Методы решения

После вычитания  четвертого уравнения системы из первого ее уравнения получаем:

(2a- )+(2b- )+(2c- )=0

 Подставив в это уравнение вместо а и b их найденные значения,   получаем c=. Отсюда:   R² = а² +b²+ c^{2 =} 4+ + = . Тогда искомая площадь S сферы равна: S= 4πR² =

3адач а 2. На продолжении ребра SK за точку К правильной четырехугольной пирамиды SKLMN с вершиной S взята точка А так, что расстояние от точки А до плоскости MNS равно 24. Найдите длину отрезка КА, если SL= 2,

MN= 16.

Решение. 

Пусть  SO—  высота пирамиды (О—

центр   квадрата   MNKL)   (рис. 2).   Тогда   OL =8, SO=

Введем в пространстве декартову прямоугольную систему  координат так, чтобы ее начало совпадало  с центром О квадрата MNKL, оси Ох и Оу были направлены по его средним линиям, ось Oz— по высоте SO данной пирамиды.

Рис. 2

В этой системе  координат вершины пирамиды имеют координаты: K(8; 8; 0), L(-8;8;0), М(-8; -8; 0), N(8; -8; 0), S(0; 0; 6). Пусть точка А имеет координаты:

А (т; п; р).

Для решения задачи достаточно найти координаты точки А. Для этого воспользуемся двумя условиями:

а) расстояние от точки А до плоскости MNS равно 24;

б) точка А  принадлежит прямой SK

Уравнение плоскости  МNS будем искать в виде ах+bу+cz+d=0.

Так как точки  N(8; -8; 0), М(-8;-8;0), S(0; 0; 6) принадлежат этой плоскости, то

 

 

 

откуда a = 0,   b=, c= Тогда при   d= 24 получаем уравнение 3y - 4z+24 = 0 плоскости МNS.

Расстояние от точки А (m; п; р) до плоскости 3y–4z+24=0 равно.

Так как по условию это  расстояние равно  24, • то  получаем  уравнение =24, связывающее координаты n и р точки А.

Начало координат О и точка А лежат в одном полупространстве относительно плоскости MNS, а значение линейного трехчлена в точке О равно 24 > 0, поэтому знак модуля в полученном уравнении можно опустить, т. е. получаем уравнение Зn-4р-96= 0. (1)

Вектор SK (8; 8;-6) является направляющим вектором прямой SK, поэтому параметрические уравнения прямой SK можно записать в виде:

х=8t, y=8t, z=6-6t (2).

Вследствие принадлежности точки А прямой SK, ее координаты удовлетворяют уравнениям (2), поэтому

m=8t, n=8t, p = 6-6t (3)

При каждом значении параметра t получаем определенную точку на прямой SK. Подставляя в (1) вместо n и р их выражения из (3) и решая полученное уравнение, находим значение параметра t, при котором точка прямой SK удалена от плоскости МNS на расстояние, равное 24, т. е. 3*8t-4(6-6t)-96 = 0, откуда t=2,5.

После подстановки  в (3) значения t=2,5 получаем: m=20, n=20, р=-9, т. е. А(20; 20; -9). Тогда:

КА=

3адач а 3. Отрезок EF параллелен плоскости, в которой лежит прямоугольник ABCD, причем EF=2, АВ=4. Все стороны прямоугольника ABCD и отрезки АЕ, BE, CF, DF, EF касаются некоторого шара. Найдите объем этого шара.

Решение:

Так как все  стороны прямоугольника ABCD касаются шара, то сечением шара плоскостью ABC  является круг, вписанный в этот прямоугольник. Значит, ABCD — квадрат, центр О которого расположен на прямой, проходящей через центр шара перпендикулярно плоскости этого квадрата (рис. 3).

Если М, N, L, Q, Н, К, Р — точки касания соответственно отрезков АВ, CD, АЕ, BE, CF, DF, EF с шаром, то:

Рис. 3

1. М и N — середины сторон АВ и CD квадрата.
2. АМ= AL = BM=BQ= 2   (как отрезки касательных к шару, проведенные из точек А и В).

3.EL = EQ=EP (как отрезки касательных к шару, проведенные из точки Е).

Тогда: АЕ = AL+ LE = BQ + EQ = BE. Это означает, что ∆АBЕ-равнобедренный.

Аналогично доказывается, что  ∆CDF также равнобедренный.

Тогда ЕМ АВ, FN CD (как медианы этих треугольников). Но так как, кроме того, MN CD, то точки М, N, Е и F лежат в одной плоскости, проходящей через центр квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости. Это означает, что точки Е и F проектируются ортогонально в точки Е₁ и F₁ отрезка MN. Тогда, в силу параллельностей MN// AD и EF//(ABС), приходим к выводу: MNFE и ADFE-трапеции.

Получили: плоскость  трапеции ADFE пересекает шар по кругу, вписанному в эту трапецию и касающемуся основания AD этой трапеции в ее середине. Это  означает, что трапеция ADFE— равнобедренная, а точка Р — точка касания отрезка EF с шаром- является серединой этого отрезка. Следовательно, MNFE— равнобедренная трапеция, причем ЕР=PF=1.

Имеем: AL=AM=2, EL=EP=1. Значит, АЕ=3.

 Тогда:

∆AME( AME= 90°) : ME ==

∆EME( ME₁E= 90°) : EE₁ ==

Введем в пространстве декартову прямоугольную систему  координат так, чтобы ее начало совпадало  с центром О квадрата, полуоси Ох и Oу совпадали с лучами ON и ОА₁, а полуось Oz— с лучом ОР. В этой системе координат точки М и Р приобретают координаты: М(-2; 0; 0), Р(0; 0; 2).

Пусть S(a; b; с) — центр шара, R— его радиус.

Ранее доказано, что центр шара принадлежит прямой, проходящей через центр О квадрата ABCD перпендикулярно плоскости этого квадрата. Это означает, что S лежит на оси OZ, поэтому о = b=0. Координату с вершины S найдем из условия SM= SP, которое в координатной форме равносильно уравнению 4 + с² =(с-2)², откуда с=0.

Таким образом, центр S шара имеет координаты: а = Ь = с =0, значит, S совпадает с центром О квадрата ABCD. Следовательно, радиус шара равен радиусу круга,  вписанного в этот квадрат,  т.е.  R= 2. Тогда объем шара равен: V= πR²= π(куб.ед.).

 

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

При изучении стереометрии наряду с традиционными задачами желательно решать задачи по моделям геометрических тел графическим методом. При этом у учащихся будут дополнительно развиваться навыки в измерениях различными инструментами, в обработке результатов измерений, а при умелой постановке дела и навыки в приближенных вычислениях по результатам непосредственных измерений. Решение таких задач способствует развитию логического мышления и пространственного воображения у учащихся, закреплению изучаемого стереометрического материала; в них есть работа и для головы и для рук. На таких задачах можно показать учащимся практическое значение построений, которые вызовут у них большой интерес, а значит, появится и дополнительный стимул для более глубокого изучения теоретического материала.

В данной статье мы рассмотрим задачи, связанные с построением сечений в моделях тел, которые нередко встречаются в практике.

1. Дана модель правильной четырехугольной пирамиды SABCD. На ребрах BS и DS отложены равные отрезки ВК и DL. Построить на модели сечение, проходящее через точки А, К, L, и вычислить его площадь.

Решение. Изобразим  данную пирамиду в аксонометрической проекции (черт. 1). Сечение изобразится четырехугольником AKTL со взаимно перпендикулярными диагоналями KL и AT(KL//BD, BD AO, АО проекция наклонной АР).

Из   чертежа   видно,   что   задача   сводится к    нахождению    точки   

T ≡АР х SC,    где

 

 

 

              Черт. 1

P≡KLxSO.  Однако такой способ построения точки Т не пригоден для ее построения на модели из-за невозможности построения точки Р. Вернемся к чертежу. Если через точку Р провести прямую MN параллельно АС до пересечения с AS и CS в точках М и N, то получим AM = CN = ВК = DL (пирамида правильная) и наоборот, причем MN = KL. Следовательно, для решения задачи на модели вместо точек К и L можно использовать точки М и N, линейные размеры треугольника ASC и применить графический метод.

1) Строим ∆A'S'С' (черт. 2), равный модели (или подобный треугольнику ASC с выбранным коэффициентом подобия k, если ∆ASC велик).

2) На   A'S'  и C'S'  откладываем  A'M' =C'N'=BK=AM.

3) S'O' A'C'.

4) M'N', тогда M'N'xS'C'≡P'.

5) A'P', тогда A'P'xS'O'≡T'.

6) На ребре  CS пирамиды откладываем CT=C'T' (или CT=C'T'*k).

7) LT, KT, AKTL — искомое сечение. 
Для определения площади  сечения достаточно измерить А'Т' и M'N', так как S_сеч.=АТ*КР+АТ*РL =АT (KP+PL)= АТ*КL=A'T*-M'N'.   При   измерении и нахождении результата вычисления должны быть использованы правила приближенных вычислений.

Черт. 3

2. Из сплошного материала изготовлена модель треугольной пирамиды. Провести сечение через ее ребро и высоту, выходящие из одной вершины.

 

Решение. Пусть SABC является изображением данной пирамиды (черт. 3) и требуется провести сечение через высоту ST и ребро SC. Замечаем, что если в пирамиде проекция T вершины S будет найдена, то можно будет легко построить искомое сечение SMC на модели. Пусть на чертеже SK и SL — высоты боковых граней BSC и ASB, т. е. SK ВС, SL AB, тогда ТК ВС, TL AB. Следовательно, если на бумаге построить неполную развертку пирамиды из граней ABC, BSC, ASB, то отрезки ТК и KS будут лежать на одной прямой, перпендикулярной к стороне ВС треугольника ABC (аналогично для отрезков TL и LS). Учитывая это, можно графически найти положение точки Т на развертке (черт. 4), а затем найти на ней точку M'≡CTxAB. Отложив на стороне АВ модели отрезок АМ=AM' и проведя на гранях ASB и ABC

 

Черт. 4

отрезки MS и МС, получим искомое сечение SMC.

3. Дана модель треугольной пирамиды SABC, в основании которой лежит равнобедренный треугольник (АВ = АС), а боковые ребра равны. Провести через вершину А сечение наименьшего периметра и определить угол между плоскостями сечения и основания пирамиды.

Решение. а) Пусть AKL (черт. 5) — искомое сечение. Это значит, что если построить развертку боковой поверхности пирамиды так, чтобы грань BSC оказалась средней, то на ней периметр сечения изобразится в виде отрезка АКLA прямой, а не в виде ломаной. Учитывая это, строим развертку S'A'B'C'A" боковой поверхности

 

 

черт.5

 

 

черт. 6

данной пирамиды (черт. 6), проводим прямую А'А", находим К'≡A'A"xS'B' и L'≡А'А"xS'С'. После этого на ребрах BS и CS модели пирамиды откладываем ВК = В'К', CL = C'L' и проводим АК, KL, AL. Сечение АКL — искомое.

б) Так как ∆BCS равнобедренный и BK=CL, то KL||ВС, а потому линия TQ пересечения плоскостей АКL и ABC будет параллельна ВС и КL. Но AD BC, AM KL, а потому AD TQ, AM TQ.

Следовательно, DAM — линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и основания пирамиды. Его величина также может быть найдена графическим методом, для этого на бумаге строим ∆A₁S₁D₁ (черт. 7),

Черт. 7

 

 

равный ∆АSD и D_lM_l=DM=D'M', измеряем D_lA₁M_l, равный DAM модели. Величина DAM может быть найдена c точностью, которая не выше точности используемого угломерного инструмента. Вообще, если задача решается по моделям, то числовые данные будут приближенными и, следовательно, при аналитическом решении задачи степень точности ответа будет зависеть от выбора средств измерений (миллиметровая линейка, поперечный масштаб, штангенциркуль, микрометр, угломеры и т. д.).

Хорошо провести с учащимися практические работы лабораторного типа по решению задач по моделям тел с элементами построений, измерений и вычислений, используя при этом раздаточный материал из кабинета математики. Покажем это на следующей задаче.

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде построить сечение, проходящее через ребро основания и через середину ее высоты; вычислить площадь полученного сечения.

1. Инструменты и   принадлежности: модель правильной усеченной четырехугольной пирамиды,   миллиметровая  линейка (или штангенциркуль, или поперечный масштаб и циркуль-измеритель), циркуль, чертилка.
2. Порядок выполнения работы:

1) Сделать чертеж для данной модели в аксонометрической проекции; построить на чертеже каким-либо способом искомое сечение и определить его форму.

2. Выяснить,   можно   ли   воспользоваться этим способом для построения сечения на модели, если нет, то  найти  практический способ и построить на модели линии пересечения плоскости   и поверхности пирамиды.
3. Выяснить,    какие    необходимы   данные для   вычисления    площади   сечения,   какие из   них   можно   получить   непосредственным измерением, а какие — графическим  или аналитическим методом.

4) Выполнить соответствующие измерения, построения и вычисления.

III. Выполнение  работы:  

1) На  чертеже  8 изображена   модель  данной  правильной  усеченной пирамиды. Точка  Т — середина высоты   ОО₁. Проведем   через   OO₁   параллельно  DC   сечение   QPP₁Q₁   и  через  точку  Т отрезок MN параллельно QP(M≡MNxQQ₁ и N≡MNxPP₁). Через  М и N проведем  DK и

CL(K ≡ DMxAA₁,   L≡ CNxBB₁ затем KL. DKLC—искомое сечение;

DKLC – равнобедренная трапеция (доказывается).

черт. 8

 

Возможно иное построение сечения на чертеже, но тогда его не удается использовать для практического решения задачи.

 На модели MN провести нельзя, но, учитывая, что MN — средняя линия трапеции QPP₁Q₁, точки M и N могут быть практически найдены как середины сторон QQ_l и РР₁ вспомогательного сечения QPP₁Q₁. Указанным способом проводим на модели пирамиды искомое сечение.

3) Для определения  площади равнобедренной трапеции  DCLK необходимо знать размеры DC, KL и её высоты. Размеры DC и KL можно найти непосредственно измерением по модели, а высоту трапеции аналитически или графически.