Содержание и значение математической символики

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Содержание

Введение………………………………………………………………………………..3

1. Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления………………………………………………………………………………...4
2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры………………………….10
3. Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа……………………………………………………………………………….19
4. Предикаты и кванторы………………………………….…………………….21

Заключение…………………………………………………………………………….29

Список  литературы………………………………………………………………….30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Современный человек в повседневной жизни  постоянно сталкивается с числами и цифрами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рублей) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А две тысячи лет назад что знал человек о числах? А пять тысяч лет назад?

     Вопрос  не простой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия. Но записывали они числа совершенно по другим принципам, нежели мы в настоящее время. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

     В математике и информатике принято  символы, участвующие в записи числа, называть цифрами. Но что же люди понимают под словом «число»?

     Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Появление дробных чисел было связано с необходимостью производить измерения (сравнения с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона). Но так как единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине, то возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики. Понятие числа — фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В данной работе под числом понимается его величина, а не его символьная запись.

     Сегодня, начале XXI века, человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления. А что такое — система счисления? 
 
 

1. Введение  нуля и развитие позиционной  десятичной системы  счисления

     Система счисления — это  способ записи (изображения) чисел. Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от номера ее позиции в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и «вносит» в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и «вносит» в величину числа 300.

     Системы счисления, в которых каждой цифре  соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа, называются непозиционными. Примером непозиционной системы счисления является римская система записи чисел.

     Позиционные системы счисления — результат  длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

     В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н.э.). Ученые назвали этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков — палочка. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. При записи большого числа легко ошибиться — нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

     Можно предположить, что для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали  использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Так как люди, естественным образом, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 и 10 штук (единиц). И, таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

     В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные знаки (цифры) для обозначения чисел

       .

     Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих «цифр», в которых каждая «цифра» повторялась не более девяти раз.

     Например, число 345 древние египтяне записывали так:

,

где – единицы, – десятки, – сотни.

     Рисунок 1 дает представление о способах записи любой информации в Древнем Египте. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

Рис.1.Фотография стены и глиняной дощечки

с древнеегипетскими  иероглифами 

     Так же далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации  — вавилонской — люди записывали цифры по-другому. Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин ▼ служил для обозначения единиц и лежачий клин ◄ для обозначения десятков. Число 32, например, записывали так:

◄◄◄▼▼.

     Знаки ▼ и ◄ служили «цифрами» в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком ▼, что и 1. Этим же знаком обозначались числа

, 

и все  другие степени 60. Поэтому вавилонская  система счисления получила название шестидесятеричной.

     Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов:

▼▼◄▼▼.

2-ой  разряд     1-ый  разряд

     Значение  числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с учетом того, что  «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.

     Например, число записывали так:

▼◄◄◄▼▼,

 а  число 444 в этой системе записи  чисел имело вид 

▼▼▼▼▼▼▼◄◄▼▼▼▼,

так как . Это число состоит из двух разрядов: 

▼▼▼▼▼▼▼◄◄▼▼▼▼.

старший разряд       младший разряд

     Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом — в позиционной  системе с основанием 60. Запись числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало «цифры» для обозначения нуля.

     Шестидесятеричная вавилонская система — первая известная система счисления, основанная на позиционном принципе.

     Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, до сих пор час делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность делится на 360 частей (градусов).

     В ходе своего развития человечество стремилось совершенствовать запись чисел, у разных народов в разное время употреблялись различные системы счисления.

     Римская система принципиально ненамного отличается от египетской. В ней для обозначения чисел  

используются  заглавные латинские буквы 

,

соответственно, являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);
2. разности значений двух «цифр», если слева от большей цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения боль шей «цифры» отнимается

 

Рис.2.Календарь на каменной плите (3-4 вв.) найденный в Риме

значение  меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что  левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так  перед из «младших» может стоять только, перед — только, перед — только ;

3. сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

     Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего открытия — цифры для обозначения отсутствующей величины. Как же появился нуль?

     Как было сказано, уже вавилоняне употребляли  специальный символ для обозначения нулевого значения разряда. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации.                                                                                   

     Но  самое замечательное было то, что  для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ «О» (первая буква греческого слова Ouden — ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообразом нашего нуля.

     Индийцы познакомились с греческой астрономией  между II и VI вв. н.э. Это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины. В это время в Индии использовалась мультипликатив-

ная система  счисления. По утверждению историков примерно в это время индийцы познакомились и с вавилонской системой счисления, и с греческим круглым нулем. Индийцы соединили свою десятичную мультипликативную систему с принципами нумерации чисел греческих астрономов. Это и был завершающий шаг в создании десятичной системы счисления. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Символика Виета и Декарта  и развитие алгебры

 

     Считается, что эллины заимствовали первые сведения по алгебре у вавилонян. Греческий философ-неоплатоник Прокл Диадох отмечал в своем сочинении: «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, имела свое происхождение в измерении площадей». Воздействие традиций вавилонской алгебры на математику Древней Греции и алгебраическую школу стран ислама подчеркивается в «Истории математики». Создание основ математики в том виде, к которому мы привыкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится к VI—V векам до нашей эры. Античная наука достигла вершины в работах Евклида, Архимеда, Аполлония.

     Новый подъем античной математики в III веке нашей  эры связан с творчеством великого математика Диофанта. Его основной труд — «Арифметика». К сожалению, лишь шесть книг из тринадцати книг дошли до нашего времени. Диофант сумел возродить и развить числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки. У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной, квадрата, куба, четвертой, пятой и шестой степеней, а также первых шести отрицательных степеней. В «Истории математики» это отмечено особо: «Книга Диофанта свидетельствует о наличии у него буквенной символики. Значение этого шага огромно. Только на такой основе могло быть создано буквенное исчисление, развит формульный аппарат, позволяющий часть наших мыслительных операций заменить механическими преобразованиями. Однако Диофант, видимо, не нашел в этом деле последователей ни в его эпоху, ни много позднее. Лишь с конца XV века в Европе началась интенсивная разработка алгебраической символики, а завершение создания буквенного исчисления произошло только в конце XVI — начале XVII века в трудах Виета и Декарта». «Диофант — пишет В.А.Никифоровский, — сформулировал правила алгебраических операций со степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями, и правила знаков при умножении. Это дало возможность компактно записывать многочлены, производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с обратными знаками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях уравнения».