Содержание и значение математической символики

     Пусть имеется предикат определенный на множестве М. Если некоторый элемент из множества , то подстановка его вместо в предикат превращает этот предикат в высказывание Такое высказывание называется единичным. Наряду с образованием из предикатов единичных высказываний в логике предикатов рассматривается еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание.

     Квантор всеобщности. Пусть предикат, определенный на множестве . Под выражением 

понимают  высказывание, истинное, когда  истинно для каждого элемента из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от . Соответствующее ему словесное выражение будет «Для всякого x истинно». Символ называют квантором всеобщности. Переменную в предикате называют свободной (ей можно придавать различные значения из ), в высказывании  

переменную  называют связанной квантором .

     Квантор существования. Пусть предикат, определенный на множестве . Под выражением  

понимают  высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого истинно, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от . Соответствующее ему словесное выражение будет: «Существует , при котором – истинно». Символ называют квантором существования. В высказывании   переменная связана квантором .

     Приведем пример употребления кванторов. Пусть на множестве натуральных чисел задан предикат : «Число кратно 5». Используя кванторы, из данного предиката можно получить высказывания: «Все натуральные числа кратны 5»:  

 «Существует натуральное число, кратное 5». Очевидно, первое из этих высказываний ложно, а второе истинно. Ясно, что высказывание истинно только в том единственном случае, когда – тождественно истинный предикат, а высказывание  

ложно только в том единственном случае, когда – тождественно ложный предикат.

     Кванторные  операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат . Применение кванторной операции к предикату по переменной ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной и не зависящий от переменной . К ним можно применить кванторные операции по переменной , которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

     ,

     ,

       ,

     .

  Например, рассмотрим предикат

,

  определенный на множестве . Применение кванторных операций к предикату приводит к восьми возможным высказываниям:

1.  – «Для всякого и для всякого является делителем ».

2. – «Существует , которое является делителем всякого».

3.  – «Для всякого существует такое, что делится на ».

4. – «Существует и существует такие, что является делителем ».

5. – «Для всякого и для всякого является делителем ».

6. – «Для всякого существует такое , что делится на ».      

7. – «Существует и существует у такие, что у является делителем ».

8.  – «Существует такое, что для всякого делится на ».

     Легко видеть, что высказывания 1, 5 и 8 ложны, а высказывания 2, 3, 4, 6 и 7 истинны.

     Из  рассмотренных примеров видно, что  в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, а значит, и его логическое значение (например, высказывания 3 и 8).

     Рассмотрим  предикат , определенный на множестве               

     ,

содержащем  конечное число элементов. Если предикат  

  является тождественно истинным, то истинными будут высказывания . При этом истинными будут высказывание  

и конъюнкция

.

     Если  же хотя бы для одного элемента  

окажется  ложным, то ложными будут высказывание  

и конъюнкция

     .

     Следовательно, справедлива равносильность

     .

Нетрудно  показать, что справедлива и равносильность

.

     Отсюда  видно, что кванторные операции можно  рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

     В результате проделанной работы были изучены математические знаки, их совокупность, использование, которое обусловлено тем, что при его помощи можно не только кратко и ясно записывать понятия и предложения математических теорий (что способствует более глубокому осознанию содержания и облегчает запоминание), но и развивать в них исчисления и алгоритмы.

     Приведем  в заключение слова знаменитого  математика и физика XVIII-XIX вв. П. Лапласа: «Мысль выражать все числа десятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1. Андреева Е., Фалина И. Системы счисления и компьютерная арифметика. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 248с.
2. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций. – СПб.: Лань, 2008. – 288с.
3. http://ru.wikipedia.org/wiki
4. http://www.historydata.ru/index.php
5. http://www.iq-coaching.ru/izvestnye-uchenye/matematiki/215.html