Приближенные методы вычисления определенных интегралов

 Аксиоматический метод  Гильберта вошел почти во все  разделы математики 20 в. Однако  вскоре стало ясно, что этому  методу присущи определенные  ограничения. В 1880-х Кантор  попытался систематически классифицировать  бесконечные множества (например, множество всех рациональных  чисел, множество действительных  чисел и т.д.) путем их сравнительной  количественной оценки, приписывая  им т.н. трансфинитные числа.  При этом он обнаружил в  теории множеств противоречия. Таким  образом, к началу 20 в. математикам  пришлось иметь дело с проблемой  их разрешения, а также с другими  проблемами оснований их науки,  такими, как неявное использование  т.н. аксиомы выбора. И все же  ничто не могло сравниться  с разрушительным воздействием  теоремы неполноты К.Гёделя (1906–1978). Эта теорема утверждает, что любая  непротиворечивая формальная система,  достаточно богатая, чтобы содержать  теорию чисел, обязательно содержит  неразрешимое предложение, т.е.  утверждение, которое невозможно  ни доказать, ни опровергнуть  в ее рамках. Теперь общепризнано, что абсолютного доказательства  в математике не существует. Относительно  того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство  математиков склонно полагать, что  проблемы оснований математики  являются философскими. И действительно,  ни одна теорема не изменилась  вследствие вновь найденных логически  строгих структур; это показывает, что в основе математики лежит  не логика, а здравая интуиция.

 

 

 

 

Математика и  строительство

Как уже было сказано выше область применения математики огромна, но, безусловно, имеет свои границы. Например, она никогда не сможет ответить на на основные вопросы бытия, определить, что такое искусство, красота и – многое другое. Тем не менее она играет огромную роль в познании окружающего нас мира.

Строительство тоже можно  назвать способом познать мир. Люди строили, строят и будут строить. Кроме того со строительством связаны  практически все отрасли общественного  производства, оно играет огромную роль в решении социальных проблем. 
Математика очень эффективно решает любые строительные задачи, связанные с разметкой и обмером. В общем, не зря все-таки говорят, что математика - это царица наук. Без использования математики, необходимых математических расчетов невозможно построить ни одно современное здание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Роль математики в строительстве на примере известных  инженерных сооружений

Ещё в древности, людям, во время строительства часто приходилось  прибегать к помощи математики.

Древний Египет

Первыми, размечать прямые углы научились  в древнем Египте. Первоначально  для разметки использовались прямая линия, два колышка и два одинаковых куска веревки. Но затем египетские математики подметили, что можно взять длинную веревку, и разделить ее на 12 равных частей. А потом просто выкладывать на земле треугольник со сторонами в 3, 4 и 5 частей веревки. Один из углов этого треугольника – прямой. Геометрия у египтян сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надо сказать, что математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной.

Вавилония

В Вавилонии многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. В геометрии вавилоняне знали о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников. Им была известна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность – прямой. Они располагали также правилами вычисления площадей простых плоских фигур, в том числе правильных многоугольников, и объемов простых тел. Число вавилоняне считали равным 3.

Азия

В Азии были знакомы с основными математическими законами, открытыми к тому времени в Китае, и умели применять их на практике. Были известны Циркуль и угломер, используемые в строительстве и землемерном деле, и китайские способы построения с их помощью окружности и квадрата, вычисления длины гипотенузы прямоугольного треугольника. В математическом каноне о чжоу-би, т. е. «О шесте солнечных часов» дается приблизительное значение числа пи. Все эти познания применялись в измерении площадей, сыпучих тел и жидкостей, времени, а главное — в строительстве. Изучение погребальных камер в курганах, остатков храмов и пагод обнаруживает несомненное умение когурёсцев вычислять площадь и объем сооружения, пользоваться простейшими измерительными инструментами. Основной линейной мерой являлся ханьский фут (чи), а при закладке фундаментов широко применялось соотношение 3:4:5, основанное на знании теоремы Пифагора. Применение этого китайского правила можно было наблюдать еще на памятниках Лолана. Ряд сохранившихся у Пхеньяна фундаментов дворцов и павильонов имеют восьмиугольную форму и сложены, как и потолки в погребальных камерах колодезного типа, по способу двух наложенных друг на друга квадратов.

Обмеры развалин дворцов  и храмов Пэкче показывают, что в строительстве широко применялся принцип масштабности, пропорциональности. Так, при обмере строений горной крепости в Оксо ширина нижней части квадрата платформы составила 40 футов, а верхней квадратной платформы — 36 футов, таким образом, деревянная надстройка занимает 3/5 нижней платформы, т. е. 24 фута. Расстояние между столбами тоже составляет 8 футов. Верхняя часть платформы как бы делится на 20 частей. При постройке этой платформы в основу была положена ее нижняя часть, и в дальнейшем строители руководствовались простой пропорциональностью. Излюбленной формой при постройке платформ был квадрат или прямоугольник, одна из сторон которого была вдвое больше другой. Этот строительный прием уходит корнями в ханьскую архитектуру. Для выполнения ответственных строительных работ был создан при дворе инженерный отдел, в который входили мастера по возведению храмов, каменотесы-гранильщики, мастера по изготовлению черепицы, декораторы. Строители Пэкче славились своим мастерством, они помогали Силла возводить 9-этажную пагоду монастыря Хванёнса, в 577, 588 гг. они ездили в Японию с аналогичной целью. У себя в стране они воздвигали сложные дворцовые ансамбли.

Древний Рим

В Древнем Риме при строительстве  тоже широко использовалась математика. Например при строительстве Пантеона(125 г.н.э.)- выдающегося сооружения, имеющего центричный круглый план- самого прекрасного и лучше всего сохранившегося памятника античного Рима.

Пространство Пантеона перекрыто куполом смелой конструкции диаметром 43 м, который оставался непревзойденным до 2-й половины XIX в. и послужил образцом купольной постройки для всех последующих веков.

Его конструкция свидетельствует о расцвете архитектурной мысли в Древнем Риме. Красота его в гармоничном сочетании четких объемов: цилиндра ротонды, полусферы купола и параллелепипеда портика.

Стены ротонды покоятся на бетонном фундаменте глубиной 4,5 м и  толщиной 7,3 м. Толщина стен — 6,3 м. Стена  ротонды состоит из восьми опор —  пилонов, соединенных арками. Портик с двумя рядами колонн по восемь выглядит как преддверие храма - пронаос. Внушительные монолитные колонны без каннелюр высечены из красного египетского гранита, а их капители и базы - из греческого мрамора. Своим великолепием портик маскирует тяжелый цилиндр храма. Сильно выступая на маленькую площадь перед Пантеоном, он кажется особенно большим и скрывает за собой колоссальную массивную ротонду храма.

В основу художественного  образа Пантеона положен строгий  расчет. Диаметр ротонды равен  общей высоте внутреннего пространства храма (43 м) так что, если в его  пространство вписать шар, половину его образует купол. Даже при современных машинах строительство такого купола невозможно без сложных расчетов при помощи компъютерной программы.Купол Пантеона — подлинное чудо инженерного искусства. Купол Пантеона достигает в диаметре 43 м, а толщина его около 1 м, его не превзошли купола храмов Средневековья, Возрождения, Нового времени, вплоть до конца XIX века. Верхняя зона купола создана из пемзобетона, чтобы уменьшить вес купола. Для освещения в центре купола оставлено круглое отверстие диаметром 9 м.

Англия

Одна из главных достопримечательностей Лондона-Биг Бен

Биг Бен - это башня в неоготическом стиле. Первый камень в основание башни был заложен 28 сентября 1843 года. Ее строительство завершилось 10 апреля 1858 года. Ее высота со шпилем составляет 96,3 метра, без шпиля - 61 метр, а площадь равна 12 квадратным метрам. Башня стоит на 15-метровом квадратном основании, сделанном из бетона трехметровой толщины и залегающем в земле на глубине 4 метра. Строительство такого высокого сооружения потребовало точных расчетов, но, несмотря на это, при строительстве лондонского метро подвижки грунта вызвали отклонение часовой башни на северо-запад примерно на 220 миллиметров. Это роднит Биг Бен со знаменитой Пизанской башней.

Америка

Рассмотрим один из высочайших небоскребов современности- Эмпайр Стейт Билдинг. Вместе со шпилем  и антеннами, высота здания составляет 448,7м.

Эмпайр Стейт Билдинг является довольно тяжелой конструкцией, ведь основная часть здания выполнена из стали и камня. Вес небоскреба составляет 331 тысячу тонн. Чтобы выдержать такую махину, строителям пришлось сформировать 2-уровневый фундамент площадью в 8000 м. кв.  и использовать для его поддержки стальные конструкции весом более 54 тысяч тонн. Благодаря особому устройству металлических опор вес сооружения распределен равномерно, металл поддерживает камень и передает нагрузку на прочный фундамент. Все это потребовало сложнейших математических расчетов. Таким образом, основная роль в устойчивости здания отведена именно стальным балкам, колоннам и сваям. При строительстве Эмпайр Стейт Билдинг внешние леса не использовались, что очень удешевило и ускорило  возведение здания,которое содержит более 100 этажей.

Объединенные  Арабские Эмираты

Бурдж Халифа- высочайшее на данный момент здание в мире. Его высота составляет 828 метров, а количество этажей равно 162. Проект строительства небоскреба предусматривал возведения так называемого "города в городе" — на его территории были предусмотрены собственные парки, бульвары, газоны. Итоговая стоимость проекта строительства башни составила порядка полутора миллиардов долларов.

Глубина котлована, вырытого под фундамент башни составляет 50 метров. Для  строительства этого  сооружения использовался особый бетон, способный вынести температуру  в 50 градусов Цельсия. Из-за сильных  ветров и высоты здания потребовались  рассчитать условия при которых  влияние ветра на башню будет  минимальным и в соответствии с этими условиями спроектировать  ее. В результате башня имеет "сегментарное" строение. В целом, на строительство потребовалось порядка 320 тысячи квадратных метров железобетона, а также более 60 тысяч тонн стальной арматуры.

 

В итоге можно сказать, что математические расчеты всегда сопутствовали строительству различных сооружений. Даже для постройки самого обычного дома необходимо рассчитать расход материалов для постройки фундамента, количество материалов для возведения стен дома строительства лестницы, крыши, стройматериалов кровли. Кроме расчета количества материалов, необходимых для строительства, необходимо провести расчет их стоимости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В итоге можно сказать, что не зря математику называют царицей  наук. Она решает практически любые  поставленные  пред ней задачи, при  грамотной формулировке последних  и достаточности данных. Математику используют почти все науки :физика, химия, информатика, история, география  и т.д.Она играет огромную роль в  познании окружающего мира и в развитии  человечества в целом. Без нее не обходится и такая важная сфера деятельности человека как строительство. Все сказанное убеждает нас в том, что строительство и математика, являясь соответствующими проявлениями человеческой культуры, на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи. Ни одно сооружение не обходится без предварительных математических расчетов, которые зависят от сложности будущего здания. Математика очень эффективно решает любые задачи связанные с расчетом площадей, объемов и размеров здания а также задачи связанные с расчетом затрат на материал и постройку.

И. Кант когда-то сказал: "Математика - наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах".                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Писаревский Б. М., Харин  В.Т. Беседы о математике и математиках.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.-208 с.

2. Мигдал А.Б. Физика и философия// Вопросы философии -1990-№1 - с.5-32.

3. . Целищев.В. Все есть число?//Вокруг Света-2008-№9 [Электронный ресурс].URL: http://www.vokrugsveta.ru/vs/article/6304/ 4

4. Дубайское столпотворение [Электронный ресурс].URL: http://www.vokrugsveta.ru/kartinki/4/

5. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Физматгиз, 1961. - 448 с.

6. Б.Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.- М.: ГИФМЛ, 1959.-460с.

7.Ф.Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии.- М.: ГОНТИ, 1937 — 432 с.

8. Эмпайр Стейт Билдинг – почтенный великан.// Интернет журнал Construction Today. [Электронный ресурс].URL:http://ctoday.ru/article/modern_architecture/44/

9. Биг Бен - архитектурный символ Лондона [Электронный ресурс].URL: http://www.luxurynet.ru/architecture/9192.html

10. Расцвет римского храмового искусства. Пантеон [Электронный ресурс].URL: http://www.arhitekto.ru/txt/2razv36.shtml