

1. Если для заданной схемы Бернулли (n p Pn,0; Pn,1; Pn,2,…Pn,n

 как сумма вероятностей событий  составляющих полную группу.

2. р 0 и р 1 всегда найдется такое число m0 для которого при любом m выполняется неравенство ≤ . m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в n независимых опытов. Справедливо неравенство: n(р- q)≤ m0≤р(n+1). m0 число наступления события, поэтому оно всегда целое положительное.

Задача 12.2. Найти наивероятнейшее число мальчиков в семье из пяти детей. Найти вероятность наивероятнейшего числа мальчиков.

Дано: то же что и в 12.1.Найти: m0-? Р5, m0-? 

5*0,51+(-0,49)≤  m0≤0,51*(5+1);

2,06)≤  m0≤3,06 след-но  m0=3.

Р5,3= * 0,318

Схема решения задач  на независимые повторные  испытания

1. Определить в чем состоит опыт и каково количество опытов n
2. Определить в чем состоит событие А и какова вероятность Р наступления этого события в одном опыте; какова вероятность q ненаступления события А в одном опыте.
3. В зависимости от вопроса к задаче применить формулу Бернулли.

 

№9 Независимые повторные  испытания. Асимптотические формулы Пуассона и Муавра.