Приближенные методы вычисления определенных интегралов

 

 

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования 

«Брянская государственная  инженерно-технологическая академия»

 

                                             Кафедра "Математики"

                                                   Математика

                                      

                           Расчетно-графическая работа №3   

       Приближенные методы вычисления определенных интегралов

                                                  

 

 

                                                                                                выполнил:

                                                                                                студент 1 курса

                                                                                                СФ группы ПГС-101

                                                                                                Курочкина Екатерина

                                                                                                проверил:

                                                                                                Камозина.О.В

          

 

 

 

 

                                                 Брянск 2013

 

 

Содежание

        Введение......................................................................................................3

1.Роль математики в познании окружающего мира........................................4

• Математика. Определение математики..................................................4
• Математика как метод познания.............................................................6

2.История математики.........................................................................................11

• Греческая математика................................................................................11
• Средние века и возрождение.....................................................................15
• Начало современной математики..............................................................17
• Современная математика............................................................................20

3.Математика и строительство.............................................................................24

• Роль математики в строительстве на примере известных инженерных сооружений..................................................................................................25

Заключение..................................................................................................31

Список литературы........................................................................................32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Мир вокруг нас полон математических объектов — чисел, функций, геометрических фигур. Вся современная цивилизация  есть продукт развития технологий, немыслимых без точных математических расчетов. Но математика не просто помогает совладать с миром. Она проникает в самую суть этого мира. Это удивительное обстоятельство впервые было отмечено Пифагором, одним из наиболее влиятельных мыслителей в истории человечества. Своим девизом «Все есть число» он на тысячи лет предвосхитил как будущую роль математики, так и представления о природе ее объектов. Способом своего существования они кардинально отличаются от предметов, знакомых нам посредством органов чувств. Как многие считают, эта особенность делает математику главным источником веры в существование мира, «населенного» вневременными и сверхчувственными объектами.

Мир математики поражает огромным разнообразием своих объектов и  удивительными связями между  различными областями. Ведь если задуматься, то ни одна наука не обходится без чисел и рассчетов. Несомненно, роль математики в других естественных науках будет возрастать по мере их развития. Кроме того, в будущем в математике возникнут новые структуры, которые откроют новые возможности формализовать не только естественные науки, но в какой-то мере и искусство.

Актуальность выбранной  темы объясняется тем, что роль математики постоянно возрастает по мере того, как наглядность уступает место все большей абстрактности. Например, квантовая механика, лежащая в основе самых значимых современных технологических достижений — атомных реакторов, лазеров и транзисторов, описывает элементарные объекты, скорее как математические абстракции, чем что-то материальное.

Цель выполнения данного реферата - рассмотрение значения математики в познании мира и изучение основных раздело дискретной математики.

 В задачи реферата входит дать короткое и точное определение математике, изучить ее роль в изучении окружающего нас мира и о узнать как она применяется в строительстве.

 

 

1.Роль математики  в познании оружающего мира

    Математика. Определение математики

Итак,что же такое математика? На этот впрос ответить не так просто, как кажется с первого взгляда. Гораздо проще дать определение физике, химии, экономике, истории и другим наукам. Предмет каждой из упомянутых наук можно охарактеризовать в двух словах, не слишком отклоняясь от истины. Физика - общие свойства материи; химия - состав и превращения веществ на молекулярном уровне; экономика - это, как ни крути, способы разбогатеть, желательно законным путём; история - представление историков о том, как люди жили раньше и т.д.

Любая из перечисленных наук смотрит на жизнь природы или  человеческого общества со своей, вполне определённой и понятной, точки зрения, собирает и осмысливает факты, пытается выявить закономерности, имеющиеся  в её области, и даёт рецепты использования  полученных данных в интересах человечества. Во всяком случае, человечеству хочется  думать, что это происходит в его  интересах, хотя время от времени  возникают сомнения.

Какую же область реальности изучает математика? С какой стороны  смотрит на мир она?

Попробуем дать ответы на эти  вопросы.

Встречаются, например, такие варианты определения математики: “математика - наука о числах и фигурах, т.е. о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира” или “математика - совокупность наук, изучающих количество и порядок”. Эти определения, отвечая на один вопрос, ставят кучу новых. В частности, какие именно области знания следует относить к математике? Ведь даже в географии измеряются и сравниваются такие количества как длины рек, высоты гор, скорости ветров и глубины океанов. А уж о пространственных формах и говорить не приходится. Историки постоянно имеют дело и с количеством, и с упорядоченностью событий во времени и пространстве. Однако, никому не приходит в голову относить эти науки к математическим. Можно возразить, что математика имеет дело с количеством и порядком “в чистом виде”, а не применительно к чему-либо. Но тогда как быть, скажем, с теорией вероятностей, которая использует эти понятия лишь применительно к изучению случайных явлений, но, как известно, представляет собой сугубо математическую науку? Наконец, прежде, чем определять математику с помощью понятий “количество” и “порядок”, следовало бы выяснить, что это такое.

Встречаются и другие краткие  определения математики, имеющие  скорее образный, а иногда и шутливый характер, но тем не менее вносящие в портрет математики значительно  более интересные штрихи, чем определения, приведённые выше. Вот например: “математика - это язык науки”, “математика - это то, что написано в книгах по математике”, “математика есть единая симфония бесконечного” (Д. Гильберт), “со времён греков говорить “математика” - значит говорить “доказательство” (Н. Бурбаки).

Обратимся к древности, к  происхождению самого термина “математика”. Если названия других наук, как правило, отражают специфику их предмета (“география”  означает, в переводе с греческого, “описание Земли”, “физика” происходит от слова “природа”, “экономика” - это “управление домом, хозяйством”), то “математика” берёт начало от греческого mathema - познание, наука. Вот так - просто : познание вообще, наука вообще, без указания объекта изучения. Что же имели в виду древние мудрецы, давшие своей науке столь гордое название? Похоже, они полагали, что ей всё равно, что изучать, придавали ей некую универсальную роль в познании различных аспектов реальности. С одной стороны, против такой постановки вопроса трудно возразить по уже упоминавшейся причине - не зря же математику учат все школьники и студенты.

Таким образом,уже в самом происхождении термина "математика" кроется ее огромное значение этой в познании мира и изучении всех остальных наук.

 Однако, хотелось бы понять, в чём именно состоит универсальность математики, и действительно ли математика так уж всемогуща, как полагали греки.

 

 

 

 

 

 

Математика как  метод познания

Математический метод  появился в результате слияния логики и геометрии. Система аксиом геометрии, сформулированная в знаменитых “Началах” Евклида, стала той системой истинных высказываний, исходя из которой стало возможным получать новые истинные высказывания (теоремы), уже чисто логически, без всякой ссылки на опыт и наглядность. Совокупность выведенных из аксиом теорем составила теорию, которая называется евклидовой геометрией и по сей день изучается школьниками всего мира.

Таким образом, евклидова  геометрия явилась исторически  первым и классическим (т. е. образцовым) примером применения математического  метода познания. В наше время, говоря “математика”, мы должны иметь в  виду, прежде всего, эту ее сторону, эту ипостась – ипостась метода. Отталкиваясь от примера евклидовой геометрии, резюмируем сущность метода, в его идеальной форме, так:

1. Строится математическая модель того объекта, круга явлений, который интересует исследователя. Это значит, прежде всего, что даются названия всем исходным понятиям модели. Это значит, далее, что формулируются некоторые высказывания по поводу связей между исходными понятиями, и эти высказывания объявляются истинными. Они называются аксиомами модели.

Для самого метода абсолютно  неважно, какой реальный смысл вкладывается в исходные понятия и аксиомы  математической модели, хотя это, разумеется, имеет первостепенную важность для  исследователя, желающего с помощью  модели исследовать свойства чего-то реального.

2. На базе системы аксиом  строится теория модели. Она представляет  собой цепь теорем, т. е. высказываний, истинность которых выводится  (доказывается) с помощью правил  классической логики из аксиом  или из аксиом и ранее доказанных  теорем. Отметим здесь же, что  некоторые теоремы принято называть  леммами (если они имеют вспомогательное,  техническое значение), следствиями  (если их вывод из некоторой  теоремы очень прост, очевиден). По ходу развития теории встречаются  определения новых терминов и  символов, сокращающих запись рассуждений  и результатов

Понимание математики как  метода позволяет объяснить многие часто отмечаемые ее особенности. Вспомним замечание об универсальности математики в связи с гордым названием, которое  дали ей греки. Да, действительно –  в любой области знаний, где  можно говорить об объективной истине в смысле классической логики, о причинах и следствиях, где исходную информацию можно изложить в виде ряда основных принципов – аксиом, можно применять математический метод и рассчитывать на успех. На этом пути получены колоссальные результаты в самых различных областях естествознания и техники.

Но уникальность математики определяется не только ее трактовкой как метода, который можно применять  к изучению самых различных объектов. Дело еще и в том, что первые применения этого метода относились к изучению моделей тех аспектов бытия, которые принципиально важны  для существования и развития каждого человека и всего рода человеческого. Достаточно сказать, что  все мы живем и действуем в  пространстве и вынуждены знать  основы его устройства, чтобы передвигаться, производить, строить. А эти основы даются математической моделью пространства, т. е. все той же геометрией. Далее, человек не может существовать, не считая, то есть не используя такую математическую модель, как арифметика, изучающую простейшие представления о количестве – натуральные числа. Вот и выходит, что математикой пользуется каждый человек, т. е. она универсальна и в этом смысле – не как метод, а как некоторые его приложения.

Всякая вещь противоречива. Те же особенности математического  метода, которые обусловливают многообразие его применений, обеспечивают и его  ограниченность. Этот метод трудно применить, как уже говорилось, ко многим социальным явлениям, не допускающим  однозначного определения истинности суждений. Сложности возникают и  там, где еще не выработаны главные  понятия, исходные принципы – аксиомы. А ведь жизнь природы и общества очень сложна и многообразна. Человеческому  сознанию не под силу разобраться  в ней до конца и выделить суть всех вещей. Волей-неволей люди вынуждены рассматривать природу и себя как некую систему, программа и цели которой им пока не ясны, но заставляют их жить и развиваться. Чтобы заниматься этим спокойно, не отвлекаясь на тревожные мысли о смысле бытия, они создают себе модели этого смысла, хотя иногда и без достаточных эмпирических оснований. Можно вспомнить отважные попытки некоторых великих людей, например Декарта и Спинозы, применить в такой сфере как философия метод математического моделирования. Насколько Б. Спиноза был привержен математическому методу, следует из его слов: “По единодушному признанию всех, кто в отношении своих знаний хочет стоять выше толпы, математический метод, при помощи которого из определений, постулатов и аксиом выводятся следствия, при исследовании и передаче знаний есть лучший и надежный путь для нахождения и обобщения истины”.

Не только сфера применимости математики объясняется ее трактовкой как метода познания. Пресловутая  строгость и неопровержимость математических выводов – это естественное следствие  строгости логических понятий об истинности и доказательстве. Тем  же фактором обусловлена и возможность  систематического применения глубоко  разработанной символики в записи математических текстов. Без нее  эти тексты были бы плохо обозримы и трудно реализуемы. Чтобы убедиться  в этом, достаточно попробовать выразить обычными словами формулу для  решения квадратного уравнения. Чисто количественный процесс уменьшения объема текстов с помощью математической символики имеет следствием качественное увеличение возможности изложения. Но такой формализованный язык невозможно ввести там, где понятия недостаточно точно определены. Может, теперь фраза  “математика – это язык науки” делается более ясной.