Методы решения

 

Введение

Метод  математического  моделирования находит в настоящее  время широкое применение в различных  областях знаний, и именно через  него математика находит все новые  и новые приложения.

Система знаний является и  важной составной частью познавательной деятельности, и ее результатом. Это объясняется тем, что формирование и развитие системы знаний происходит путем постепенного наращивания уже имеющихся знаний в процессе учебной деятельности с помощью общелогических и специальных приемов мышления, а также тех знаний, которые уже получены в предшествующем обучении. На голом месте, без всяких исходных знаний невозможна никакая познавательная деятельность. Это обстоятельство еще раз подтверждает необходимость целесообразного сочетания методов обучения готовым знаниям с методами обучения деятельности по приобретению новых знаний.

Выбор и правильное сочетание  различных методов обучения в  конкретных учебных ситуациях –  сложная педагогическая проблема, решение  которой требует знаний, умений и  педагогического мастерства. Нет и принципиально невозможен универсальный метод обучения, который, если только его строго придерживаться, гарантирует успех независимо от специфики содержания обучения, уровня умственной деятельности учащихся, умений и педагогического мастерства учителя.

Общественная роль задач  в обучении математике и развитии математического мышления учащихся. Усвоение математических знаний и уровень  математического развития учащихся всегда проверялись, проверяются и, по-видимому, будут проверяться с  помощью решения задач. Поэтому проблема методов обучения математике включает  и проблему методов обучения решению задач.

Как научить учащихся решать задачи? Это одна из наиболее сложных  и важных педагогических проблем. Ей посвящена специальная глава. Здесь мы рассмотрим лишь подготовку учащихся к решению разного рода задач. Школьная математика, особенно алгебра, полна разного рода алгоритмов для решения стандартных задач разнообразных классов, от задачи сложения многозначных чисел («в столбик») до задач дифференцирования и интегрирования определенных классов функций. Как изучать эти алгоритмы, оставляющие важную часть учебного материала? Можно, разумеется, разъяснить учащимся эти алгоритмы в готовом виде. Это, однако,  малоэффективная методика.  Методы обучения, ориентированные главным образом на развитие активной познавательной деятельности учащихся, требуют научить учащихся отыскивать и описывать общие методы (алгоритмы) решения классов однотипных задач с помощью анализа и обобщения способов решения частных задач, принадлежащих этим классам.

В школьной математике имеется  и большое разнообразие нестандартных задач (на доказательство, преобразование алгебраических выражений и т. Д.). Нестандартные задачи часто сводятся к некоторым стандартным задачам, и возникает необходимость в использовании соответствующих алгоритмов. Таким образом, знание алгоритмов необходимо для решения не только стандартных, но и нестандартных задач.

Методы обучения используются во взаимной связи. Трудно обнаружить в процессе преподавания (при изучении достаточно содержательного фрагмента  учебного материала) применение одного только метода в чистом виде. Универсального метода обучения не существует, и вряд ли можно жестко регламентировать выбор  того или иного метода  обучения. В основе выбора и сочетания различных  методов обучения лежат как объективные факторы (цели и содержание обучения), так и субъективные (учитель, учащиеся).

Цели и содержание обучения не определяют однозначно методы обучения. Одно и тоже содержание может быть изучено различными методами, причем так, чтобы во всех случаях достигались цели обучения. С другой стороны, одни и те же методы обучения, применяемые разными учителями, могут дать различные результаты, так как преподавание не только наука, но и искусство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Обучение математике через задачи

 

§1. Образовательное значение математических задач

 

Обучающая роль математических задач. Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько  видов задач по их обучающей роли.

Задачи для  усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо подходит при условии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определениями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание достигается прежде всего при решении задач и выполнении упражнений. Так, для усвоения понятий логарифма большую пользу принесут упражнения в переходе от записей с показательными функциями и их значениями к записям в логарифмической форме, и наоборот, в решении простейших логарифмический уравнений, содержащих переменное как под знаком логарифма, так и в его основании, в формировании определения логарифма для конкретного заданного числа при конкретном же заданном основании, в применении тождества a^log_a^x=x, a>0, а≠1, х>0. Весьма полезны и такие задачи: 1. Является ли корректным определение: «Показатель степени, удовлетворяющий равенству a^x=b, называется логарифмом числа b по основанию a»? Поясните свой ответ.

2. Проанализируйте следующую  формулировку: «Логарифмом данного  числа по данному основанию является показатель степени».Как уточнить эту формулировку, чтобы она явилась определением логарифма?

Задачи для  овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим языком и , следовательно, математической символикой. Простейшая символика вводится еще в начальной школе в IV-V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т.д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение. Приведенные далее задачи способствуют пониманию роли скобок и учат их верному употреблению.

3. Прочитайте записанные выражения, вычислите их значения, укажите роль скобок. В каких из выражений скобки не изменяют порядок действий:

 

 

 4. Вычислите, поясните порядок действий и роль скобок:

Существенное значение в  овладении изучаемой символикой имеет правильное ее применение при  записи решений задач. Учитель должен внимательно следить за грамотным  применением математических символов в записях. Нельзя признать правильными  такие, например, записи: «p<2 на 3», «Докажем ┴-ность прямых a и b» и др. Следовало бы записать в первом случае: «p меньше, чем 2, на 3» или «2 – p=3», или «p+3=2», или «2-3=p», а во втором: «Докажем, что a┴b».

Задачи для  обучения доказательствам. Обучение доказательствам – одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач заключатся в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют  для своего решения (доказательства истинности ответа) установления одной  импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы представляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение  и конкретизация изучаемых понятий  и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой символики и используемого языка. Примеры задач-вопросов:

5.  x>y. Обязательно ли x²>y²?

6. Могут ли две биссектрисы  треугольника быть перпендикулярными?  А две высоты?

Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при  изучении русского языка, на уроках же математике они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет  вовсе. Начинать надо с достаточно простых  задач. Например:

7. Докажите, что длинна гипотенузы прямоугольного треугольника больше длины его катета.

Рассмотрим прямоугольный  ∆АВС, у которого ∟С=90^о, АС и … его катеты, … - гипотенуза (рис.). Точка С является … точки В на …, так как ВС … СА. По теореме о перпендикуляре и … ВС … … АВ.

Аналогично, точка … является … точки А на прямую ВС, так  как … ┴ … . Поэтому … < … (на основании теоремы … ).

Задачи на доказательство должны предлагаться при изучении всех математических дисциплин и практически  могут решаться во всех ее разделах.

В курсе математики IV – V классов практически не проводятся, но могут быть  предложены простейшие задачи-вопросы, а для отдельных учащихся и задачи на доказательство. Примеры:

8. Пусть a≠0, b≠0. Верно  ли, что a+b≠0

9. Исходя из правил  умножения рациональных чисел  и выполнимости переместительного  закона умножения для положительных  чисел, докажите, что переместительный  закон умножения верен для  произведения любых двух рациональных  чисел.

В курсе алгебры VI – VIII классов часто применяются задачи на доказательство тождеств и неравенств, на доказательство некоторых свойств функций и т. д. Например:

10. 1) Дано: BD┴АС, АВ=ВС. Доказать: АD=DС (рис.).

2) Дано: ВD┴АС, АD=DС. Доказать: АВ=ВС.

Предлагаются задачи на доказательство геометрических тождеств и неравенств и, конечно, задачи на доказательство –  внепрограммные теоремы. Немало задач  на доказательство решают учащиеся при  изучении стереометрии.

В курсе математики IX – X классов задачи на доказательство следовало бы решать при изучении всех его разделов. Примеры:

11. Докажите, что среди рациональных чисел не существует такого, квадрат которого равен: 1) 3; 2) 5; 3) 6; 4) 7; 5) 101.

Обучающую   роль играют и задачи,   предваряющие изучение новых математических фактов, концентрирующие  внимание учащихся на вновь изучаемых  идеях, понятиях и методах математики, задачи, с помощью которых вводятся новые понятия и методы, задачи, создающие проблемную ситуацию с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь же следует рассмотреть и задачи, с помощью которых подготавливается  сложное для  учащихся  доказательство теоремы.

Созданию проблемной ситуации для введения и изучения способов решения квадратных уравнений послужит задача, приводящая к такому   уравнению.   Например:

12.  Теплоход прошел  по течению реки 48 км и вернулся  обратно, затратив на весь путь 5 ч. Скорость течения реки 4 км/ч.  Вычислите собственную скорость  теплохода.

Если обозначить собственную  скорость теплохода v км/ч, то для решения задачи можно составить уравнение которое сводится к квадратному уравнению

Так возникает проблема изучения способов решения квадратных уравнений.

К изучению показательной  функции можно подойти при  решении следующей задачи:

13.   Вычислите  стоимость   оборудования   по   истечении   4-летней эксплуатации, если первоначальная  стоимость 10 000 р., а ежегодное  уменьшение стоимости (амортизация)  составляет 5%.

Решение задачи приводит к  формуле

(1)

и при заданном   значении

Формула (1) задает показательную  функцию. Решение задачи служит хорошей  мотивировкой к детальному изучению показательной функции.

Полезно вспомнить, что решение  конкретных задач (например, о мгновенной скорости, о касательной, о плотности  стержня) приводит к понятию производной, а задачи о площади криволинейной трапеции, о работе переменной силы, действующей вдоль прямой, — к понятию интеграла.

Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьезную роль в курсе  математики, могут быть предложены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на доказательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теоремы и т. д. Так, перед доказательством теоремы Фалеса иногда полезно решить задачу:

16. Д а н о:    АВ = ВС, Доказать:

(рис. 28).

Решение этой задачи облегчит семиклассникам доказательство Довольно сложной для них теоремы Фалеса.

 

§2. Развивающее значение математических задач

 

1). Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической науки.