Особые точки и их классификация. Понятие положения равновесия. Бифуркация. Аттрактор. Грубые системы

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

"Уфимский государственный нефтяной  технический университет"

 

 

 

Кафедра математики

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОКЛАД

по дисциплине  «Общая теория динамических систем»

 

на тему: Особые точки и их классификация. Понятие  положения равновесия. Бифуркация. Аттрактор. Грубые системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Магистрант гр. МГР12-12-01		Насрыева А.М.
Доцент  каф. математики		Р. А. Майский

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уфа - 2012

Содержание.

 

1. Особые точки и их классификация – стр. 3 - 4

1.1. Ряд Лорана – стр. 4 – 5

1.2. Теорема Лорана – стр. 5 - 6

2. Механическое равновесие – стр. 6

2.1. Виды равновесия  – стр.  6 - 7

3. Бифуркация – стр. 7 - 8

3.1. Бифуркация равновесий – стр. 8

3.2. Точка бифуркаций  – стр. 8

3.3. Бифуркация положений равновесия – стр. 9 – 12

4. Аттра́ктор – стр. 12

4.1. Классификация –  стр. 12-13

4.2. Максимальный аттрактор  – стр. 13 – 14

4.3. Аттрактор Минора – стр. 14

4.4. Неблуждающее множество  – стр. 14

4.5. Статистический аттрактор  – стр. 14

4.6. Минимальный аттрактор  – стр. 14

4.7. Странные аттракторы  – стр. 15

4.8. Аттрактор Лоренца  – стр. 15-16

4.9. Соленоид Смейла-Вильямса – стр. 16

4.10. Пример Боуэна, или гетероклинический аттрактор – стр. 16

5. Грубые системы –  стр. 16-19

6. Литература – стр. 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особые точки  и их классификация

 

Особенность (особая точка) голоморфной функции f — точка комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе.

Точка а Сz называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|<r }, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|< } точки z= и функция

имеет в точке x =0 изолированную  особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если

не существует.

Заметим, что типы особых точек z= функции f (z) и x =0 функции j(x) совпадают, ибо

Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число т, т 1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия

f (a)=f¢  (a)=…=f (m-1)(a)=0,

f (m)(a) 0.

При т=1 точка а называется простым  нулем функции f (z), при m>1-кратным.

Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность  нуля в точке а регулярной функции

Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).

Вообще, если

, где P(z) и Q(z) – полиномы, не  имеющие общих корней, то корни  полинома Q(z) (и только они) являются полюсами функции f (z).

Порядок полюса f (z) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q(z).

Точка z= называется нулем кратности m 1 для функции f (z), регулярной в этой точке, если функция

имеет нуль кратности т в точке x =0.

Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f (z), то f (z) регулярна в некотором кольце {z: 0<|z-a|<r} и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,

.

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида

 

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1.  — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и
2.  — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).

При этом ряд Лорана считается  сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и  главная части. Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Свойства:

• если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо

;

• во всех точках своего кольца сходимости ряд Лорана сходится абсолютно;
• как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
• на любом компактном подмножестве ряд сходится равномерно;
• сумма ряда Лорана в есть аналитическая функция ;
• ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в почленно;
• разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в , то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
• коэффициенты ряда Лорана определяются через его сумму формулами

 

где , ,  — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей  теореме Лорана:

любая однозначная аналитическая функция в кольце представима в сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

 

изолированной особой точки однозначная аналитическая функция представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной  частью ряда Лорана в кольце с центром  в этой точке:

1. Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.

Для того чтобы точка  а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.

2. Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.

Для того чтобы точка  а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т³ 1, если главная часть имеет вид

, где ст 0.

 

3. Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Точка а тогда и  только тогда является существенно  особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Разложение функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид

Здесь роль главной части играют члены с положительными степенями z, а члены с отрицательными степенями образуют правильную часть.

 

Механическое равновесие

 

Механи́ческое равнове́сие — состояние механической системы, при котором сумма всех сил, действующих на каждую её частицу, равна нулю и сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно любой произвольно взятой оси вращения, также равна нулю.

В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета либо движется равномерно прямолинейно или вращается без касательного ускорения.

 

Виды равновесия

 

Приведём пример для  системы с одной степенью свободы. В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

- неустойчивое равновесие;

- устойчивое равновесие;

- безразличное равновесие.

Неустойчивое  равновесие

В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная  энергия системы находится в состоянии локального максимума. Это означает, что положение равновесия неустойчиво. Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.

 

Устойчивое равновесие

Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии  локального минимума, положение равновесия устойчиво. Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести  тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.

 

Безразличное равновесие

Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным. Если система будет  смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.

 

Бифуркация

 

Бифуркация — это приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров.

Центральным понятием теории бифуркации является понятие (не)грубой системы. Берётся какая-либо динамическая система и рассматривается такое (много)параметрическое семейство динамических систем, что исходная система получается в качестве частного случая — при каком-либо одном значении параметра (параметров). Если при значении параметров, достаточно близких к данному, сохраняется качественная картина разбиения фазового пространства на траектории, то такая система называется грубой. В противном случае, если такой окрестности не существует, то система называется негрубой.

Таким образом в пространстве параметров возникают области грубых систем, которые разделяются поверхностями, состоящими из негрубых систем. Теория бифуркаций изучает зависимость качественной картины при непрерывном изменении параметра вдоль некоторой кривой. Схема, по которой происходит изменение качественной картины называется бифуркационной диаграммой.

Основные методы теории бифуркаций — это методы теории возмущений. В частности, применяется метод малого параметра (Понтрягина).

 

Бифуркация  равновесий

 

В механических системах, как правило, установившиеся движения (положения равновесия или относительного равновесия) зависят от параметров. Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями. Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями. Прохождение параметра через бифуркационное значение, как правило, сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.

 

Точка бифуркации

 

Точка бифуркации — смена установившегося режима работы системы. Точка бифуркации — критическое состояние системы, при котором система становится неустойчивой относительно флуктуаций и возникает неопределенность: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдет на новый, более дифференцированный и высокий уровень упорядоченности. Термин из теории самоорганизации.

Свойства точки  бифуркации

Непредсказуемость. Обычно точка бифуркации имеет несколько  веточек аттрактора (устойчивых режимов работы), по одному из которых пойдёт система. Однако заранее невозможно предсказать, какой новый аттрактор займёт система.

Точка бифуркации носит  кратковременный характер и разделяет  более длительные устойчивые режимы системы.