Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Выше мы рассуждали о математическом методе, опираясь на единственный пример его использования – евклидову геометрию. Рассмотрим еще одну математическую модель-арифметику.

Арифметика- это наука, придающая строгий математический смысл простейшему понятию о количестве – ответу на вопрос “сколько”, т. е. натуральному числу. При этом число выступает как то общее, что имеется у двух множеств, между элементами которых можно установить взаимно-однозначное соответствие. Выгода, получаемая в результате развития арифметики, колоссальна. Если говорить ученым языком, ее можно описать так: при сравнении количества элементов в множествах, при определении количества элементов в множествах, получаемых из других множеств их объединением или делением на части, становится возможным манипулировать не с самими множествами, а с представляющими их числами – считать и вычислять.

Однако как математическая модель арифметика оформилась довольно поздно-в конце прошлого века. В это время выяснилась необходимость аксиоматизации всех наук, развивающихся на логической базе. До аксиоматизации арифметика излагалась, в значительной мере, на интуитивном уровне строгости. Ее основные принципы пояснялись предметно, на палочках и картинках – примерно так, как это делается и поныне в детских садах и начальных классах школ. Это было естественно и всем понятно. Применение понятий “число”, “больше”, “сложить”, “считать” не вызывало сложностей, ибо ассоциировалось с постоянно употребляемыми в жизни процессами и вещами. Трудности появились позже, когда начали считать и сравнивать количество элементов в “очень больших”, бесконечных, как мы теперь скажем, множествах (прямая, плоскость, их части).

Долгое время математика отождествлялась не с методом, а  с двумя первыми победами этого  метода – геометрией и арифметикой. Причем, даже больше с геометрией, в  которой сущность математики была,выражена полнее; не зря математиков примерно до XVII века так и назвали геометрами, даже если они занимались не геометрией.

Но уже в середине прошлого века начали возникать математические теории алгебраического направления. Их источник – изучение операций над все более абстрактными числами, появившимися в математике. После натуральных ( т. е. по-русски, естественных) чисел были изобретены дроби или рациональные (от латинского rationalis – принадлежащий рассудку, а не природе) числа, затем иррациональные (непостижимые рассудком) и, наконец, мнимые и комплексные числа. Как выразился известный немецкий математик Л. Кронекер: “Целые числа сотворил Господь, всё остальное - дело людских рук”. Сами названия этих чисел говорят о том, что их природа, их отношение к реальности было поначалу не очень ясно самим изобретателям. Вводились новые числа из довольно абстрактных соображений. Например, целью введения иррациональных чисел было желание извлечь корень из любого положительного числа. Зачем? Да затем, что геометрам очень удобно характеризовать размер каждого отрезка числом – его длиной. И когда обнаружились отрезки, несоизмеримые с единицей длины, это удобство исчезло.

Комплексные числа были введены, например, для того, чтобы каждое квадратное уравнение, даже такое как + 1 = 0, имело решение. Зачем? Почему? А просто так, потому что это красиво: каждое уравнение второй степени имеет два решения, уравнение n-ой степени – n решений. Других, более практических резонов не было. Для реализации своей идеи математики, похоже, рассуждали так: нужно, чтобы существовало “нечто”, назовем его, такое, что = - 1. Среди действительных чисел такого чуда нет. Что же это? Давайте не думать о том, что это, а просто добавим этот символ к множеству действительных чисел.(этот принцип - голова боится, а руки делают - весьма распространён среди первооткрывателей, выше уже были тому примеры). Посмотрим, что получится, если допустить, что может участвовать в арифметических операциях наравне с действительными числами по принятым для них правилам. Тогда должны существовать и “мнимые” числа вида ( действительно), и “комплексные” числа вида (, действительны). Для комплексных чисел была построена теория арифметических операций, приводившая к ряду очень красивых результатов. Но как осмыслить, связать с привычными образами эти числа – долгое время оставалось загадкой. Двести лет (с конца XVI до конца XVIII вв.) ушло на понимание следующего: так же, как действительные числа можно отождествлять с точками числовой оси, комплексные числа можно считать точками плоскости, на которой имеется декартова система координат. При этом координаты точки – это и . Еще сто лет понадобилось для осознания того, что это геометрическое представление полезно, но вовсе не обязательно. Можно рассматривать комплексное число просто как удобное обозначение упорядоченной пары , действительных чисел. Операции над комплексными числами при этом выглядят как некие специальные операции над парами действительных чисел, удовлетворяющие соответствующим аксиомам.

Так, постепенно, математики приобретали опыт построения теорий, в которых основным объектом исследования являются операции, подчиненные определенным законам. Природа элементов, над  которыми производятся операции, и  элементов – результатов операций не имеет значения для такой теории, важны лишь свойства операций. Подобные математические модели называются алгебрами. В наше время существует масса  различных алгебр, приспособленных  к изучению операций над числами, функциями, множествами, векторами, матрицами, геометрическими преобразованиями, высказываниями, цифровыми кодами, позициями шахматных партий и  других игр и т.д.

Некоторое представление  о силе алгебраических методов можно  получить, вспомнив элементарную школьную алгебру, позволяющую так эффективно решать “в общем виде” самые  разнообразные задачи арифметического, геометрического и физического  происхождения при помощи формул сокращенного умножения, решения квадратных и других уравнений, суммирования прогрессий.

2.История математики

 Греческая  математика

Классическая Греция. С  точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки классического  периода (6–4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором  эмпирических заключений. Напротив, в  дедуктивном рассуждении новое  утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность  его неприятия.

Настаивание греков на дедуктивном  доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим  в устройстве греческого общества классического  периода. Математики и философы (нередко  это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая  практическая деятельность рассматривалась  как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения  о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический  аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли  свободнорожденным низших классов  и рабам.

Греческая система счисления  была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней  ионической системе счисления для  обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три  архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед  каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч

Дедуктивный характер греческой  математики полностью сформировался  ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640–546 до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии, хотя это сомнительно.

Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок. 585–500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550–300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д.

Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые  свойства целых чисел. Например, пифагорейцы  обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна  некоторому квадратному числу. Они  открыли, что если (в современных обозначениях) – квадратное число, то. Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным. Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496. Два числа пифагорейцы называли дружественными, если каждое из чисел равно сумме делителей другого; например, 220 и 284 – дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей).

Для пифагорейцев любое число  представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось  с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.

Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Они имеют геометрическую интерпретацию, если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет  равно длине его гипотенузы. Такая  интерпретация, по-видимому, привела  пифагорейцев к осознанию более  общего факта, известного ныне под названием  теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Рассматривая прямоугольный  треугольник с единичными катетами, пифагорейцы обнаружили, что длина  его гипотенузы равна , и это повергло их в смятение, ибо они тщетно пытались представить число в виде отношения двух целых чисел, что было крайне важно для их философии. Величины, непредставимые в виде отношения целых чисел, пифагорейцы назвали несоизмеримыми; современный термин – «иррациональные числа». Около 300 до н.э. Евклид доказал, что число несоизмеримо. Пифагорейцы имели дело с иррациональными числами, представляя все величины геометрическими образами. Если 1 и считать длинами некоторых отрезков, то различие между рациональными и иррациональными числами сглаживается. Произведение чисел и есть площадь прямоугольника со сторонами длиной и .Мы и сегодня иногда говорим о числе 25 как о квадрате 5, а о числе 27 – как о кубе 3.

Древние греки решали уравнения  с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные  построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления  отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков; ныне этот метод называется геометрической алгеброй.

Приведение задач к  геометрическому виду имело ряд  важных последствий. В частности, числа  стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с  несоизмеримыми отношениями можно  было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой  почти всей строгой математики по крайней мере до1600. И даже в 18 в., когда  уже были достаточно развиты алгебра  и математический анализ, строгая  математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно  слову «математик».

Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем была систематизированно изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках.

Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427–347 до н.э.). Платон был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. (Аналитический метод начинается с утверждения, которое требуется доказать, и затем из него последовательно выводятся следствия до тех пор, пока не будет достигнут какой-нибудь известный факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений.

Средние века и  возрождение

Средневековая Европа. Римская  цивилизация не оставила заметного  следа в математике, поскольку  была слишком озабочена решением практических проблем. Цивилизация, сложившаяся  в Европе раннего Средневековья (ок. 400–1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками.

Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой  период освоения сохраненного арабами  и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку  арабы владели почти всеми  трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал  подъему математических исследований. Все великие ученые того времени  признавали, что черпали вдохновение  в трудах греков.