Содержание и значение математической символики

     Начиная с V века центр математической культуры постепенно перемещается на восток — к индусам и арабам. Математика индусов была числовой. Она отмечена стремлением достичь строгости эллинов в доказательствах и обосновании геометрии, довольствуясь чертежами.

     Основные  достижения индусов состоят в  том, что они ввели в обращение  цифры, называемые нами арабскими, и  позиционную систему записи чисел, обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и ввели отрицательные числа. Первое известное применение десятичной позиционной системы относится к 595 году — сохранилась плита, на которой число лет 346 записано в такой системе.   Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный «первым», около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Индусы рассматривали числа безотносительно к геометрии. Они распространили правила действия над рациональными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки. Еще одно достижение индусов в совершенствовании алгебраической символики состоит в том, что они ввели обозначения нескольких различных неизвестных и их степеней. Как у Диофанта, они были по сути дела сокращениями слов.

     Вслед за индийскими математиками пользоваться правилом положения стали математики Ближнего и Среднего Востока. Особую роль в истории развития алгебры в первой половине IX века сыграл трактат Аль-Хорезми на арабском языке под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на арабском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). Позднее при переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени «аль-джебр» сократили до «алгебры».

     В трактате решение уравнений рассматривается  уже не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики. Арабский математик показывает, что в алгебре применяются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Аль-Хорезми назвал неизвестное «корнем». При решении различных видов уравнений Аль-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую, называя это восстановлением. Вычитание равных членов из обеих частей уравнения при этом он называет противопоставление (валь мукабала).

     «В  своем трактате Аль-Хорезми, — отмечает Александр Свечников, — рассматривает неизвестное число как величину особого рода, вводит термин корень, свободный член называет дирхем (так в то время называли и денежную единицу). Он распределяет уравнения по видам, разъясняет, как применять правила восполнения и противопоставления, формулирует правила решения уравнений различных видов. В рукописях Аль-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и более поздних времен называли риторической, т.е. словесной. В период работы над алгебраическим трактатом Аль-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был знаком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийских астрономов и математиков.

     Аль-Хорезми  выделил алгебраический материал в  особый раздел математики и освободил его от геометрического толкования, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраический труд  Аль-Хорезми стал образцом, который изучали и которому подражали многие математики более позднего времени. Последующие алгебраические сочинения и учебники по своему характеру стали приближаться к современным. Алгебраический трактат Аль-Хорезми послужил началом создания науки алгебры. Он был в числе первых сочинений по математике, переведенных на латинский язык. В то время в Европе все научные труды писали и печатали на латинском языке. При решении задачи главное — осмысление содержания задачи, способность выразить его на языке алгебры. Проще говоря, записать условие задачи посредством символов — математических знаков.

     Диофант, как уже говорилось, дал понятие об алгебраическом уравнении, записанном символами, однако очень далекими от современных. Первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины Франсуа Виет. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

     Франсуа Виет (1540—1603) родился на юге Франции  в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери — двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике. В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III. В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов. Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников.

     В 1584 году по настоянию Гизов Виета  отстранили от должности и выслали  из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Получив неожиданный досуг, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

     Виет  изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое — новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...»

     Основы  своего подхода Виет называл видовой  логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т.д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры — длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных — согласные.

     Виет  показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т.е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

     Демонстрируя  силу своего метода, ученый привел в  своих работах запас формул, которые  могли быть использованы для решения  конкретных задач. Из знаков действий он использовал  и , знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом

     .

       Виет первым стал применять  скобки, которые, правда, у него  имели вид не скобок, а черты  над многочленом. Но многие  знаки, введенные до него, он  не использовал. Так, квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

     Символика Виета позволила и решать конкретные задачи, и находить общие закономерности, полностью обосновывая их. Таким образом, алгебра выделилась в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии.

     Символики Виета придерживался впоследствии Пьер Ферма. Дальнейшее значительное усовершенствование алгебраической символики принадлежит  Декарту. Рене Декарт ввел для обозначения коэффициентов строчные буквы латинского алфавита. Для обозначения неизвестных он использовал последние буквы того же алфавита. Это нововведение получило широкое распространение в работах математиков и с небольшими изменениями сохранилось до наших дней.

     Постулирование  алгебраических операций над отрезками, сделанное Декартом в начале «Геометрии», означало не только новый подход к вопросу о соотношении между алгеброй и геометрией, диаметрально противоположный подходу древних. Оно также вело к расширению понятия числа. Декарт отождествлял отношение отрезка, соизмеримого или несоизмеримого с единичным отрезком, к единичному с соответствующим этому отношению целым, дробным или иррациональным числом. Он дал геометрическое толкование и отрицательным числам как противоположно направленным отрезкам. И хотя Декарт при рассмотрении уравнений применяет неудачную терминологию, называя отрицательные корни «ложными», в противоположность «истинным» (положительным), он объединяет те и другие в класс «действительных» в отличие от «воображаемых» (мнимых).

     Кроме того, применение к исчислению отрезков алгебраических формул в соответствии с данными определениями операций снимало требование однородности входящих в те или иные соотношения величин, которому подвержены соотношения в математике древних и Виета. Символика Декарта была  более совершенной. Он обозначал данные отрезки буквами , неизвестные («неопределенные») — буквами Рене Декарт ввел обозначение степеней:

     .

Правда, квадрат величин он выражал и  с помощью символов

     .

 Обозначение  корня у этого математика несколько отличается от современного.

     Входящие  в различные формулы Декарта  буквы считались положительными величинами. Для обозначения отрицательных величин он ставил знак минус. Если знак коэффициента произволен, то перед ним ставилось многоточие. Знак равенства имел необычный вид. И еще один символ применял Декарт: он ставил звездочки, чтобы показать отсутствующие члены уравнения.

     Изложение теория уравнений в третьей книге  «Геометрии» Декарт начинает с рассмотрения вопроса о числе корней уравнения. Левую часть уравнения (справа Декарт пишет нуль!) получает умножением двучленов вида 

и естественным образом приходит к формулировке основной теоремы алгебры. Он пишет: «Итак, знайте, что всякое уравнение  может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений». При этом двучлены вида  

дают  «истинные», а вида 

— «ложные» корни.

     Несколько дальше Декарт дополняет: «... хотя всегда можно вообразить себе у каждого уравнения столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует, ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням». Здесь «воображаемые» корни — мнимые. Они появились в связи с основной теоремой алгебры. Получение уравнения с помощью биномов приводит Декарта к приему понижения его порядка в случае известного корня делением многочлена на двучлен

.

     Далее Декарт дает «правило знаков» для  нахождения числа положительных  и отрицательных корней уравнения  по числу перемен знаков коэффициентов. Он утверждает, что число положительных  корней равно числу перемен знаков в ряду коэффициентов уравнения, а число отрицательных корней совпадает с числом повторений знака. С этим же вопросом связаны замечания о границах действительных корней уравнения.

     Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры  поставлена Декартом — задача приводимости уравнений, т.е. представления целого многочлена с рациональными (целыми) коэффициентами в виде произведения многочленов низших степеней. Декарт установил, что корни уравнения третьей степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, строятся с помощью циркуля и линейки (иначе говоря, уравнение разрешимо в квадратных радикалах, тогда и только тогда, когда оно имеет целый корень (левая часть его будет представлена в виде произведения множителей первой и второй степени).

     Для уравнения четвертой степени  он также указал условие разрешимости. Оно состоит в разрешимости его кубической резольвенты, т.е. соответствующего уравнения шестой степени, кубического относительно .

     В конце третьей книги «Геометрии»  Декарт графически решает уравнения  третьей, четвертой, пятой и шестой степеней, отыскивая корни их как  пересечение некоторых линий.

     В письме Мерсенну 4 апреля 1648 г. Декарт признавался, что написал «Геометрию» трудно для посрамления Роберваля и других противников, чтобы они «попали в своей критике впросак», не разобравшись в, существе. «Уверяю вас, что если бы я не имел в виду этих злобных умов, то я написал бы ее совершенно иначе и сделал бы много ясное; быть может, я еще это и сделаю как-нибудь, если только увижу этих чудовищ побежденными или смирившимися». Правда, в самой «Геометрии» он пишет иначе: «Однако в мои цели не входит написать большую книгу. Я скорее стремлюсь в немногих словах выразить многое... И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им самим удовольствие найти это».