Теория вероятностей

     Разберем  весьма частный, однако часто встречающийся  случай: W состоит из конечного числа N равновероятных событий. Понятие “равновероятности” здесь является исходным, неопределимым. Основанием для суждения о равноценности, равновероятности обычно служит физическая симметрия, равноправие исходов. Понятие вероятности здесь уже является производным: вероятностью Р(А) события А называется P(A)=N(A)/N, где N(A) - число элементарных событий, благоприятствующих событию А .

     В этих условиях выведем основные формулы  исчисления вероятностей.

   1. Вероятность достоверного события  равна 1:  Р(W)=1,  поскольку N(W)=N .

   2. Вероятность невозможного события  равна 0: Р(Æ)=0, поскольку N(Æ)=0 .

   3.  , поскольку .

   4.  0£P(A)£1  для "А , поскольку 0£N(A) £N .

   5. Если АÌВ, то Р(А) £Р(В), поскольку N(A) £N(B) .

   6. Для любых событий А и В     Р(АВ) £Р(А) £Р(А+В) , т.к. N(AВ) £N(А) £N(А+B) .

7. Теорема   сложения   для   несовместных  событий. Если     АВ=Æ,  то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) :  вероятность суммы несовместимых событий равна сумме их вероятностей, поскольку N(А+В)=N(А)+N(В) .

   8. Теорема сложения в общем  случае для двух событий:

     Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) .

Действительно, N(А+В)=N(А)+N(В)-N(AB) по определению суммы событий. Остается разделить это равенство на N.

   9.  Обобщение теоремы сложения  на n событий:

.

Доказательство  этой формулы методом математической индукции несложно, но громоздко. Во внутренней сумме число слагаемых, очевидно, равно , и суммирование ведется по всевозможным наборам различных целых индексов.

   10. Условная вероятность.

  Добавим  к комплексу условий, реализация которых интерпретируется как опыт, еще одно условие: произошло событие В.  Все опыты, когда В не произошло, как бы игнорируем. Чтобы мы могли время от времени наблюдать событие В,  следует предположить Р(В)>0, т.е. N(B)>0. Считаем, что добавление события В к комплексу условий не нарушает равновероятности исходов и не меняет природы самих исходов. Теперь опыт может иметь лишь один из N(B) исходов, а из них событию А благоприятствуют N(AB) исходов. По классическому определению вероятность события А при условии, что произошло событие В,  равна

.   

Условная  вероятность по существу ничем не отличается от безусловной, обычной, так  что выведенные ранее свойства вероятности  переносятся и на условную.

     В случае, если АÌВ, формула для условной вероятности упрощается:

P(A|B)= P(A)/ P(B) ,  так как здесь АВ=А .

  11. Теорема умножения: вероятность  совместного наступления двух  событий равна произведению вероятности  одного из них на условную  вероятность другого при условии, что первое произошло: Р(АВ)=Р(В)Р(А|В)=Р(А)Р(В|А).

     Первая  из этих формул является лишь формой записи формулы для условной вероятности  пункта 10; вторая получена из нее перестановкой  местами А и В.  Напомню, что мы вводили понятие условной вероятности лишь для условий ненулевой вероятности, т.е. предполагаем, что Р(А)>0, P(B)>0.

   12. Теорема умножения для n событий:

.

     Действительно, воспользуемся сочетательным законом  для умножения и теоремой умножения  для двух событий:

учитывая, что условные вероятности ничем  принципиальным не отличаются от безусловных, - лишь к комплексу условий добавляется  еще одно, которое в дальнейшем терять или отбрасывать нельзя, можем  продолжить:

.

  13. Понятие независимости событий.  Пусть Р(А)>0, P(B)>0. Будем говорить, что событие А не зависит от события В, если Р(A|B)=P(B). Понятие независимости взаимно: если А не зависит от В, то и В не зависит от А:

.

     Теорема умножения для двух независимых событий упрощается: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:  Р(АВ)=Р(А)Р(В) .

     Нетрудно  доказать и обратное утверждение: если для двух событий А и В ненулевой вероятности выполняется равенство: Р(АВ)=Р(А)Р(В) ,  то  события А и В независимы.   Действительно,       ,

что и  требовалось доказать.

     Таким образом, мы получили эквивалентное  определение независимости двух событий: события А и В, имеющие положительные вероятности, называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей: Р(АВ)=Р(А)Р(В). События А и В в этом определении симметричны: если событие А не зависит от В, то и В не зависит от А. Второе определение можно распространить и на события нулевой вероятности: если хотя бы одно из событий А или В имеет нулевую вероятность, то равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В) тривиально выполняется (0=0). Если одно из событий достоверно, например, В=W, то равенство также выполняется (Р(А)=Р(А)). Поэтому можно сказать, что достоверное и невозможное события независимы от любых событий, что вполне отвечает интуитивному смыслу независимости.

     Если  события А и В независимы, то независимы также события А, . Действительно, . Ясно, что независимы также и , . Если события А и В положительной вероятности независимы, то они не могут быть несовместимыми; если события А и В  положительной вероятности несовместимы, то они не могут быть независимыми. Действительно, несовместимость означает Р(АВ)=0, а независимость: Р(АВ)=Р(А)Р(В), т.е. независимость и несовместимость потребовали бы равенства нулю вероятности хотя бы одного из событий.

     Обобщим понятия независимости на n событий: события называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов   вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:  .

     Можно было бы подумать, что для независимости событий в совокупности достаточно попарной независимости. Конкретные примеры, однако, доказывают, что это не так.

     Для n событий также нетрудно сформулировать второе эквивалентное определение независимости в совокупности: события , имеющие положительные вероятности, независимы в совокупности, если для любых наборов неравных индексов: , что легко устанавливается по теореме умножения и формуле для условных вероятностей.

   14. Формула полной вероятности.

Пусть -  любое разбиение пространства W,  В  -  любое событие. Тогда В=ВW=В(A₁+ ... +A_n)=BA₁+ .... +BA_n  , и, воспользовавшись несовместимостью слагаемых и теоремой умножения, получаем формулу полной вероятности .

     Обычно  - взаимоисключающие друг друга ситуации, в которых может происходить событие В.

   15. Формулы Байеса.

В обозначениях предыдущего пункта

.

     Получили  формулы Байеса, которые называют также формулами вероятностей гипотез: если событие В может произойти лишь с одним из событий , и оно действительно произошло, то спрашивается, с каким из событий А_j  оно произошло? Можно высказать n гипотез, и соответственно формулы Байеса дают апостериорные вероятности Р(А_k|B)  для этих гипотез, выражая их через априорные вероятности Р(А_j) и условные вероятности Р(В| А_j)  того, что в условиях  j-ой гипотезы произойдет событие В.

     Таковы  основные формулы исчисления вероятностей. Они получены в условиях весьма частной модели - классической схемы, для пространства конечного числа N равновероятных элементарных событий. В этой схеме число событий, которым благоприятствуют ровно k   исходов, равно , а всего различных событий, следовательно,  2^N .

     Весьма  неожиданно, что все выведенные формулы  являются на самом деле общими и  в действительности сохраняют свою силу для любого пространства элементарных событий. Пожалуй, нет другой большой  математической дисциплины, где простой  пример позволял бы получить все основные ее формулы. 

§ 3. Комбинаторика.

     Вычисления  на основе классического определения  вероятностей обычно осуществляется с  помощью специальной математической дисциплины - комбинаторики. Комбинаторика - это теория подсчета числа подмножеств некоторого множества, образованных по определенным правилам. При этом множества могут быть самые различные: предметы, люди, операции, числа, слова, знаки и т.д. Перед подсчетом нужно точно уславливаться, какие элементы множества считаются различными, какие одинаковыми, учитывается ли последовательность и порядок отбора элементов в подмножествах, какие подмножества считаются в принципе одинаковыми, неразличимыми (так обстоит часто дело в физике элементарных частиц), иногда мы договариваемся считать их одинаковыми, хотя и могли бы их различать.

     Педагогическая  практика в настоящее время показывает, что выпускники школ, как правило, совершенно не знают комбинаторики. Для того, чтобы дальнейшее было им понятно, приходится здесь дать краткое  знакомство с основными простейшими комбинаторными процедурами.

     1. Выбор с возвращением.

Имеется n различных предметов. Требуется выбрать из них m  предметов. После выбора очередного предмета выбранный предмет возвращается обратно в множество и участвует в выборах следующих предметов. Два набора считаются различными, если хотя бы на одном этапе были выбраны  различные предметы. Число различных наборов, очевидно, равно n^m.

     2. Выбор без возвращения.

Отличие от предыдущего случая в том, что  выбранный предмет не участвует в дальнейшем отборе. Число различных наборов, очевидно, равно n(n-1) ... (n-m+1). Необходимое условие для выбора без возвращения: m£n.

     3. Размещения.

Имеется n различных мест, на которых нужно разместить m различных предметов, по одному на место. Два размещения считаются различными, если хотя бы на одном месте располагаются разные предметы (либо в одном из наборов это место занято, а в другом свободно). Число размещений обозначают . Очевидно, . Необходимое условие для того, чтобы размещение было возможно: m£n . Размещение  -  частный случай выбора без возвращения. Если разрешить располагать на одном месте сколько угодно предметов, то число размещений было бы равно n^m  и являлось бы частным случаем выбора с возвращением.

     4. Перестановки.

Требуется n различных предметов разместить на n различных местах, по одному на место. Число перестановок P_n  - частный случай числа размещений: .

     5. Сочетания.

Имеется n различных предметов. Нужно выделить из них m, причем порядок отбора не учитывается. Два набора считаются различными, если в одном из них есть хотя бы один предмет, которого нет в другом. Число сочетаний принято обозначать   или .  Из каждого сочетания, если всевозможными способами переставлять порядок вошедших предметов,  можно получить m! размещений: , т.е.

Несколько другая интерпретация числа сочетаний: имеется n  различных мест. Нужно разместить на них m одинаковых предметов, по одному на место. Два размещения считаются различными, если в каждом есть хотя бы одно занятое место, свободное в другом.  Числа называются также биномиальными коэффициентами, так как появляются в формуле бинома Ньютона: