Теория вероятностей

.

     Обозначим мультиномиальное распределение  .  Его порождает алгебраическое тождество

,

где суммирование ведется по целым неотрицательным .

     11. Условные случайные величины.

     Пусть (X,Y) – двумерная непрерывная с.в. с функцией распределения F(x,y) и плотностью p(x,y). Условная с.в. (X|Y<y) по определению имеет функцию распределения

Аналогично для   

В последней  формуле можно устремить  :

по формуле  Лопиталя. Отсюда плотность вероятности  условного распределения

Здесь удалось написать условный закон для условия, имеющего нулевую вероятность. 

Задача. Найдите закон распределения условной с.в. (X|Y=y) , если одна компонента – непрерывная, а другая дискретная, или обе – дискретные. 

§ 2. Основные случайные величины.

     Любой сходящийся интеграл от неотрицательной  функции порождает непрерывное  распределение. Именно, если

,

то в  качестве плотности можно взять 

.

     Любая конечная сумма или сходящийся ряд  с неотрицательными слагаемыми порождают дискретное распределение. Именно, если

,

то роль дискретных вероятностей могут играть числа

,

а в  качестве x_k  можно взять любые числа; наиболее просто описываемый способ: x_k=k. 

Рассмотрим конкретные примеры.

     1. Равномерное распределение R(a, b).

     Его порождает интеграл

:

.

Это распределение  будем обозначать R(a, b), числа a и b играют роль его параметров. Тот факт, что случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [a, b], будем обозначать следующим образом: XÎR(a, b).

     В частности, плотность случайной  величины XÎR(0, 1) имеет наиболее простой вид:

.

     Функция распределения такой случайной  величины равна

 

     Если  мы наугад выбираем точку в отрезке [0, 1], то ее абсцисса является конкретным значением случайной величины XÎR(0, 1). Слово “наугад” имеет в теории вероятностей терминологическое значение и говорится с целью подчеркнуть, что соответствующая непрерывная с.в. распределена равномерно, или соответствующая дискретная с.в. имеет конечное число N возможных равновероятных значений. 

     2. Экспоненциальное распределение  Exp(m).

     Его порождает интеграл

.

     Плотность вероятности, очевидно, равна

,

а функция  распределения 

.

     Это распределение играет особенно важную роль в теории массового обслуживания, где часто предполагают, что время  обслуживания клиента или требования распределено по экспоненциальному (или показательному) закону с параметром m, и в теории надежности, где время жизни нестареющих устройств имеет такое распределение. 

     3. Распределение Коши.

     Его порождает интеграл

.

     Плотность вероятности

,

а функция  распределения

. 

     4. Гамма-распределение Г(l, m).

     Его порождает интеграл, которым определяется гамма-функция:

.

^––_²^––

    Определение и свойства гамма-функции

    Гамма-функция  определена на положительной полуоси равенством:

G(x)= e^-tt^x-1dt, x>0.

    Свойства  гамма-функции:

    1°. G(x+1)=xG(x). Это свойство легко доказывается интегрированием по частям интеграла, определяющего G(x+1):G(x+1)= e^-tt^xdt.

    2°. G(1)=1.

    3°. Для любого натурального n:G(n+1)=n!Доказательство этого факта сразу следует из двух первых свойств. Данное свойство показывает, что гамма-функция является естественным обобщением факториала.

    4°. G( )= .

    Для доказательства этого свойства достаточно сделать замену переменной в интеграле, определяющем G( ):        G( )= e^-t dt

и положитьt= y²:          G( )= dy = .

Для вычисления интеграла Эйлера – Пуассона J рассмотрим его квадрат:

J²=

dx dx = . Отсюда находим, что G( )= .

    5°. Для полуцелого положительного n:G(n+ )= , n=1,2,...

Это равенство  доказывается по индукции с использованием свойств 1° и 4°.

    6°. Формула Стирлинга: приx®+¥:G(x+1)~ x^xe^-x.

    Мы  приведём не вполне строгое, но достаточно простое доказательство этой формулы.

    При любом фиксированном x (x>0):

G(x+1)=

e^-tt^xdt= e^xlnt-tdt= e^y(t)dt,    гдеy(t)=xlnt-t.

    Легко убедиться, что функция y(t) имеет максимум при t=x. Разложим y(t) в ряд Тейлора в окрестности точки t=x, ограничиваясь первыми тремя слагаемыми:

y(t)»xlnx-x- =xlnx-x- ( )².

    Поэтому

G(x+1)»e^xlnx-x

dt=x^xe^-x dt.

Введём  новую переменную:y= .Имеем:

G(x+1)»x^xe^-x

dy.

В последнем  интеграле при больших x (x®+¥) нижний предел интегрирования можно заменить на -¥: dy» dy=I– интеграл Пуассона, который равен . Поэтому при больших положительных x:

G(x+1)»x^xe^-x

,

что и  требовалось доказать.

      Внимательный  просмотр этого доказательства показывает, что его результат можно записать в более определенной форме:

G(x+1)=

x^xe^-x[1+o(1)].

Это и  есть знаменитая формула Стирлинга  в простейшем варианте.

      Третья  известная математическая константа  =0.5772... также связана с гамма -функцией

.

^––_²^–– 

     Путем замены переменной: y=mx, m>0 можем представить так:

.

     Соответствующая плотность вероятности равна

  .

  Будем  обозначать это распределение  Г(l, m). Неотрицательные числа l и m - его параметры.  Экспоненциальное  распределение - частный случай Г(l, m):