Особые точки и их классификация. Понятие положения равновесия. Бифуркация. Аттрактор. Грубые системы

 
Рисунок 6.

По определению, пространство Cr(M, N) состоит из Cr-гладких векторных полей f: M → N; близость полей f1 и f2 в топологии этого пространства есть равномерная на M близость полей f1 и f2 и всех их производных до порядка r включительно.

Суть введенного А.А. Андроновым и А.С. Понтрягиным понятия грубой системы такова: малое возмущение грубой системы переводит систему в орбитально топологически ей эквивалентную. Точнее, динамическая система x′ = f(x) – (1), отвечающая Cr-гладкому векторному полю f: M → TM, называется грубой (или структурно устойчивой), если: (а) найдется окрестность Vf точки f в пространстве Cr (M, TM) такая, что при всех f1 ∈ Vf уравнение x′ = f1(x) орбитально топологически эквивалентно уравнению (1); (б) гомеоморфизм, осуществляющий эквивалентность, близок к тождественному в топологии пространства C0(M, M).

Говорят также и о грубом векторном поле f. Если в этом определении опустить требование (б), то уравнение (1) называется грубым по Пейксото. До сих пор не известно являются ли понятия грубости по Андронову — Понтрягину и грубости по Пейксото различными понятиями.

Следует подчеркнуть, что структурная устойчивость, вообще говоря, не сохраняется при переходе к орбитально топологически эквивалентной системе (см. задачу О15.15). Поэтому в одном и том же классе орбитальной топологической эквивалентности могут содержаться как грубые, так и негрубые системы. Разумеется, траектории этих систем с топологической точки зрения ведут себя одинаково.

В общем случае исследование дифференциального уравнения на грубость сложно и требует развитой техники. Мы опишем (без доказательств) грубые дифференциальные уравнения (векторные поля) на одномерной и двумерной сферах, а также на двумерном торе.

Стационарная (особая) точка x0 уравнения x′ = f(x) на окружности S1 называется невырожденной, если касательное отображение df(x0) в этой точке отлично от нуля. Легко видеть, что любая невырожденная особая точка изолирована, т. е. в ее окрестности нет других стационарных точек.

Теорема о грубых системах на окружности. Уравнение (1) на S1 является грубым в том и только том случае, если все его стационарные точки невырождены.

С помощью теоремы  Сарда можно доказать, что множество  грубых векторных полей на S1 всюду  плотно в пространстве всех Cr-гладких векторных полей на S1.

Описание множества  всех грубых дифференциальных уравнений  на двумерной сфере S2 сложнее. Стационарная точка x0 дифференциального уравнения (1) на сфере S2 называется невырожденной (или обобщенным седлом ), если касательное отображение df(x0) в этой точке не имеет нулевого собственного значения. Замкнутая траектория (цикл) этого уравнения называется невырожденной, если касательное к отображению последования отображение не имеет единичного собственного значения. Фазовая траектория называется входящей сепаратрисой (обобщенного) седла x0, если она стремится к x0 при t → +∞ и, соответственно, выходящей сепаратрисой седла x0, если она стремится к x0 при t → –∞. Все грубые системы на S2 описывает следующая

Теорема о грубых системах на двумерной сфере. Уравнение (1) на S2 является грубым тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

(а) все стационарные точки невырождены;

(б) все циклы невырождены;

(в) ни одна выходящая сепаратриса седла не является входящей сепаратрисой данного или другого седла.

Доказательства этой и нижеследующей теоремы достаточно громоздки и поэтому опускаются.

Перейдем к уравнениям на торе. Пусть в уравнении (1) f: T2 → TT2 (T2 — двумерный тор) и пусть соответствующее уравнение на плоскости

x′1= f1(x1, x2),   x′2= f2(x1, x2)

таково, что f1(x1, x2) ≠ 0. Числом вращения μ(f) уравнения (1) на торе T2 называется число вращения уравнения

x′1= 1,    x′2= f2(x1, x2)/f1(x1,x2).

Теорема о грубых системах на двумерном торе. Удовлетворяющее  описанному выше условию уравнение (1) на торе является грубым, если и только если μ(f) рационально и все его циклы невырождены.

В случае, когда размерность  многообразия M мала (≤ 2) грубые системы образуют во множестве всех динамических систем на M открытое всюду плотное множество. На многообразиях больших размерностей это не так. Известны негрубые системы, в некоторой окрестности которых нет ни одной грубой системы!

На многообразиях размерности 1 и 2 грубые системы допускают описание в терминах качественного поведения траекторий. Именно, грубыми системами на таких многообразиях являются системы, удовлетворяющие следующим требованиям:

(а) стационарные точки и циклы невырождены;

(б) инвариантные многообразия стационарных точек и циклов (это входящие и выходящие усы обобщенных седел и притягивающие и отталкивающие инвариантные многообразия циклов) пересекаются трансверсально, т. е. под ненулевым углом;

(в) все остальные  траектории при t → +∞ и при t → –∞ стремятся к стационарным точкам или циклам.

Динамические системы, удовлетворяющие требованиям (а) – (в), называются системами Морса — Смейла. На многообразиях бóльших размерностей аналогичное описание грубых систем неизвестно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

2. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 с. (Справочная математическая библиотека.)

3. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука. 1955.

4. Лебедев С.А. Философия науки: Словарь основных терминов. — М.: Академический Проект, 2004. — 320 с. (Серия «Gaudeamus»)

5. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И. "Введение в теорию нелинейных колебаний", М. Физматлит, 1999г.

6.  Киселев О.М. "Введение в теорию нелинейных колебаний", М. Физматлит, 1999г.

7. Чуличков А.И. "Математические модели нелинейной динамики", М. Физматлит, 1999г.

8. Yu.S.Ilyashenko, Global Analysis of the Phase Portrait for the Kuramoto-Sivashinsky Equation, Journal of Dynamics and Differential Equations, Vol. 4, No, 4, 1992

9. Странные аттракторы. Сборник статей. Москва. 1981 Перевод с английского под редакцией Я. Г. СИНАЯ и Л. П. ШИЛЬНИКОВА

10. A. Gorodetski, Yu. Ilyashenko, Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 6, no. 6 (1996), pp. 1177—1183.

11. А.С. Городецкий, Минимальные аттракторы и частично гиперболические множества динамических систем. Дисс. к. ф.-м. н., МГУ, 2001.

12. Электронная библиотека по нелинейной динамике

13. Статья Дж. Милнора «Аттрактор», Scholarpedia.

14. Weisstein, Eric W. Dynamical Systems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

15. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. М.: УРСС, 2006.

16. Многочисленные интернет-сайты.