Шпаргалка по математике

1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

2. Правило Лопиталя.

3. Монотонность  функции. Достаточное условие  возрастания (убывания) функции.

4. Локальные  экстремумы функции. Необходимое  условие экстремума. Достаточное  условие экстремума.

5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

6. Выпуклость, вогнутость  и точки перегиба графика функции.

7. Асимптоты  графика функции.

8. Свойства неопределенного  интеграла.

9. Таблица основных  неопределенных интегралов.

10. Задача о  площади (площадь криволинейной трапеции).

11. Определенный  интеграл.

12. Свойства определенного  интеграла.

13. Интеграл с  переменным верхним пределом  и его свойства.

14. Формула Ньютона-Лейбница.

15. Длина дуги  плоской кривой.

16. Несобственный  интеграл 1-го и 2-го рода.

17. Понятие функции нескольких переменных.

18. Предел функции  нескольких переменных в точке  и его свойства.

19. Непрерывность  функции нескольких переменных  в точке и его свойства.

20. Дифференцируемость  функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.

21. Полный дифференциал  функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближенным  вычислениям.

22. Локальный  экстремум функции нескольких  переменных. Необходимое и достаточное  условие экстремума.

23. Условный экстремум  функции нескольких переменных.

24. Глобальный  экстремум функции нескольких  переменных.

25. Метод наименьших  квадратов (для случая f(x)=ax+b).

26. Задачи, приводящие  к дифференциальным уравнениям.

27. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши

28. Линейные дифференциальные  уравнения 1-го порядка.

29. Комплексные  числа и действия над ними.

30. Линейные однородные  дифференциальные уравнения 2-го  порядка с постоянными коэффициентами.

31. Метод вариации  произвольной постоянной.

32. Числовой ряд  и его сумма. Свойства сходящихся  рядов.

33. Необходимое  условие сходимости числового  ряда.

34. Признаки сравнения  сходимости рядов с положительными  Членами.

35. Знакопеременные  и знакочередующиеся ряды. Признак  Лейбница.

36. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

37. Понятие функционального  ряда. Область сходимости.

38. Степенные  ряды. Теорема Абеля. Свойства  степенных рядов.

39. Ряды Тейлора  и Маклорена.  

 

1. Основные теоремы  о дифференцируемых  функциях.

1)Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0 $ пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0. 

2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда $ т-ка сÎ(a,b), в которой f‘(c)=0.

3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).

4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹0. Тогда $ т-ка сÎ(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c). 

2. Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный.

Раскрытие ¥/¥. Второе правило.

Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.

Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0.

Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0 

3. Монотонность функции.  Достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Убыв. и возраст. ф-ии назыв. монотонностью.

Достаточное условие возрастания(убывания): f(x) – возвраст. на Х, если для любых х1, х2 принадлеж. Х, х1<x2=>f(x1)<f(x2). f(x)  – убыв. на Хó для любых х1,х2 принадлеж. Х, х1<x2=>f(x1)>f(x2). 

4. Локальные экстремумы  функции. Необходимое  условие экстремума. Достаточное условие  экстремума.

хо назыв. т. локального max f(x) если сущ. некот. окрестность Ve(xo), то для любых. х принадлеж. Ve(xo) x≠xo, f(xo)>f(x)

f(xo)<f(x), то xo – т. лок. min

Эти точки  назыв. точками лок. экстремума, значение ф-ии в этих точках назыв экстремумами.

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если  с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если  с “-” на “+”, то х₀- т. min 

5. Наибольшее и наименьшее  значение функции  на отрезке.

Глобальный  экстремум –  наиб. и наим. знач. ф-ции на огран. замкнутом мн-ве.

1.Нахождение  производной f’(x).

2.Решаем уравнение  f’(x)=0, находим критические точки, в которых производная=0, или не существует.

3.Критическими  точками разбиваем область определения  на интервалы и определяем  знак производной на каждом интервале. Если f’(x) меняет знак с + на - , то это точка max, если с – на +, то это точка min. Если производная не меняет знак, то функция f(x)  в этой точке экстремума не имеет. 

6. Выпуклость, вогнутость  и точки перегиба  графика функции.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Признаки  точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀. 

7. Асимптоты графика  функции.

Прямая, к которой  приближается график ф., но никогда  не пересечёт её, называется асимптотой графика ф. Пусть y=kx+b называется асимптотой графика ф. f(x), при , если . Коэффициент k и b вычисляются

;   . Таким образом определяются горизонтальные и наклонные асимптоты. Чтобы определить вертикальную асимптоту, необходимо исследовать функцию в точке разрыва. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если или .

разрыв ф-ции  первого вида 

8. Свойства неопределенного  интеграла.

1.  (òf(х)dх)'= f(х) 

2. dòf(х)dх)'=f(х)dх 

3. òdF(х)=F(х)+С     

4. òkf(х)dх=kòf(х)dх,   k¹0.
5. ò(f(х)±g(х))dх= òf(х)dх±òg(х))

 

9. Таблица основных  неопределенных интегралов.

1. ò0dх=С.                 
2. 2.òхdх= х+С.           
3. 3. òх^adх= +С, a¹1.
4. òсоsхdх=sinх+С;                                      5.  òsinхdх= –соsх+С;   
6. ò =tgх+С;                                       7.  ò =-сtgх+С;  
8. ò = ;                                 8а. ò = ;
9. ò = ;                                    9а. ò = ;
10. òа^хdх= а^х/lnх+С;                                                10а. òе^хdх= е^х + С;     
11. ò ln|х|+С;12. ò +С; 13 ò =ln|х+ |+С

 

10. Задача о площади  (площадь криволинейной  трапеции).

y=f(x) – [a; b], f(x)≥0

Найти S:

Для решения, разобьем [a; b] на n частичнымх отрезков [xk; xk+1]; a=x0<x1<…<xn=b.

Эти точки xk – разбиение [a;b].

Внутри кажд. частичного отрезка выберем точку  Ck принадлеж. [xk; xk+1] и найдем знач. ф-ии в Ck

f(ck),k=0,…n-1

Sn – площаль всех прямоуг-ов: Sn=(x1-x0)f(c1)+(x2-x1)f(c2)+..+f(xn-xn-1)f(Ck)

xk-xk-1=∆xk

(1)

Пусть S – площадь криволин. трапеции, тогда при больших n имеет место приближ рав-во S≈Sn, причем, чем больше отрезков берем, тем точнее рав-во.

Пусть λ=max∆Xk – наиб. из длин частичных отрезков – диаметр разбиения.

Если в (1) перейти  к пределу так, чтобы кол-во част. отрез-ов неогран. возрасло и при этом λ->0, то мы получим знач S криволин. трап:

 

  11. Определенный интеграл.

Определённым  интегралом функции  f(х)  непрерывной на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка  [а, b]  на частичные и выбора точек a_i  когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю. 

12. Свойства определенного  интеграла.

Значение о.и. не зависит от выбора переменной интегрирования:

1.

2.

3. С=const

4. для любых a, b, c 

5. Если f’(x)>=0, на [a; b] и интегрируема на [a; b ] =>

6.f(x)>=g(x), x принадлеж. [a; b], то

7. пусть f(x) – непрерывна на [a; b ] и m=min f(x), M=max f(x), тогда имеют место неравенства:

8. Т. О среднем значении если f(x)непрерывна на отрезке [a,b] то сущ.на этом отрезке такая т-ка что ∫_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).

13. Интеграл с переменным  верхним пределом  и его свойства.