Теория вероятностей

     Глава 2. Случайные величины.

     § 1. Дискретные и непрерывные  случайные величины.

     Рассмотрим  важный частный случай описанной  ранее общей вероятностной модели, когда элементарным событием является вещественное число, а пространство W расположено на числовой оси. Результатом опыта оказывается число X, которое и назовем (одномерной) случайной величиной (с.в.). Конкретные значения этой величины будем обозначать x.

     Тот, кто впервые знакомится с теорией  вероятностей, очевидно, не будет возражать против такого определения. Но, те, кто уже знакомы с нею, могут придти в волнение: они привыкли к внешне более общему определению с.в.:  как числовой функции, заданной на элементарных событиях. Мы же вычисление этой функции относим к комплексу условий, который задает с.в..  Простейшая возможность: число элементарных исходов в W счетно. Мы можем перенумеровать эти значения, которые обозначим . Такую с.в. называют дискретной. Законом распределения дискретной с.в. называют совокупность вероятностей ее возможных значений   p_k = P(X = x_k) .

     Здесь s-алгебру естественно построить из событий (X=x_k) с помощью операций сложения, умножения и перехода к противоположному.  Одно из своих значений с.в. X в любом опыте примет, и по III аксиоме выводим равенство , которое будем называть условием нормировки в дискретном случае.

     В общем случае принято формировать s-алгебру из событий (X<x) и закон распределения вероятностей задавать с помощью так называемой функции распределения:  F(x)=P(X<x) .

     Задать с.в. значит задать закон распределения, т.е. указать, как распределяется вероятность между возможными значениями с.в. Х на числовой оси. Дискретную с.в. также можно задавать ее функцией распределения. Нетрудно сообразить, что это будет ступенчатая функция с разрывами в точках x_k и скачками p_k в этих точках:  ,  где суммирование ведется по тем индексам k, для которых x_k оказались меньше x. В точках разрывов x_k  вероятность, доставшаяся самой точке x_k , не учитывается. Поэтому функция распределения F(x) - непрерывна слева: F(x-0)= F(x) .

     Если  существует такая функция р(x), что можно представить F(x) интегралом:

     

,

то с.в. Х называется непрерывной, а р(x) - плотностью вероятности с.в. Х. Функция распределения F(x) непрерывной с.в. Х непрерывна, как интеграл с переменным верхним пределом. В точках непрерывности плотности р(x) можно записать:

     р(x)= F’(x) .

     В более общем случае с.в. Х может принадлежать к смешанному типу: вероятность распределяется как между отдельными точками (дискретная составляющая), так и на интервалах (непрерывная составляющая). Если отдельным точкам x_i  достались вероятности p_i , а остальная вероятность пошла на непрерывное распределение с линейной плотностью р(x), то 

     

 .

     Дискретные  точки получили вероятность  , на непрерывное распределение ушла вероятность .

     Можно считать, что с.в. Х является смесью двух случайных величин: дискретной с.в. Y с возможными значениями x_k  и вероятностями и непрерывной с.в. Z с плотностью . Функция распределения с.в. Х имеет вид

     

.

     Вообще, если   имеются   случайные   величины X_i , i=1, ... , n  с функциями распределения , то смесью этих с.в. называют с.в. с функцией распределения

     

,

где числа  a_i  играют роль весовых множителей,  , регулирующих вклад в смесь отдельных составляющих. Функция F(x), очевидно, обладает необходимыми свойствами функции распределения и может задавать с.в.

     Основные  свойства функции распределения  F(x) и плотности вероятности р(x):

     1. Считаем, что с.в. Х или совсем не принимает значений ±¥  или почти наверное их не принимает: Р(Х=±¥)=0. При этом предположении

     

.

     2. F(x) - монотонно-неубывающая функция:

.

     Действительно, . Справа стоит сумма двух несовместимых событий. Поэтому

     

.

или

     

,

и неравенство  следует из неотрицательности .

     3. Во втором свойстве мы выразили  через функцию распределения  вероятность попадания с.в. Х в полуоткрытый интервал:

     

.

     4. Перепишем последнее равенство, взяв :

     

.

Устремим  здесь e®0:    P(X=x)=F(x+0)-F(x) .

     Таким образом, для любой с.в. Х вероятность любого конкретного значения равна скачку F(x+0)-F(x) ее функции распределения в точке х. Во всех точках непрерывности F(x) этот скачок и, следовательно, P(X=x) равны нулю. Для непрерывных с.в. все точки таковы, и для них ни одной точке не достается положительной вероятности.

     Если  мы наблюдаем непрерывную с.в. и  получили значение Х=х, то мы получили пример события А=(Х=х),  вероятность которого равна нулю, и которое, однако, произошло, и пример события (Х¹х), вероятность которого равна единице, и которое, однако, не произошло. Но повторить это почти наверное не удастся.

     Так как F(x)=P(X<x), где под знаком вероятности стоит строгое неравенство, вероятность, возможно сосредоточенная в точке х,  не учитывается, то F(x) - непрерывная слева функция:

     

.

     5. Теперь нетрудно выразить через  F(x) вероятность попадания с.в. в произвольный интервал:

     

,

     

,

     

.

     6. Плотность вероятности р(x) неотрицательна: это следует из монотонного неубывания F(x).

     7. Переходя к пределу при х®¥  в равенстве

и учитывая, что F(¥)=1, получим условие нормировки для непрерывной с.в.:

     

.

     Геометрический  смысл этого равенства: площадь  под кривой плотности вероятности  всегда равна единице.

     8. Общее правило вычисления вероятностей  для дискретной и непрерывной  с.в.: если А - некоторое числовое множество на вещественной оси, то        ,           ,

и ясно, что в непрерывном случае вероятность  событий (ХÎА) определена лишь для таких множеств А, для которых имеет смысл интеграл      .

     9. Мы считаем, что задавая произвольную  функцию F(x) с обязательными свойствами функции распределения:   монотонное неубывание,  непрерывность слева, F(-¥)=0, F(¥)=1, - мы  задаем некоторую с.в. Если F(х) - ступенчатая функция, то она задает дискретную с.в.: точки скачков - ее возможные значения, величины скачков - их вероятности. Дискретную с.в. можно задать таблицей ее возможных значений и их вероятностей:

     

 лишь бы  и .

     Непрерывную с.в. можно задать плотностью вероятности  р(х). В качестве таковой может служить любая неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки:  

     

.

     10. Двумерные случайные величины.

     Мы  имеем дело с двумерной с.в., если пространство элементарных событий состоит из точек на декартовой плоскости. Результат наблюдения двумерной с. в. (X, Y) – это точка (x, y) на плоскости. Закон распределения вероятностей между возможными значениями двумерной с.в. дается совместной функцией распределения:

F(x, y)=P(X<x, Y<y) ,

показывающей, какая вероятностная масса досталась  квадранту левее точки х и ниже точки y. Запятая под знаком вероятности заменяет знак умножения между событиями (Х<x) и (Y<y).

     Выделим два простейших случая: непрерывный и дискретный.

     Двумерная с.в. (X, Y) называется непрерывной, если существует неотрицательная функция p(x, y), такая что

.

     Очевидно,

в точках непрерывности p(x, y).

     Функция p(x, y) называется совместной плотностью вероятности с.в. (X, Y) и играет роль поверхностной плотности распределения единичной вероятностной массы на двумерной плоскости. Вероятность того, что (X, Y) попадет в область А на двумерной плоскости, находится так:

,

и эта  вероятность определена для таких  событий А, для которых определен  интеграл справа.

     В дискретном случае возможные значения можно перенумеровать: (x_i, y_k) и закон распределения давать в виде таблицы чисел:

.

     Условие нормировки:

.

     Если  известен закон распределения двумерной  с.в. (X, Y), то можно найти также законы распределения компонент. В общем случае ф.р. с.в. Х

.

     Аналогично

.

     В дискретном случае

     Аналогично  закон распределения с.в. Y  задается равенством

     Обратная  задача - восстановить закон распределения  двумерной с.в. по законам распределения  компонент - -решается для независимых  с.в. Х и Y. Естественно называть Х и Y независимыми, если события (X<x) и (Y<y) независимы, т.е.  если для "(x, y)

.

     В непрерывном случае

.

     В дискретном случае для "i,k

     Совершенно  аналогично  вводятся  многомерные  случайные   величины (X₁, ... , X_n): здесь пространство состоит из точек n- мерного евклидова пространства (x₁, x₂,...x_n). В качестве важных для теории и практики примеров рассмотрим два многомерных закона: один дискретный - мультиномиальное распределение, другой непрерывный -  многомерное нормальное распределение. Последний заслуживает отдельного параграфа.

     Пусть дано произвольное разбиение пространства: события  .  Вероятности этих событий обозначим p_i=P(A_i); очевидно . Опыт независимо повторяется n  раз. Подсчитывается, сколько раз в этих n опытах произойдет каждое из событий А_i . Абсолютную частоту события А_i  обозначим Х_i , а ее возможное значение m_i .  Очевидно,  .

     Из  комбинаторики сразу можем написать вероятность