Теория вероятностей

При раскрытии  скобок образуется суммы  слагаемых вида  .

     Важное  свойство сочетаний: , поскольку каждому набору из m предметов отвечает набор оставшихся из (n-m) предметов.

     6. Сочетания с повторениями.

Имеется n различных предметов. Требуется выбрать из них m  предметов, причем можно повторно выбирать любой предмет. Два набора считаются различными, если есть хотя бы один предмет, вошедший в них различное число раз. Порядок включения предметов в набор несущественен. Обозначим число сочетаний с повторениями . Подсчитаем число сочетаний с повторениями. Возьмем любое такое сочетание. Напишем столько единиц, сколько раз был выбран первый предмет, затем напишем 0, затем столько единиц, сколько раз был выбран второй предмет, снова один ноль, и т.д.:

Получается  записанное в двоичной системе (m+n-1)-значное число. Любому такому числу соответствует одно сочетание с повторениями. В этом числе нули - их (n-1) - могут занимать любые внутренние места, и эти места можно выбирать     способами, т.е.

     7. Разбиения.

Имеется n различных предметов. Требуется разбить их на k групп с заданным числом предметов в группах - . Разумеется, должно выполняться равенство . Порядок попадания предметов в группы не учитывается. Два разбиения считаются различными, если хотя бы в одной группе одного разбиения есть предмет, не входящий в эту группу другого разбиения. Обозначим число разбиений . 

     Если  в каждой группе делать всевозможные перестановки, то получим из одного разбиения все P_n  перестановок из n предметов. Поэтому

 

Отсюда  .

     Эти числа называются также полиномиальными  коэффициентами, поскольку они появляются в разложении

,

где суммирование ведется по всем неотрицательным целым числам ,  в сумме равным n. Можно интерпретировать полиномиальные коэффициенты еще следующим образом: имеется n   предметов, которые делятся на k групп тождественных предметов, причем число различных перестановок из этих n предметов равно .

Задачи.

1. Какую комбинаторную операцию представляют кости домино? Ответ: Домино – сочетания из 7 по 2 с повторениями. Общее число костей домино равно =28.
2. Задача о днях рождения. В студенческой группе n человек. Вычислить вероятность того, что найдутся хотя бы двое студентов с одинаковым днем рождения. Какова должна быть численность группы, чтобы такая пара нашлась с вероятностью ½ ?

Решение. Вычислим вероятность того, что все родились в разные дни. Обозначим N число дней в году. Рассмотрим списки студентов, содержащие их даты рождения и отличающиеся лишь ими. Их количество равно Nⁿ. Они равно возможны из-за равной вероятности дней рождения. Теперь вычислим количество тех из них, в которых все даты рождения различны. Составим такой список. Первому студенту назначим одну из N дат рождения. Следующем, чтобы не было повторений, можем назначить одну из (N-1) дат. Следующему - одну из (N–2) дат. И т.д. В итоге получаем, что существует N(N–1)(N–2)...(N–n+1) списков студентов без повторений дат рождений. Поэтому искомая в задаче  вероятность равна 1 – N(N – 1)(N – 2)...(N – n + 1) / Nⁿ. Ответ на второй вопрос получим из приближенной формулы: (1–1/N)(1–2/N)...(1–(n–1)/N) exp(n(n–1)/(2N)) для N >> n. Отсюда получаем уравнение n(n–1) =2 ln2 . В частности, при N=365 получим n=23. При такой численности группы вероятность отсутствия одинаковых дней рождения приближенно равна 0.49 и, соответственно, вероятность наличия совпадений равна 0.51.

3. На шахматную доску поставлены два коня. Какова вероятность, что они бьют друг друга? Ответ: 1/12.
4. Тот же вопрос о двух ферзях.
5. Из костей домино наугад выбрана одна. Затем - вторая. Чему равна вероятность того, что вторая кость подходит к первой? Если вторая кость подошла к первой, то чему равна вероятность того, что первая была дублем?
6. Задача о казначее короля. Казначей чеканит золотые монеты и раскладывает их в 100 мешков по 100 монет в каждый. По склонности экономических работников к жульничеству в каждый мешок казначей подкладывает одну фальшивую монету. Король достает из каждого мешка по одной монете и пробует ее на зуб. Чему равна вероятность, что казначей попадется?

Решение. Вероятность попасться на каждом отдельном мешке равна 1/100. Вероятность не попасться равна 1–1/100. Вероятность не попасться на всех ста мешках равна (1–1/100)¹⁰⁰  1/e 0.37, а вероятность попасться 0.63. Она отнюдь не мала. Можно сказать, что это - пример статистического контроля качества, применяемого до сих пор на производстве большого числа недорогих предметов.

7.  Решите  предыдущую задачу в более  общих условиях:  число мешков  M, число монет в мешке m, казначей подкладывает в каждый мешок f фальшивых монет, а король проверяет k монет из каждого мешка. 

§ 4. Геометрические вероятности.

      К начальному знакомству с вероятностными задачами можно добавить еще один класс простых задач, - на так называемые геометрические вероятности, не дожидаясь  формального введения случайных  величин и законов их распределения, основываясь на простой ситуации. Пусть пространство состоит из точек на плоскости, заполняющих какую-либо простую область, - круг, квадрат, треугольник и т.п. И пусть вероятность одинаково распределяется между точками во всем , т.е. плотность распределения вероятности постоянна.  Тогда можно вычислить вероятность любых событий, представленных фигурами в , площадь которых можно сосчитать. Вероятность равна частному от деления площади фигуры на площадь всего . Аналогично выполняются вычисления, если - отрезок на вещественной оси, а событие A - часть этого отрезка, длину которой можно сосчитать. Такая же идея реализуется в том случае, когда - объемное тело в n-мерном евклидовом пространстве, а событие A представлено некоторой его частью, имеющей объем. Ограничимся простыми примерами.

1. Задача о дуэлянтах. В каком-то городе времен Бисмарка дуэли приняли такой повальный характер, что властям пришлось вмешаться. Был издан указ, разрешающий дуэли с 5 до 6 часов утра, причем оба дуэлянта должны явиться к месту дуэли и ждать противника в течение пяти минут. Если противник является, дуэль состоится. Если противники не встречаются, дуэль не состоится, но противники считаются сохранившими свою честь. Чему равна вероятность дуэли.

Решение. Буквами x и y обозначим моменты прихода на дуэль противников после 5 часов утра в интервале длиной 1 час. По условию 0 x 60  и 0 y 60.

Рис.2.  

Всевозможные  пары чисел (x, y) будем рассматривать как точки квадрата со сторонами длиной 60. Условие дуэли: |x-y| 5. Граница этого множества - две прямые y = x  ± 5. Вероятность дуэли равна площади этого множества, деленной на площадь квадрата: P = (60²-55²)/60² = 23/144. Т.е. число дуэлей удалось сократить примерно в 6 раз.

2. Стержень ломают в двух наугад выбранных точках. Найти вероятность того, что из трех полученных кусков можно составить треугольник. Ответ: 1/4.
3. В футбольном матче в первом тайме было забито два гола. Какова вероятность того, что их забили в течение пяти минут?
4. Задача из американских олимпиад. Джентльмен в холле кладет свою трость на круглый стол. Длина трости равна 2l, радиус стола R, l<R. Трость не падает со стола. Найти вероятности того, что со стола свешивается один конец трости, оба конца трости.

 

§ 5. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей.

     Пусть  дано пространство элементарных событий  W. Множество событий назовем полем событий, если

     а) WÎF,

     б) Если А и ВÎF , то А+В, .

Очевидно, =Æ также принадлежит полю, как и произведение .

     Таким образом, введенные действия с событиями: сложение, умножение и переход  к противоположному событию - не выводят  нас из поля событий; поле событий  замкнуто относительно этих операций.

     Часто в теории вероятностей приходится рассматривать  бесконечные последовательности событий. Для того, чтобы можно было с  ними работать, приходится рассматривать  поля событий, замкнутые относительно счетной последовательности действий. Такие поля называются s-алгебрами и являются естественными областями определения вероятности, которая вводится тремя аксиомами.

     I. Любому событию А из s-алгебры F приведено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

     II. Р(W)=1: вероятность достоверного события равна единице.

     III. Аксиома сложения: вероятность суммы  несовместимых событий равна  сумме их вероятностей: если - попарно несовместимые события, то . Особое внимание следует обратить на то, что в этих суммах может быть бесконечное число слагаемых.

     Тройка (W, F, Р(А)) называется вероятностным пространством. Все пятнадцать формул исчисления вероятностей оказываются следствием только что введенных аксиом. Действительно:

     1. Р(W)=1 по I аксиоме.

     2. W+Æ=W и WÆ=Æ. Поэтому по III аксиоме Р(W)+Р(Æ)=Р(W), т.е. Р(Æ)=0.

     В классической схеме были справедливы  и обратные утверждения: если Р(А)=1, то событие А - достоверное; если Р(А)=0, то событие А - невозможное. В общей же схеме эти обратные утверждения, вообще говоря, ошибочны. Например, если опыт состоит в том, чтобы наугад выбрать точку на отрезке [0, 1], то событие - выбранная точка является рациональной - имеет вероятность ноль, но не является невозможным, и событие - выбранная точка является иррациональной - имеет вероятность единица, но не является достоверным. Приходится вводить особое название для событий единичной и нулевой вероятности: если Р(А)=1, говорят, что событие А происходит почти наверное; если Р(А)=0, говорят, что событие А почти наверное не происходит. Пожалуй, именно это обстоятельство так значительно усложняет строгую теорию вероятностей по сравнению с классическим случаем.

     3. . Поэтому по аксиоме III и I

      , т.е.  .

     4. Так как  , а по I аксиоме , то Р(А)£1 для "А. Вторая часть неравенства Р(А)³ 0 верна по I аксиоме. Итак,  0£Р(А) £1  для "А .

     5. Если АÌВ, то , и слагаемые здесь несовместимы. По III аксиоме ; по I аксиоме , поэтому Р(В)³Р(А) .

     6. Для любых двух событий А и В                  Р(АВ)£ Р(А) £Р(А+В) .

Действительно  и . Поскольку правые части равенств составлены из несовместимых слагаемых, по III аксиоме

     

Остается  учесть, что по I аксиоме 

     7. Формулы Р(А+В)=Р(А)+Р(В) для АВ=Æ  верна по III аксиоме.

     8. Докажем теорему сложения для  двух событий:   Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) .

Очевидно,    и ,  причем справа стоят несовместимые события. По III аксиоме .

Вычитая почленно одно равенство из другого, получим теорему сложения.