Автор: Пользователь скрыл имя, 12 Марта 2012 в 02:54, курсовая работа
В работе рассмотрена общественная роль задач в обучении математике и развитии математического мышления учащихся, проблема методов обучения решению задач.
§1. Основные этапы решения геометрических задач
1)Понимание и постановка задачи
Глупо отвечать на вопрос, который вы не поняли. Невесело работать для цели, к которой вы не стремитесь. Такие глупые невеселые вещи часто случаются как в школе, так и вне её, однако учителю следует стараться предотвращать их в своем классе. Ученик должен понять задачу. Но не только понять; он должен хотеть решить ее. Если ученику не хватает понимания задачи или интереса к ней, это не всегда его вина. Задача должна быть умело выбрана, она должна быть не слишком трудной и не слишком легкой, быть естественной и интересной, причем некоторое время нужно уделять для ее естественной и интересной интерпретации.
Прежде всего, должна быть понята словесная формулировка задачи. Проверить это учитель до некоторой степени может; он просит ученика повторить формулировку задачи, и ученик должен оказаться в состоянии легко это сделать. Ученик также должен быть в состоянии указать главные элементы задачи – неизвестное, данное, условие. Таким образом, учитель редко может позволить обойтись без вопросов: что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?
Ученик должен внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть главные элементы задачи.
Если с задачей связана какая-либо геометрическая фигура, он должен сделать чертеж и указать на нем неизвестные данные. Если необходимо как-нибудь назвать эти объекты, он должен ввести подходящие обозначения; уделяя определенное внимание подходящему выбору символов, он принужден сосредоточивать свои мысли на объектах, для которых нужно подыскать символы.
Имеется еще один вопрос, который может оказаться полезным на этой предварительной стадии при условии, что мы не будем окончательного ответа на него, а будем рассчитывать лишь на временный ответ, догадку: возможно ли удовлетворить условию?
Проиллюстрируем некоторые
положения, разобранные в предыдущем
пункте. Возьмем простую задачу:
Найти диагональ прямоугольного
параллелепипеда, длина, ширина и высота
которого известны. Чтобы извлечь
пользу из этой задачи, ученики должны
быть знакомы с. теоремой Пифагора и
с некоторыми ее планиметрическими
приложениями, но предварительные
Учитель может сделать задачу интересной, конкретизируя ее. Классная комната представляет собой прямоугольный параллелепипед, длина, ширина и высота которого могли бы быть измерены и оценены приближенно; ученики должны найти, «измерить косвенно», диагональ классной комнаты. Учитель показывает длину, ширину и высоту класса, жестом проводит воображаемую диагональ и оживляет далее свой чертеж, сделанной на доске, многократно возвращаясь к рассмотрению классной комнаты.
Диалог между учителем и учащимися может начаться, например, так:
«Что неизвестно?»
«Длина диагонали
«Что дано?»
«Длина, ширина и высота параллелепипеда».
«Введите подходящие обозначения. Какой буквой обозначим неизвестное?»
«х».
«Какие буквы вы бы выбрали для длины, ширины и высоты?»
«а, b, с».
«В чем состоит условие, связывающее а, b, с и х»
«х есть диагональ
параллелепипеда, длина,
«Имеет ли задача смысл? То есть, достаточно ли условие для определения неизвестного?»
«Да, достаточно. Если известны а, Ь и с, то известен и параллелепипед. Если параллелепипед определен, то и его диагональ определена».
2) Составление плана решения задачи
У нас есть план, если нам
известно, хотя бы в общих чертах,
какие вычисления или построения
нам придется проделать, чтобы получить
неизвестное. Путь от понимания постановки
задачи до представления себе плана
решения может быть долгим и извилистым.
И действительно, главный шаг
на пути к решению задачи состоит
в том, чтобы выработать идею плана.
Эта идея может появляться постепенно.
Или она может возникнуть вдруг,
в один миг, после, казалось бы, безуспешных
попыток и продолжительных
Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Вопросы и советы, которые мы собираемся анализировать, и предназначены для того, чтобы подсказывать такую идею.
Чтобы быть в состоянии понять положение дел учащегося, решающего задачу, учитель должен вспомнить свой опыт, свои трудности и успехи в решении задач.
Трудность здесь в том, что обычно оказывается слишком много задач, связанных в той или иной степени с нашей задачей, т.е. имеющих с ней какие-либо общие черты.
Как выбрать задачу или несколько задач, которые действительно будут полезны? Вот совет, указывающий нам ту общую черту, которая является существенной: Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.
Нам повезло, если нам удалось вспомнить уже решенную задачу, тесно связанную с нашей нынешней задачей.
Теперь постараемся
Эти вопросы, если их хорошо уяснить и глубоко продумать, часто помогают правильно направить ход мыслей с самого начала; но они не в состоянии помочь всегда.
Пытаясь использовать различные известные задачи и теоремы, рассматривая всевозможные видоизменения задачи, экспериментируя с разными вспомогательными задачами, мы можем оставить нашу первоначальную задачу так далеко в стороне, что возникает опасность совсем распроститься с ней. Но следующий превосходный вопрос вернет нас снова к ней: Все ли данные вы использовали? Все ли условие?
Пример. Мы возвращаемся к
примеру, рассматривавшемуся в предыдущем
пункте. К моменту, когда мы оставили
его, учащимся только что удалось
понять задачу, и они начали проявлять
к ней кое-какой интерес. Вероятно,
теперь у них имеются собственные
идеи и пробудилась некоторая
инициатива. Если учитель при самом
внимательном наблюдении не может обнаружить
никаких следов такой инициативы,
он должен возобновить свой диалог
с учащимися, тщательно взвешивая
каждое свое слово. Он должен быть готовым
предлагать повторно в несколько
измененном виде вопросы, на которые
учащиеся не могут дать ответа. Он должен
быть готовым часто встречаться
с обескураживающим молчанием учащихся
(которое далее будет
«Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?»
«Рассмотрите неизвестное? Встречалась ли вам задача с тем же неизвестным?»
«Что неизвестно в этой задаче?»
«Диагональ параллелепипеда».
«Встречалась ли вам какая-нибудь задача с тем же неизвестным?»
«Нет. Мы никогда не решали задач, в которых у нас была бы диагональ параллелепипеда».
«Встречалась ли вам какая-нибудь задача с подобным неизвестным?»
«Не правда ли, диагональ есть отрезок, отрезок прямой. Приходилось ли вам решать задачу, в которой неизвестным являлась длина отрезка?»
«Конечно, мы решали такие задачи. Например, найти сторону прямоугольного треугольника».
«Очень хорошо! Вот задача,
сходная с вашей и уже
«Вам удалось вспомнить задачу, которую вы решили прежде и которая сходна с вашей теперешней задачей. Попробуйте извлечь из нее пользу! Нельзя ли ввести какой-нибудь вспомогательный элементу чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?»
«Вы вспомнили задачу о треугольнике. Посмотрите на чертеж; есть у вас на чертеже какой-нибудь треугольник?»
Будем надеяться, что последний намек оказался достаточно ясным, чтобы натолкнуть на идею решения, заключающуюся в том, чтобы ввести прямоугольный треугольник , для которого искомая диагональ служит гипотенузой.
Однако учитель должен быть готовым к тому, что даже этот совершенно ясный намек окажется не в состоянии сдвинуть учащихся с мертвой точки; у него должна быть наготове целая гамма все более и более ясных намеков.
«Было бы хорошо, если бы у нас на чертеже был треугольник?»
«Какой треугольник был бы лучше всего?»
«Вы пока не можете найти диагональ; но вы сказали, что смогли бы найти сторону треугольника. Что же вам нужно сделать?»
«Можно было бы найти диагональ, если бы она была стороной треугольника?»
Когда в конце концов учащимся удается с большей или меньшей помощью ввести решающий вспомогательный элемент , учителю следует удостовериться в том, что учащиеся теперь достаточно ясно представляют себе, как действовать дальше.
Только после этого можно переходить к действительным вычислениям.
«Мне кажется, неплохо, что мы начертили этот треугольник. Теперь у вас есть треугольник, но что вы скажете о вашем неизвестном?»
«Неизвестное есть гипотенуза этого треугольника; мы можем ее вычислить при помощи теоремы Пифагора».
«Действительно, вы можете ее вычислить, если известны оба катета, но известны ли они?»
«Один катет дан, это с. А другой, мне кажется, нетрудно найти. Да, ведь другой катет есть гипотенуза другого прямоугольного треугольника».
«Очень хорошо! Теперь я вижу, что у вас есть план».
3) Осуществление плана решения задачи
Нелегко придумать план, найти идею решения. Очень многое требуется для этого: ранее приобретенные знания, мозг, приученный к логическому мышлению, полная сосредоточенность.
План указывает лишь общие контуры решения; теперь нам нужно убедиться, что все детали вписываются в эти общие контуры. Поэтому нужно терпеливо рассмотреть эти детали, одну за другой, пока все не станет совершенно ясным и не останется ни одного темного угла, в котором может скрываться ошибка.
Если учащийся выработал план решения, для учителя наступает сравнительно спокойное время. Главная опасность теперь в том, что учащийся может забыть свой план. Это легко может случиться, если учащийся получил план извне и, принимая его, положился на авторитет учителя. Но если учащийся сам потрудился над составлением плана, хотя бы даже с некоторой помощью, и если он с удовольствием воспринял окончательную идею, она не сможет от него ускользнуть. Учитель должен все же настаивать, чтобы учащийся проверял каждый шаг.
Убедиться в правильности некоторого шага в наших рассуждениях мы можем либо «интуитивно», либо «логически». Мы можем сосредоточивать наше внимание на рассматриваемом утверждении до тех пор, пока оно не станет для нас столь ясным и отчетливым, что не останется никакого места для сомнений в правильности нашего шага. Но мы можем поступить иначе, выведя наше утверждение по логическим правилам.
Самое важное состоит в том, чтобы учащийся был по настоящему убежден в правильности каждого шага. В некоторых случаях учитель может указать на разницу между «увидеть» и «доказать»: ясно ли вам, что предпринятый шаг правилен? А в состоянии ли вы доказать, что он правилен?
§2. Методы решения геометрических задач
Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач
Векторно-координатный метод в пространстве может быть эффективно использован как аппарат решения многих задач стереометрии. Нередко этот метод приводит к более короткому пути решения задачи по сравнению с геометрическим (синтетическим) методом ее решения.
Ниже приводятся решения задач, которые предлагались абитуриентам и были помещены в журналах "Математика в школе" (1990. № 1. С. 29) и "Квант" (1988. № 2. С. 68).
Задача1.Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 4. Известно также, что АS=BS= , a СS=3. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды.
Решение. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с вершиной А данной пирамиды, направление оси абсцисс — с направлением луча АС, ось аппликат была перпендикулярна плоскости основания ABC пирамиды (рис. 1).
В этой системе координат вершины основания пирамиды имеют координаты: A(0; 0; 0), B(2; 2; 0), C(4; 0;0).
Обозначив через х, у, z координаты вершины S пирамиды, найдем их из условия:
AS= BS=, CS= 3
Имеем: AS2 =x2+y2+z2=19
BS2 = (x-2)2+(у -2)2+z2 = 19,
CS2 = (x-4)2+у2+z2 =9
Решая систему уравнений
находим: x=, y=, z
Таким образом, вершина S имеет координаты: S {,}.
Пусть центр О сферы имеет координаты а, b, с, а ее радиус равен R.
Так как сфера описана около пирамиды SABC, то ОA2 = ОB2 = ОС2 = OS2 = R2. Это соотношение в координатном виде равносильно системе уравнений:
а2 +b2+ c2=R2
(a-2)2+(b-2)2+c2 = R2
(2a- )+(2b- )+(2c- )=0
(а-4)2 +b2+ c2=R2
Вычитая из первого уравнения третье, получаем а=2, после чего, вычитая из первого уравнения второе, получаем b=