Шпаргалка по математике

y0=C1y1(x)+C2y2(x)      y(x),y’(xa) – находимая ф-ция,

y*=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)    с1(x)c2(x) – коэф. ф-ции

c1’(x)y1(x)+c2’(x)y2(x)=0    (2)       f(x) – прав. часть ур-ня (1)

c1’(x)y1’(x)+c2’(x)y2’(x)=f(x)  (3)

(2) и (3) – система уравнений

32. Числовой ряд и  его сумма. Свойства  сходящихся рядов.

Числовым  рядом назыв. выражение вида а1+а2+…+аn+…, кот. можно записать (1)

а1, а2 – члены  ярда

аn – общий член ряда или n-ый член ряда

Сумма n-первых членов ряда Sn=a1+a2+..+an назыв. n-ой частичной суммой ряда.

Числовой ряд  назыв. сходящимся, если сущ. конечн. предел последоват. Sn=S, S принадлеж. R, S -  сумма ряда. 

Св-ва сход. рядов:

1. сходимость ряда не нарушается, если произвольным образом изменить (добавить, отбросить) конечное число членов ряда

2. сход. ряда  можно почленно умножить на  любое число, т.е. общий член  множителей можно вынести за  знак скобку  ,

3. сход. ряды можно почленно складывать и отнимать

, ,

33. Необходимое условие  сходимости числового  ряда. Гармонический ряд

Если ряд  - сход., то

Док-во:

, ,

Гармоническим рядом назыв. сумму бесконеч. кол-ва членов обратных последовательным числам нату. ряда. Его обозначают 

 

34. Признаки сравнения  сходимости рядов  с положительными  Членами.

Пусть даны 2 ряда: (1), (2), an, bn≥0

Признаки  сравнения:

Пусть  для  членов рядов (1) и (2) выполн. неравенство  an≤bn, для любых натур чисел, тогда: Если ряд (2) сход., то ряд (1) также сход. , если ряд (1) расх., то (2) расх. тоже

Пусть дял членов рядов (1) и (2) выролн. условие: , А приндлеж. R A≠0, тогда ряды (1) и (2) сх. или расх. одновременно

Признак Д’Аламбера:

(1) , an>0, , тогда:

Если  <1, то ряд 1 сход., Если >1, то ряд 1 расх. , Если =1, то признак не срабатывает

Признак Коши:

1. Если для ряда 1 сущ. , то при <1, ряд 1 сх, а при >1, ряд 1 расх.

2. Интегральный  признак Коши: если для ряда 1 с  положит. членами выполн условия:

1)

2) сущ. непрерыв. невозраст. ф-ия f(x): an=f(n) для любых натур. n, то ряд 1 инесобств. интеграл сход. или расх одновременно:

    α>1 – сход, α<1 –  расх.

35. Знакопеременные  и знакочередующиеся  ряды. Признак Лейбница.

Числ. ряд назыв. знакопеременным, если он содержит как полож., так и отриц. члены

Пусть (1), а (2)

Если ряд 2 сход., то ряд 1 также сход. Если ряд 2 составл. из модулей членов ряда 1, сходится, то ряд 1 назыв. абсолютно сход.

Если ряд 2 расход, а ряд 1 – сход., то говорят, что  ряд 1 сходится условно.

    (3) – закочередующийся ряд.

Признак Лейбница:

Если для знакочеред. ряда 3 выполн. условие:

1.

2.

то ряд 3 сход., при этом его сумма S≤a1, а остаток ряда

36. Свойства абсолютно  и условно сходящихся  рядов.

Рассмотрим  некоторый знакопеременный ряд (с  членами произвольных знаков).  

(1)  

(2) 

Ряд называется абсолютно схяодящимся, если сходится ряд .

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд   расходится.

Св-ва абсолют. сход. рядов:

1) Т. Для абсолют. сходи. ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представ. в виде разности 2х сход рядов с неотрицат членами.

2) В  сход  ряде любая группировка членов ряда, не измен их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если  ряд  сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолют сходится и имеет ту же сумму.

4) Т. При любой группировке членов абсолютно сход. ряда получается сход. ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

5) Если  ряды  и   (сход. абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида   , i,k=1,2…взятых в каком угодно порядке, также сход абсолютно и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов.

Cв-ва условно сход. рядов:

1. Если ряд условно сход., то ряды, составл. из его положит. и членов, расх..

2. Путём измен.  порядка членов условно сход. ряда можно получить ряд, сход. к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся.

3. При почленном  умножении 2х условно сход рядов  может получиться расх. ряд. 

37. Понятие функционального  ряда. Область сходимости.

Пусть , n принадлеж. натур.  – ф-ция опред. на мн-ве Х. Функциональным рядом назыв. выражение вижа (1)

Мн-во D всех значений х, при кот-ых ряд (1) сход. назыв. областью сходимости функц. ряда

38. Степенные ряды. Теорема  Абеля. Свойства  степенных рядов.

Степенным рядом назыв. функц. ряд вида: .  Cn принадлеж. R. (3)

Если х0=0, то (4)

Ряд (4) всегда сход. по крайней мере в одной точке  х=0

х-х0=у

Теорема Абеля:

Если ряд 4 сход. в некот. т. х1≠0, то он будит сход. при всех знач.-ях х принадлеж. R. |x|<|x1|. Если ряд 4 расход, в x2, то он будит расходящимся и при всех х принадлеж. R, |x|>|x2|.

Св-ва степенных рядов:

1. сума степен. ряда -  есть ф-ия непрерыв. на любом отрезке, содержащимся внутри интервала сходимости

2. степен. ряд можно почленно интегрир. на любом отрезке, содерж. в интервале. Получ. ряд будит иметь такой же радиус сходимости как и исходный.

3. степен. ряд  можно почленно дифф-ть любое  число раз, радиус сход. его  при это не изменится

39. Ряды Тейлора и  Маклорена.  

Пусть f(x) имеет производные всех порядков некотор. окрестн. т. x. Рядом Тейлора для f(x) в т. х0 назыв. степен. ряд след. вида:

Если х0=0, то ряд назыв. рядом Маклорена

 При выполнении некотр. условий ряд Тейлора для f(x) равен самой f(x). Говорят, что ф-ия представима в виде ф-ии степен. ряда

  x принадлеж. R. 

Ф-ия F(x) назыв. первообразной для f(x) на (а;в), если в кажд. т. этого интервала F(x) дифф-ма и F’(x)=f(x)

Мн-во всех первообразн. f(x) на (а;в) назыв. неопpед. интегр. от f(x).

Ф-ла замены переменной:

Ф-ла для  опред. интеграла:

Опред. интеграл в эк-ке:

u=f(t) – пр-ть труда, тогда V прод-ии, произвед. за время от t до t2 равен

Пусть ф-ия k(x) опред. зависим. TC от Q прод-ии x, тогда f знач. TC при выпуске Q от а до b, x принадлеж. [a; b], опред.:

Отображение f:x . f:x=(x1…xn)-> - такие отображения назыв. ф-ми n-переменных

e-окрест. точки х₀ÎR назыв. множество точек хÎR , удовлет. условию: .

Пусть дана z=f(x;y), Po(x0;y0) принадлеж. D. Число A назыв. пределом ф-ции z=f(P) т. Po, если для люб. послед-ти точек Pn(xn;yn) принадлеж. R*R сход. в т. Po соответств. посл-ть, f(Pn) значение ф-ции, сходится к A.

Ф-ия назыв. дифф-ой в т. Mo(x0;y0), если сущ. 2 А и В, что ∆z=A∆x+B∆y+α(∆x,y∆).

Если сущ. конечный предел , то он назв. частной произв. по пер. x в т. Po(x0,y0) и обознач.

Дифф. ур-я n-го порядка назыв. соотношение вида F(x,y,y’,…, )=0, где F – известная ф-ия , х – независ. перемен, y=y(x) – ф-ия подлеж. определению, y’, - произв. этой f

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 – дифф. ур-не 1-го порядка, где M(x,y), N(x,y)  заданы в области .

M(x)dx+N(y)dy=0 – ур-е с раздел. перемен.,

Модуль  комплексного числа a + bi обозначается |a + bi|, Угол φ м\ду oX и вектором ОМ, изображ. комплю число а + bi, назыв. аргум. компл. числа а + bi.

Степен. ряд всегда сх. в некот. интервале ( -R;R), назыв. интервалом сходимости. Число R – радиус сход. ряда , где Cn,Cn+1 принадлеж. R