Шпаргалка по математике

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] тогда она интегрируема на этом отрезке и зн.интегрируема на любом отрезке [a,х] содержащимся в [a,b].

Рассм.ф-цию Ф(х)=∫_а^х f(x)dx- её наз.интегралом с переменным верхним пределом.

Св-ва:

1. Ф(х) непрерывна  на [a; b]

2. Если f(x) – непрер. на [a; b], то Ф(х) – дифф-ма на [a; b] и Ф’(x)=f(x). 

14. Формула Ньютона-Лейбница.

Если ф-ция  f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула

.

Док-во:

пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:

Ф(а)-F(a)=C   Ф(b)-F(b)=C  Ф(а)=∫_a^a f(x)dx=0 Ф(b)=∫_a^b f(x)dx

Имеем C=-F(a)  ∫_a^b f(x)dx+F(a)=F(b)    ∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

15. Длина дуги плоской  кривой.

Пусть некот. линия y=f(x), где f(x) – дифф. на отрезке [a; b]

                                                

y(k-1)                   M(k-1)

         M1

yk   A                            Mk

           M(n-1) B

a=x0 x1  x2                  xk  x(n-1) b=xn

- длина дуги АВ

16. Несобственный интеграл 1-го  и 2-го рода.

Несобственный интеграл 1-го рода назыв. : (1)

Если пердел в (1) сущ-ет. и конечен, то интеграл от [а; + ) f(x)dx назыв. сходящимся в противном случае – расход.

Несобственный интеграл 2-го рода: Пусть f(x) – непр на [a; b] и , то несобств. интеграл 2-го рода. назыв.: (2)

Если пердел в (2) сущ-ет. и конечен, то интеграл от он сходящийся в противном случае – расход.  

17. Понятие функции  нескольких переменных.

Пусть имеется 2 непустых множества: DÌR(в квадрате),UÎR. Если каждой паре чисел "(x,y)ÎDy; по некоторому правилу поставлен в соответствии 1 единственный элемент из множества U, то говорят, что на множестве D задана функция со значениями во множестве U, при этом пишут, что f: D®U. Множество D называется областью определения функции, множество U, состоящее из чисел f(x,y), где пара (x,y)ÎD ,называется областью значений функции. Функциональная зависимость: U=f(x,y). Аналогично определяется функция нескольких переменных. Областью определения 2-х переменных может быть плоскость, часть плоскости, ограниченная некоторой замкнутой прямой, либо совокупность нескольких частей плоскости.

18. Предел функции  нескольких переменных в точке и его свойства.

Число А называется пределом функции f(x,y), при x®xo, y®yo, если для любой последовательности точек "(xn,yn), сходящейся к точке (xо,yо), но не равной (xо,yо), соответствующая последовательность значений функции f(xn,yn) сходится к числу А. f(xn,yn)®A

Св-ва:

1. арифметические операции

2. Если ф-я  f имеет предел в т. Ро, то она ограничена в некот. Ебселент-окрестности т. Ро

3. Если  , то сущ. такая Ебселент-окрестность т.Ро, к кот. f(P)>0 (<0).

19. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.

Функция f(Pn) называется непрерывной в точке Po, если .  Непрерывна  на мн-ве D , еслиона непрерывна в каждой т., этого мн-ва.

Св-ва:

1. сумма  произведения и частное (если делитель ≠0) есть непрер. функции

2. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве принимает на этом мн-ве своё наим. и наиб. знач-е

3. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве и принимает на этом мн-ве любое знач-е, заключ. м/д m и M.

20. Дифференцируемость  функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.

Пусть ф-ия z=f(x,y) определена на некот. δ-окрест. т. Mo(x0,y0) и пусть M(x,y) принадлежат этой окр.

Пусть ∆x=x-x0, ∆y=y-y0, тогда:

Ф-ия z=f(x,y) назыв. дифференц. в точке Mo(x0,y0), если сущ-ют два числа А и В, таких, что: ∆z=A∆x+B∆y+α(∆x, ∆y), где α(∆x, ∆y) –ε(∆x, ∆y)ρ, ρ≠0.

Необходимое условие дифф-ти, если fz=f(x,y) дифф-мы в т. Po(x0,y0), то в этой т. сущ-ют частные производные ф-ции, прчием f’x(Po)=A, f’y(Po)=B, где А и В – числа из

21. Полный дифференциал  функции нескольких  переменных. Применение  дифференциала к  приближенным вычислениям.

Полным  приращением функции в точке Мо(xо,yо) называется разность f(хо+Dх,yo+Dy) - f(xо,yо) = Df. Если функция f(x,y) определена в окрестности точки Мо и имеет непрерывные частные производные, то полное приращение функции можно выразить формулой: Df=f ‘x*Dх+ f ‘y* Dy +a(Dх)*Dх+ b(Dy)*Dy. a(Dх) и b(Dх) – бесконечно малые числа и ®0. Линейная часть приращения функции относительного приращения аргумента Dх и Dy называют полным дифференциалом. f(x,y)«dZ или df, df=f ‘x*Dх+ f ‘y*Dy. Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине Dх и Dy, приращение функции Df»df.

Df= f ‘x*Dх+ f ‘y*Dy+ a(Dх)*Dх+ b(Dy)*Dy.

f(хо+Dх,yo+Dy) - f(xо,yо)= f ‘x(xo,yo)Dx+ f ‘y(xo,yo)Dy.

f(хо+Dх,yo+Dy)» f(xо,yо)+ f ‘x(xo,yo)Dx+ f ‘y(xo,yo)Dy.

22. Локальный экстремум  функции нескольких  переменных. Необходимое  и достаточное  условие экстремума.

Точка Ро назыв. точкой локального max. и min., если сущ. такая Ебс-окр. это точки, что для всех точек Р из этой окр. отсеченных от самой Ро выполняется неравенство: f(Po)>f(P) или f(Po)<f(P). Точки max. и min. назыв. экстремумы, а значение в этих точках – экстрем. функции.

Необходимость существования экстремума: Если f(x,y) в точке Po(xо,yо) имеет экстремум и в этой точке существуют конечные частные производные, то они равны 0. ∂f / ∆x(x₀,y₀)=0

∂f /∆y=(x₀,y₀)=0 (система). Экстремумы функции f(x,y)  надо искать в точках, координаты которые удовлетворяют системе уравнений. Из этой системы ищем критические точки. Достаточные условия существования эксремума функции 2-х переменных: Пусть точка Pо(xo,yo) – критическая точка функции f(x,y). Введем следующие обозначения: A«f”_x(xo,yo), B«f”_xy(xo,yo), C«f”_y(xo,yo), D«AC-B².Тогда, если: 1. D>0 и при этом А>0 (C>0), то в точке Pо – минимум, если D>0 и при этом А<0 (C<0), то в точке Pо – максимум. 2. Если D<0,  то в точке Pо экстремума нет. 3. Если D=0, то требуется дополнительные исследования для увеличения и установки экстремума. 

23. Условный экстремум  функции нескольких  переменных.

Ф-ия имеет условный максимум (мин.) в т. если сущ. такая окрестность. т. для всех точек кот-й, удовлетв.х ур-ям связи выполн. неравенство .

Исслед. ф-ции на усл экстремум сводят к исслед. на обычный экстремум ф-ции Лагранжа

Константы назыв множит Лагранжа.

24. Глобальный экстремум  функции нескольких  переменных.

Пусть z=f(x,y) – диф.-ема на огран. замкнутом мн-ве D, по т. Вейерштрасса, на этом мн-ве, f принимает свои наиб. и наим. знач.-я, кот. назыв. глоб экстремумом f. 

25. Метод наименьших  квадратов (для  случая f(x)=ax+b).

Зависим. некот. величины у от пермен. х часто  выраж в виде табл. данные ко-й получ. эксперемент.: (1)

Для обраб. инфы удобно иметь в виде формулы y=f(x), где f(x) – некот. ф-ия, кот. нам пока не известа, Вид этой f(x) можно орпед-ть, исходя из граф. соображ.

f(x) будит лишь приближ. опред. зависим. м-ду у и х. Степень отклон. можно оценить след. способами:

1.

2.

3.

Наиболее точн. критерием для оценивания явл. 3-й  способ, т.е. max точноть будит достигнута в том случае, если –>min – метод наим. квадратов:

Пусть f(x) имеет вид ax+b (2), тогда рассмотрим z(a,b)= . Найти наим. знач ф-ции.

(3)

(4)

(3) и (4) система.  Эта система имеет одно реш. (a0,b0), кот. явл. min знач. ф-ции (2) z(a,b) 

26. Задачи, приводящие  к дифференциальным  уравнениям. 

27. Дифференциальные  уравнения 1-го  порядка. Общий  интеграл, общее и  частное решение,  задача Коши

F(x,y,y’)=0 – дифф. ур-е 1-го порядка

y’=f(x,y)  (2)– дифф. ур-е 1-го порядка, разрешенным относ. производной

Общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения – это соотношение

содержащее и  существенных произвольных постоянных C₁,..., C_n, следствием которого является данное дифференциальное уравнение:

F (x, у, у',..., y ⁽ⁿ⁾) =0

F(х, у, C₁,..., C_n) =0,

Семейство решений  ур-я (2) вида y=φ(x,c), зависящее от производной постоянной С назыв. общим. решением. Если придать С числ. значение, то поулчим частное решение.

Графические задача Коши означ., что из мн-ва всех интегральных кривых требуется найти ту, кот. проходит через точку (x0,y0)

28. Линейные дифференциальные  уравнения 1-го  порядка.

y’+p(x)=q(x) (1)

y=uv, u=u(x), v=v(x) – некот. ф-ции, зав. от х подставив получим

u’v+uv’+p(x)uv=q(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)

v’+p(x)v=0  (2)

u’v=q(x) (3)

2 и 3 идут как система

v=v(x)

u’=q(x)/v(x)

u=Sq(x)/v(x)dx 

29. Комплексные числа  и действия над  ними.

Комплексными  числами назыв. z=a+bi(1), где a и b принадлеж. R, i – мнимая ед-ца.

b принадлеж. R i=-1 (1) – алгебраич. форма записи комплекс. числа. a=R принадлеж. z, назыв. действ. частью клмплекс. числа. ,

Действия над  числам:

z1=a1+b1i                                z2=a2+b2i

1. z1+z2=(a1+a2)+(b1i+b2i)

2. z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)=a1a2+b1b2i*i+a1b2i+b1a2i=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i

3. z1/z2=(a1+b1i)/a2+b2i=(a1+b1i)(a2-b2i)/(a2+b2i)(a2-b2i)=(a1+b1i)(a2-b2i)/(a2*a2+b2*b2) 

30. Линейные однородные  дифференциальные  уравнения 2-го  порядка с постоянными  коэффициентами.

y’’+py’+qy=0 (1)

(2)

p,q принадлеж R

1. D>0

1≠ 2

2. D=0

1= 2

3. D<0

31. Метод вариации произвольной постоянной.

y’’+py’+qy=f(x) (1) с пост. коэффициентом. Общее решение ур-я 1 можно записать в виде , где yo – общее решение соответств. однородного ур-я y’’+py’+qy=0, а y*- частное решение ур-я 1. Одним из способов найти частное реш-е ур-я 1 является метод вариации произвольной постоянной Лагранжа: