Особые точки и их классификация. Понятие положения равновесия. Бифуркация. Аттрактор. Грубые системы

 

 

Бифуркация  положений равновесия

 

К основным бифуркациям  состояний равновесия относят: 
слияние и последующее исчезновение двух состояний равновесия. Примером может служить движение шарика в потенциальной «яме» с «полочкой» (рис. 1). При сглаживании «полочки» BD состояние равновесия «седло» S и центр С2 сливаются и исчезают (рис. 2).

 

 

 

Рисунок 1 — Схема движения шарика в «яме» с «полочкой» (а) и его фазовый портрет (б)  
 

 

 

Рисунок 2 — Схема движения шарика после бифуркации (а) и его фазовый  портрет (б)

 

Рождение предельного цикла из состояния равновесия. Пример такой бифуркации бифуркация Хопфа.

Рассмотрим динамическую систему

(1) 
 
Она является упрощенным выражением сложной динамической системы, описываемой функциями x(t) и y(t), которые выражаются через соответствующие полярные координаты:

 
 
и называется системой Хопфа.

Система (1) зависит от двух параметров, один из которых λ будет для  нас ключевым, а другой с=const.

Решения задачи Коши при некоторых  заданных начальных значения r(t=0)=r0, φ(t=0)=φ0 при λ < 0 дает нам фазовый  портрет и график динамики, изображенные на рис. 3.

 
 

 

Рисунок 3 — График динамики (а) и  фазовый портрет (б)

В данном случае существует единственная особая точка — устойчивый фокус.

Построим теперь график динамики и  фазовый портрет для случая λ > 0 (λ = 4) (см. рис. 4)

 

 
Рисунок 4 — График динамики (а) и фазовый портрет (б) при λ > 0

Разными цветами изображены развязки при различных начальных  условиях. Как видим, после короткого  переходного процесса система входит в колебательный режим, причем амплитуда  и частота колебаний не зависят  от начальных условий (при любых  начальных условиях система придет в одно и то же колебательное состояние).

На фазовом портрете решение  для разных начальных условий  как бы «наматываются» на замкнутую  кривую. Эта кривая, к которой  при t -> ∞ стремятся решения  задачи Коши, является аттрактором и называется предельным циклом.

Колебательный процесс, описывающий  этот предельный цикл, называется автоколебаниями.

Развязки в виде автоколебаний  возможны только в существенно нелинейных динамических системах.

Динамическая система Хопфа  имеет нелинейность в виде куба параметра, причем дополнительная нелинейность накладывается благодаря определению функций x(t) и y(t) как выражений тригонометрических функций.

Можно доказать, что для данной динамической системы амплитуда  колебаний равна  .

Итак, λ = 0 — бифуркационные значения параметра. В этой точке узел теряет устойчивость и вместо него рождается  устойчивый предельный цикл. 
Данная бифуркация рождения предельного цикла из неподвижной точки называется бифуркацией Хопфа, а рождение автоколебаний — мягким (при малых изменениях параметра колебания имеют малую амплитуду, которая увеличивается с его ростом). Жесткое рождения автоколебаний — при малых изменениях параметра происходит «выброс» траектории в область притяжения другого аттрактора.

Рождение из одного равновесного состояния  трех состояний равновесия — спонтанное нарушение симметрии. Например, при  движении шарика в желобе при условии  появления в нем бугорка появляется бифуркация, при которой из вырожденного состояния типа «центр» возникают три состояния равновесия — седло S и центры С1 и С2 (рис. 5)

 
 

 

Рисунок 5 — Рождения из одного состояния равновесия трех при малом изменении параметра (формы желоба): 
а) форма желоба с одним минимумом и соответствующий фазовый портрет с одним состоянием равновесия типа «центр»; 
б) форма желоба с двумя минимумами и соответствующий фазовый портрет с тремя состояниями равновесия: «седло» S и «центры» С1 и С2

 

Аттра́ктор

 

Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую — вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую — в своей малой окрестности), аттрактор Милнора и неблуждающее множество.

Аттракторы классифицируют по:

Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор  Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.

Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные — зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).

Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь  же — термин «минимальный» в значении «неделимый»).

Также, есть известные  «именные» примеры аттракторов: Лоренца, Плыкина, соленоид Смейла-Вильямса, гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).

Свойства и связанные  определения

При всех определениях аттрактор  полагается замкнутым и (полностью) инвариантным множеством.

С понятием аттрактора также  тесно связано понятие меры Синая-Рюэлля-Боуэна: инвариантной меры на нём, к которой стремятся временные средние типичной (в смысле меры Лебега) начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера существует не всегда (что иллюстрирует, в частности, пример Боуэна).

Поскольку всё фазовое  пространство в любом случае сохраняется динамикой, формальное определение аттрактора можно давать, исходя из философии, что «аттрактор это наименьшее множество, к которому всё стремится» — иными словами, выкидывая из фазового пространства всё, что может быть выкинуто.

Максимальный  аттрактор

Пусть для динамической системы задана область  , которая переводится строго внутрь себя динамикой:

 

 

Тогда, максимальным аттрактором  системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов  под действием динамики:

 

 

То же самое определение  можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто  применяется как для характеризации множества как «естественного»  аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также, его применяют в уравнениях с частными производными.

У этого определения  есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно — скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания — то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

Аттрактор Милнора

По определению, аттрактором  Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое  множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами — это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Неблуждающее  множество

Точка x динамической системы  называется блуждающей, если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:

 

 

Иными словами, точка  блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический  аттрактор

Статистический аттрактор  определяется как наименьшее по включению  замкнутое множество , в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности для почти любой (в смысле меры Лебега) точки выполнено

 

 

Минимальный аттрактор

Минимальный аттрактор  определяется как наименьшее по включению  замкнутое множество  , в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности выполнено

 

 

 

 

 

 

 

Странные аттракторы

 

 

Странный аттрактор — это аттрактор, имеющий два существенных отличия от обычного аттрактора: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция.

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической: прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Среди странных аттракторов  встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца.

Аттрактор Лоренца

Система диф. уравнений, создающих аттрактор Лоренца  имеет вид:

при следующих значениях параметров: , , . Аттрактор Лоренца не является классическим, и даже не является странным в смысле Смейла.

Соленоид Смейла-Вильямса

Соленоид Смейла-Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

Пример Боуэна, или гетероклинический аттрактор

 

 

Фазовый портрет примера  Боуэна.

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

 

Грубые системы

Грубые системы — это системы дифференциальных уравнений, у которых топологическое поведение траекторий не меняется при малых возмущениях правой части. Согласно общепринятой точке зрения только грубые системы могут описывать реальные процессы. Нельзя доверять математической модели, резко меняющей свое поведение при малом изменении входящих в нее параметров (которые в реальности никогда не могут определяться точно). В некотором смысле рассматриваемые ниже вопросы являются глобальными аналогами рассматривавшихся в очерке О14 вопросов локальной теории дифференциальных уравнений.

Перейдем к точным определениям. Поскольку традиционно  теория грубых систем излагается для дифференциальных уравнений на многообразиях, мы также следуем этой традиции. Кроме того, все многообразия предполагаются компактными и поэтому не возникает вопросов, связанных с продолжимостью решений. Итак, все рассмотрения ведутся на Cr+1-гладком компактном многообразии M. Начнем с определения понятия эквивалентности на множестве дифференциальных уравнений, которое позволяет разбивать это множество на классы с одинаковым поведением траекторий (ср. с вводной частью очерка О14). Два дифференциальных уравнения (динамических системы) на M (а также определяющие их векторные поля f1, f2: M → TM) называются орбитально топологически эквивалентными, если найдется гомеоморфизм h: M → M, переводящий траектории уравнения x′ = f1(x) в траектории уравнения x′ = f2(x) и сохраняющий направление движения по ним. Последнее, по определению, означает, что (мы обозначаем через gt1и gt2 потоки, т. е. операторы сдвига за время от нуля до t по траекториям соответствующего уравнения) для любых x ∈ M и t > 0 найдется τ > 0 такое, что h[gt1(x)]= gτ2[h(x)] (см. рис. 1). Если τ = t, то уравнения называются топологически эквивалентными. Это понятие есть точный глобальный аналог понятия локальной топологической эквивалентности.