Содержание и значение математической символики

     Вклад Декарта в математику не ограничивается одной «Геометрией»: в переписке он дал решение многих задач, в том числе связанных с бесконечно малыми на заре становления дифференциального и интегрального исчислений. Перечислим основные его результаты. Рене Декарт нашел способы вычисления площадей сегментов парабол 

(квадратур  парабол), сводившихся к вычислению интегралов, объемов сегментов параболоидов вращения, центров тяжести сегментов парабол и параболоидов, получил метод построения касательных к параболам. Им также найдена квадратура циклоиды, построены касательные к циклоидам, исследованы свойства им же открытой логарифмической спирали (полярное уравнение спирали), введена еще одна кривая третьего порядка — «лист Декарта».

     В полемике Декарта с группой математиков  по поводу отыскания максимумов и минимумов и построения касательных получены важные результаты, уточняющие разработанные Ферма и Декартом методы. 
 
 
 
 
 
 
 

3. Обозначение производной и  интеграла у Лейбница

     Основная  часть современных обозначений  в дифференциальном и интегральном исчислении идет от Лейбница. Вместе с Ньютоном он и является основоположником анализа. У обоих была своя символьная система для обозначения дифференциалов, производных и т.п., но прижилась в основном система Лейбница. От ньютоновской символики остались лишь точки над буквами для обозначения первой, второй и т.д. производных. От Лейбница идут обозначения типа 

 знак  интеграла  

(произведен  от первой буквы слова Summa).

     К важнейшим научным достижениям Лейбница можно отнести то, что он создал комбинаторику как науку. В 1684 году публикует первую в мире крупную работу по дифференциальному исчислению: «Новый метод максимумов и минимумов», причём имя Ньютона в первой части даже не упоминается, а во второй его заслуги описаны не вполне ясно. В этой краткой работе Лейбница излагаются основы дифференциального исчисления, правила дифференцирования выражений. Используя геометрическое истолкование отношения , он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба. Попутно без каких-либо пояснений вводятся «разности разностей» (кратные дифференциалы), обозначаемые

     .

       Лейбниц писал: То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

     В 1686 году математик даёт подразделение вещественных чисел на алгебраические и трансцендентные. Ещё раньше он аналогично классифицировал кривые линии, а позже вводит показательную функцию в самом общем виде: . Впервые в печати вводит символ интеграла (и указывает, что эта операция обратна дифференцированию). В 1692 году им введено общее понятие огибающей однопараметрического семейства кривых, выведено её уравнение. В 1693 году рассматривает вопрос о разрешимости линейных систем. Результат Лейбница фактически вводит понятие определителя. Через девять лет совместно с Иоганном Бернулли открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. Это решает многие вопросы интегрирования рациональных функций.

     В подходе Лейбница к математическому  анализу были некоторые особенности. Он мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. В первых работах он, похоже, понимал бесконечно малые как актуальные объекты, сравнимые между собой, только если они одного порядка. Возможно, Лейбниц надеялся установить их связь со своей концепцией монад. В конце жизни Лейбниц высказывался скорее в пользу потенциально бесконечно малых, то есть переменных величин, хотя и не пояснял, что он под этим подразумевает. Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника. 
 
 
 
 
 
 

4. Предикаты и кванторы

 

     В алгебре логики высказывания рассматриваются  как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

     Например, в рассуждении «Всякий ромб - параллелограмм, ABCD – ромб, следовательно, ABCD - параллелограмм» посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

     В связи с этим возникает необходимость  в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

     Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

     Логика  предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально — подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально — сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

     Субъект — это то, о чем что-то утверждается в высказывании. Предикат — это то, что утверждается о субъекте.

     Например, в высказывании «7 - простое число», «7» -субъект, «простое число» — предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

     Если  в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «— простое число». При одних значениях (например, , ) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях (например, ) эта форма дает ложные высказывания.

     Ясно, что эта высказывательная форма  определяет функцию одной переменной , определенной на множестве , и принимающую значения из множества . Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

     Определение. Одноместным предикатом называется произвольная функция переменного , определенная на множестве и принимающая значения из множества .

     Множество , на котором определен предикат , называется областью определения предиката.

     Множество всех элементов, при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката , то есть множество истинности предиката – это множество           

.

Так, предикат « - простое число» определен на множестве , а множество для него есть множество всех простых чисел. Предикат

–

определен на множестве , а его множество истинности 

     Предикат – «Диагонали параллелограмма перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов. Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Определение. Предикат , определенный на множестве , называется тождественно истинным (тождественно ложным), если 

     Естественным  обобщением понятия одноместного предиката  является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.

     Примером  бинарного отношения (отношения  между двумя предметами) является отношение «меньше». Пусть это отношение введено на множестве целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной формой

,

 где , то есть является функцией двух переменных , определенной на множестве с множеством значений .

Определение. Двухместным предикатом называется функция двух переменных и , определенная на множестве  

 и  принимающая значения из множества .

     В числе примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: – предикат равенства, определенный на множестве  
 

прямая  параллельна прямой , определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости. Аналогично определяется – местный предикат.

     Предикаты, так же, как высказывания, принимают  два значения и и л , поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

     Рассмотрим  применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

     Пусть на некотором множестве  определены два предиката и .

     Определение. Конъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат

     ,

который принимает значение «истина» при  тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Очевидно, что областью истинности предиката является общая часть областей истинности предикатов и , то есть пересечение

.

     Так, например, для предикатов : « – четное число» и « – кратно 3» конъюнкцией 

является  предикат « – четное число и кратно 3», то есть предикат « делится на ».

     Определение. Дизъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат

     ,

который принимает значение «ложь» при тех  и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

     Ясно, что областью истинности предиката  

является  объединение областей истинности предикатов и , то есть объединение

.

     Определение. Отрицанием предиката называется новый предикат

     ,

который принимает значение «истина» при всех значениях , при которых предикат принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях , при которых предикат принимает значение «истина».

Из этого  определения следует, что

.

     Определение. Импликацией предикатов и называется новый предикат

     ,

который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно принимает значение «истина», a значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Так как при каждом фиксированном справедлива равносильность

,

то

.