Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Первым заслуживающим  упоминания европейским математиком  стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В  своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.

Возрождение. Среди лучших геометров эпохи Возрождения  были художники, развившие идею перспективы, которая требовала геометрии  со сходящимися параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404–1472) ввел понятия проекции и сечения. Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателя к различным точкам изображаемой сцены образуют проекцию; сечение получается при прохождении плоскости через проекцию. Чтобы нарисованная картина выглядела реалистической, она должна была быть таким сечением. Понятия проекции и сечения порождали чисто математические вопросы. Например, какими общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы свойства двух различных сечений одной и той же проекции, образованных двумя различными плоскостями, пересекающими проекцию под различными углами? Из таких вопросов и возникла проективная геометрия. Ее основатель – Ж.Дезарг (1593–1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Начало современной  математики

Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены  в обращение десятичные дроби  и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало  изобретение в 1614 логарифмов Дж.Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось  понимание логарифмов как показателей  степени с любым положительным  числом, отличным от единицы, в качестве основания. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б.Паскаль (1623–1662) и И.Барроу (1630–1677), учитель И.Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как , можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р.Декарт (1596–1650) и Дж.Валлис (1616–1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707–1783) с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.

Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские математики Н.Тарталья (1499–1577), С.Даль Ферро (1465–1526), Л.Феррари (1522–1565) и Д.Кардано (1501–1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, –, , =,  и . Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф.Виетом (1540–1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Кардано, Декарт и И.Ньютон (1643–1727) опубликовали (без доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [ – 4] квадратного уравнения, а именно, что уравнение имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант – 4 равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 К.Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал т.н. основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней.

Основная задача алгебры  – поиск общего решения алгебраических уравнений – продолжала занимать математиков и в начале 19 в. Когда  говорят об общем решении уравнения  второй степени, имеют в виду, что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней, производимых над коэффициентами и . Молодой норвежский математик Н.Абель (1802–1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций. Однако существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение. Накануне своей гибели на дуэли юный французский математик Э.Галуа (1811–1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах, т.е. корни каких уравнений можно выразить через их коэффициенты в помощью конечного числа алгебраических операций. В теории Галуа использовались подстановки или перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики.

Аналитическая геометрия

Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо П.Ферма (1601–1665) и Р.Декартом для  того, чтобы расширить возможности  евклидовой геометрии в задачах  на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие – осознание всей мощи алгебраических методов – принадлежит Декарту. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение – отрезок, имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин.

Аналитическая геометрия  использует алгебраические уравнения  для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно  записать с помощью единственного  алгебраического уравнения относительно х и у. Такой подход был важным шагом вперед, ибо он не только включил в число допустимых такие кривые, как конхоида и циссоида, но также существенно расширил область кривых. В результате в 17–18 вв. множество новых важных кривых, таких как циклоида и цепная линия, вошли в научный обиход.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Современная математика

Создание дифференциального  и интегрального исчислений ознаменовало начало «высшей математики». Методы математического анализа, в отличие  от понятия предела, лежащего в его  основе, выглядели ясными и понятными. Многие годы математики, в том числе  Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное определение понятию предела. И все же, несмотря на многочисленные сомнения в обоснованности математического  анализа, он находил все более  широкое применение. Дифференциальное и интегральное исчисления стали  краеугольными камнями математического  анализа, который со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в.

Неевклидова геометрия. К 1800 математика покоилась на двух «китах»  – на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики. Тем  не менее аксиома о параллельных содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое  не могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая  самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся  в некоторой конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме  о параллельных соответствующую  подходящую замену. Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии  выпала Н.И.Лобачевскому (1792–1856) и Я.Бойяи (1802–1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б.Римана (1826–1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.

О физических приложениях  неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял. Создание А.Эйнштейном (1879–1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к  осознанию реальности неевклидовой геометрии.

Неевклидова геометрия стала  наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать  как свод непререкаемых истин. В  лучшем случае математика может гарантировать  достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать  любые идеи, которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик  в отдельности был теперь волен  вводить свои собственные новые  понятия и устанавливать аксиомы  по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века по существу явилось следствием этой новой свободы.

 Математическая строгость.  Примерно до 1870 математики пребывали  в убеждении, что действуют  по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения  к математическим аксиомам, тем  самым обеспечивая своими заключениями  не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова  геометрия и кватернионы (алгебра,  в которой не выполняется свойство  коммутативности) заставили математиков  осознать, что то, что они принимали  за абстрактные и логически  непротиворечивые утверждения, в  действительности зиждется на  эмпирическом и прагматическом  базисе.

Создание неевклидовой геометрии  сопровождалось также осознанием существования  в евклидовой геометрии логических пробелов. Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его  геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме  того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур  не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось  и несколько ошибочных доказательств.

Создание новых алгебр, начавшееся с квартернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т.е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У.Гамильтоном (1805–1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности. Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы. Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации практической пользы введения сомнительных понятий и процедур.

Почти с самого зарождения математического анализа неоднократно предпринимались попытки подвести под него строгие основания. Математический анализ ввел два новых сложных  понятия – производная и определенный интеграл. Над этими понятиями  бились Ньютон и Лейбниц, а также  математики последующих поколений, превратившие дифференциальное и интегральное исчисления в математический анализ. Однако, несмотря на все усилия, в  понятиях предела, непрерывности и  дифференцируемости оставалось много  неясного. Кроме того, выяснилось, что  свойства алгебраических функций нельзя перенести на все другие функции. Почти все математики 18 в. и начала 19 в. предпринимали усилия, чтобы  найти строгую основу для математического  анализа, и все они потерпели  неудачу. Наконец, в 1821, О.Коши (1789–1857), используя понятие числа, подвел строгую базу под весь математический анализ. Однако позднее математики обнаружили у Коши логические пробелы. Желаемая строгость была наконец  достигнута в 1859 К.Вейерштрассом (1815–1897).

Вейерштрасс вначале считал свойства действительных и комплексных  чисел самоочевидными. Позднее он, как и Г.Кантор (1845–1918) и Р.Дедекинд (1831–1916), осознал необходимость построения теории иррациональных чисел. Они дали корректное определение иррациональных чисел и установили их свойства, однако свойства рациональных чисел  по-прежнему считали самоочевидными. Наконец, логическая структура теории действительных и комплексных чисел  приобрела свой законченный вид  в работах Дедекинда и Дж.Пеано (1858–1932). Создание оснований числовой системы позволило также решить проблемы обоснования алгебры.

Задача усиления строгости  формулировок евклидовой геометрии  была сравнительно простой и сводилась  к перечислению определяемых терминов, уточнению определений, введению недостающих  аксиом и восполнению пробелов в  доказательствах. Эту задачу выполнил в 1899 Д.Гильберт (1862–1943). Почти в то же время были заложены и основы других геометрий. Гильберт сформулировал  концепцию формальной аксиоматики. Одна из особенностей предложенного  им подхода – трактовка неопределяемых терминов: под ними можно подразумевать  любые объекты, удовлетворяющие  аксиомам. Следствием этой особенности  явилась возрастающая абстрактность  современной математики. Евклидова  и неевклидова геометрии описывают  физическое пространство. Но в топологии, являющейся обобщением геометрии, неопределяемый термин «точка» может быть свободен от геометрических ассоциаций. Для  тополога точкой может быть функция  или последовательность чисел, равно  как и что-нибудь другое. Абстрактное пространство представляет собой множество таких «точек»