Теория вероятности. Ответы

1.   Введение в теорию  вероятностей. Задачи  Де Мере. Историческая  справка. Области  применения теории вероятностей и математической статистики.

Опр. Теория вероятностей – это наука изучающая закономерности случайных явлений.

Случайное явление – это такое явление которое при многократном воспроизведениях определённого комплекса условий может протекать по-разному.

Существует  множество задач в которых  сход опыта зависит от большого количества фактов которые нельзя учесть по отдельности  но в совокупности эти факторы подчиняются определённым закономерностям, такими задачами занимается теория вероятности.

Особенности изучаемых явлений.

1. Опыты  в одних и тех же условиях  можно повторять сколько угодно  раз хотя бы мысленно.

2. Исход  каждого опыта заранее не известен и может изменяться от опыта к опыту.

Основой принцип на который  опирается методы теории вероятности.

При большом  количестве опыта случайное событие  взаимно друг друга нейтрализует и средний результат оказывается  предсказуем, а результат оказывается 1-ого опыта предсказать нельзя.(Пр. подбрасывание монетки)

Опр. Математическая статистика- это раздел математики изучающие методы сбора систематизации и обработки результатов наблюдения для того что бы выявить статистические закономерности.

Теория  вероятностей изучает абстрактные математические модели реальных явлений. Математическая статистика – результаты наблюдения над реальными явлениями.

История развития. Задачи «де  Мере».

(1) Игральная  кость подбрасывается 4-е раза. На  что нужно сделать ставку? На  то что хотя бы 1-н раз выпадет 6 или на то что бы 6-ка не выпала не разу.

(2) 2-е  игральные кости подбрасываются 24-е раза. На что нужно сделать  ставку? На то что хотя бы  раз выпадут 1-н раз или на  то что не выпадут не разу.

1этап. Датой основания теор. вероятности считается 1654г.

2этап. В 17в. активно развиваются теория  азартных игр и теория страхования  сформулированных основные страховые  законы вероятностей: 1)Нормативный  закон. 2)Закон больших чисел.

3этап. 18-19в. теор. вероятности активно  развивается создается С.-Петербургская шк. в которой теор. вероятности начинает изучаться как строгая математическая наука.

4этап. 20в. аксиоматическое построение  теории вероятности. На западе  разрабатывается математическая  статистика.

Применение. 1.Т. надежностей. 2. Т. катастроф. 3. Т. массового обслуживания. 4. Т. ошибок наблюдения. 5. Т. автоматического управления. 6. Т. игр. 7. Наука об эффективности боевых действий. 8. Астрономия и теоретическая физика. 9. Медицина и генетика. 10. Социология и психология. 11. Лингвистика. 12. Информационная безопасность. 

2.   Определения основных  понятий о событиях. Классическое определение  вероятности. Свойства  вероятности. Статистическое  определение вероятности,  его связь с  классическим.

Опр. Случайное  событие – это любой факт который  в результате опыта может произойти или не произойти. Обозначается А,В, С,Д…

Случайные события отличаются от случайных  явлений тем что случайные  события результат мысленного опыта, а случайное явление результат  реального опыта.

Опр. Событие  наз-ся действительным если в результате опыта оно должно произойти. Обозначается Л(дельта большая)

Опр. Событие  наз-ся невозможным если в результате опыта оно ни когда не может  произойти. Обозначается (пустое множество)

Опр. 2-а  события А и В наз-ся не совместными  если в результате опыта они не могут произойти одновременно, в противном случае события наз-ся совместными.

Опр. Несколько  событий наз-ся равно возможными если в результате опыта по условиям симметрии не одного из них не должно происходить чаще других.

Опр. Если в результате опыта произойдёт одно и только одно из нескольких событий то говорят что эти события образуют полную группу.

Замечание. 1)Любое событие в полной группе не совместны. 2)Если полную группу образуют 2-а события то они называются противоположными друг к другу и образуются: А и À

Опр. Если событие в полной группе равно  возможны, то их наз-ют элементарными  сходами опыта. Обозначают ω.

Опр. Элементарный исход наз-ся благоприятным для  события А если в результате опыта  при появлении такого исхода обязательно произойдёт событие А.

Классическое  определение вероятности.

Вероятность события А= отношению числа благоприятных  для события А элементарных исходов  опыта к чеслу всех элементарных исходов этого опыта, т.е. р(А) = m/n, где р(А)- вер-ть события А, m- кол-во благопр. событий, n- кол-во всех исходов.

Свойства  вероятности.

1. 0< p(A)<1

2. p(Л) =1

3. р(пуст.множ-во) =0

Замечания. 1)Событие вероятность которого очень  мало называется практически не возможным  событие вероятность которого очень  велика. 2)Классическое орп. вероятности не применимо если: а) исходы опыта пересчитать нельзя б) исходы не равно возможны в) исходы не образуют полную группу. 

3.   Комбинаторные правила  суммы и произведения. Соединения без  повторений: перестановки, размещения и сочетания, формулы для вычисления их числа, свойства соединений. Построение и использование треугольника Паскаля.

Опр. Комбинаторика  – это раздел математики изучающей  методы решения задач на подсчёт  числа различных комбинаций из объектов выбранных в некоторой совокупности.

Правило суммы.

Если  один объект можно выбрать из совокупности m1 способами другой m2 способами. Причём выборы являются не совместными, то выбрать один объект либо другой можно m1+m2 способами.

Правило произведения.

Если  один объект можно выбрать из совокупности, а после этого выбора выбрать другой объект выбора то пара в указанном порядке может m1/m2.

Опр. Перестановки – это комбинация составленные из n различных объектов и отличающиеся только порядком этих объектов. Обозначается: Pn. Pn=n!=1*2*3*4….*n.

Опр.2 Размещение из n по m наз-ся комбинацией составленные из m объектов и отличающиеся составом или порядком этих объектов, которые выбраны среди различных n объектов Обозначается:

   m      n ! .

A n= (n -m)

Опр. Сочетания  из n по m – это комбинация состоит из m объектов и отличающиеся только составом объекта, которые выбраны среди различных n объектов.

Св-ва комбинаций:

Построение  треугольника Паскаля 

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная  числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым  сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Свойства  треугольника Паскаля 

 

Свойства  строк

Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2 n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1)

Все строки Паскаля симметричны (потому что  при переходе от каждой строки к  следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична)

Каждый  член строки Паскаля с номером n тогда  и только тогда делится на т, когда  т- простое число, а n - степень этого простого числа

Нахождение  элемента треугольника

Каждое  число в треугольнике Паскаля  можно определить тремя способами:

Оно равно Cnk, где n - номер строки, k- номер элемента в строке

Докажем, что оно равно сумме чисел  предыдущей диагонали, начиная со стороны  треугольника и кончая числом, стоящим  над данным (в силу симметричности треугольника Паскаля докажем это  утверждение для левой диагонали).

Мы должны проверить следующее равенство:

    k+1         k       k                   k

 Cn+1 = Сk + Ck+1 + … + Cn.

Действительно,    k+1         k       k                   k

                            Cn+1 = Сk + Ck+1 + … + Cn.

Каждое  число треугольника Паскаля, уменьшенное  на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит  данное число, причем сами эти диагонали  в рассматриваемый параллелограмм не включаются.

Докажем это. Данное число равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над ним. В свою очередь, последний член этой суммы равен сумме элементов предыдущей диагонали и т.д. Продолжая этот процесс, придем к сумме чисел требуемого параллелограмма и еще одного члена, стоящего на стороне треугольника и равного 1.

Треугольные числа

Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные, тетраэдрические  и другие числа. Треугольные числа указывают количество шаров или других предметов, уложенных в виде треугольника (эти числа образуют следующую последовательность: 1,3,6,10,15,21,..., в которой 1- первое треугольное число, 3- второе треугольное число, 6-третье и т.д. до m-ro, которое показывает, сколько членов треугольника Паскаля содержится в первых m его строках - от нулевой до (m-1)-й). 
 

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ВЕРОЯТНОСТИ: ЧАСТНЫЕ  СЛУЧАИ, ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ И ОБЩЕЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЕ.ЗАДАЧА  О ВСТРЕЧЕ И  ЕЁ РЕШЕНИЕ

1. Пусть внутри отрезка, длиной - L выделен отрезок длиной – l.На отрезок L на удачу бросается точка, событие А состоит в попадании точки на отрезок l. Предполагается, так же, что вероятность события А пропорциональна длине отрезка l и не зависит от его расположения внутри отрезка L. Т.е. Р(А)=l/L.

2. Пусть внутри плоской замкнутой фигуры С площадью - S выделена часть с площадью – s. На фигуру S на удачу бросается точка. Событие А состоит в попадании точки на фигуру s. Предполагается, что вероятность события А пропорциональна площади s и не зависит от расположения s внутри S. Т.е. Р(А)=s/S

3. Пусть внутри объёмного ограниченного тела с объемом V   выделена часть c объемом v. На тело V на удачу бросается точка. Событие А состоит в попадании точки на тело v. Предполагается, что вероятность события А пропорциональна объему v и не зависит от расположения v внутри V. Т.е. Р(А)=v/V

Введём  общее определение для всех случаев:

Отрезок, плоскую замкнутую фигуру или  объёмное ограниченное тело назовём  областью и обозначим – G. Часть области, вероятность попадания в которую рассматривается, назовём областью благоприятной для события А и обозначим – g. Событие А состоит в попадании на удачу брошенной в область G , точки, внутрь g. Длину, площадь или обхём назовём мерой области и обозначим – М (мю).