Методика вивчення натуральних чисел

Розширення меж натуральних  чисел здійснюється поступово: спочатку учні вчаться читати й записувати чотирицифрові числа, потім п'ятицифрові, а тоді шестицифрові. Така послідовність  забезпечує краще усвідомлення учнями сутності групування розрядів у класи і створює умови для формування міцних умінь читати й записувати багатоцифрові числа, оскільки методичний підхід вивчення нумерації в межах кожного розряду однаковий.

У вивченні додавання і  віднімання можна вичленити дії  з натуральними числами та дії  з іменованими числами. Оскільки діти вже ознайомлені з додаванням і відніманням трицифрових чисел, то ознайомлення з діями багатоцифрових чисел здійснюється прямим перенесенням. У формуванні навичок виконання дій увагу приділяють перевірці правильності обчислень способом застосування оберненої дії. Додавання і віднімання іменованих чисел супроводжується розглядом вправ на перетворення іменованих чисел.

Множення і ділення  натуральних чисел вивчається в такій послідовності: множення на одноцифрове число; ділення на одноцифрове число; множення чисел, що закінчуються нулями; ділення на числа, що закінчуються нулями; множення на двоцифрове і трицифрове числа; ділення на двоцифрове число. Пояснення письмового алгоритму дій другого ступеня займає чимало часу. Щоб дітям не доводилося тривалий час бути тільки спостерігачами та слухачами, варіюють методи пояснення нового матеріалу, зокрема застосовувати самостійне ознайомлення зі знаходженням значення виразу за поясненнями, поданими в підручнику.

Вивчення математики в 5-му класі базується на тій математичній підготовці, яку учні отримали в початковій школі. Загалом вона визначена тими вимогами, які вказані в програмі для учнів на кінець четвертого року навчання.

Мета засвоєння курсу  математики 5-го класу -  систематизація знань про розвиток поняття числа та вироблення вмінь виконувати усно і письмово арифметичні дії над числами, перекладати практичні задачі мовою математики, підготовка учнів до вивчення систематичних курсів алгебри й геометрії.

Курс базується на індуктивній  основі із залученням елементів дедуктивних  міркувань. Теоретичний матеріал викладається на наочно-інтуїтивному рівні, математичні  методи і закони формулюються у вигляді  правил. Програмою передбачено поглиблене вивчення натуральних чисел і нуля, що передбачає читання і запис натуральних чисел, їх порівняння, виконання арифметичних дій.

Учень повинен вміти розпізнавати, наводити приклади натуральних чисел; дотримуватися правил: читання і  запису натуральних чисел, додавання, віднімання, множення і ділення натуральних  чисел, знати як порівнювати натуральні числа. Учень повинен називати класні розряди натурального числа; формулювати  властивості арифметичних дій з  натуральними числами.

Учень має розв’язувати вправи, що передбачають: порівняння натуральних  чисел; виконання чотирьох арифметичних дій з натуральними числами; ділення  з остачею та нескладні текстові задачі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Навчання учнів натуральним числам та діям над ними.

У шкільних підручниках вводять таке означення натуральних чисел: «Числа 1,2,3,…, що використовуються при лічбі предметів дістали назву натуральних».

Перш ніж  розглядати питання  про читання і запис натуральних  чисел, потрібно повторити з учнями поняття про розряди і розрядні одиниці, класи десяткової системи  числення, співвідношення між розрядними одиницями, запис числа у вигляді  суми розрядних одиниць, навчити  правильно вживати слова: «цифра»  та «число», для цього слід звернути увагу на те,що цифри – це спеціальні позначення для чисел. Десяткова  система числення має десять цифр для позначення безлічі натуральних  чисел. Тому на перших уроках доцільно коротко нагадати про інші системи  числення

Для повторення усної та письмової нумерацій користуються таблицями розрядних одиниць і одиниць класів. Для повторення поняття класів дітям дають орієнтир щодо назви класів, бо у зв’язку з цим в учнів виникає маса помилок. Учням вводять правило читання багатоцифрових чисел.

Для того щоб прочитати  багатоцифрове число, потрібно:

1. розбити число на класи справа наліво;
2. якщо найвищий клас містить три цифри, то прочитати  зліва направо кожний клас як трицифрове число і додати назву класу4 назва класу одиниць не додається;
3. якщо найвищий клас містить одну або дві цифри, то прочитати його як одноцифрове або двоцифрове число і додати назву цього класу; ешту класів читати так само, як у попередньому випадку.

Під час запису багатоцифрових чисел багато помилок виникає  у зв’язку з відсутністю певних розрядів або класів. Тому учитель  на конкретних прикладах має пояснити спосіб міркування під час запису таких чисел. Наприклад, нехай потрібно записати число тридцять п’ять мільярдів шість мільйонів сорок тисяч. Міркуємо так: за класом мільярдів міститься клас мільйонів який повинен мати три цифри, а маємо лише третю цифру (6), отже, ліворуч від неї має бути два нулі. Далі за класом мільйонів іде клас тисяч який теж містить три цифри, а в нас 2 цифри (40), то ліворуч від неї ставимо нуль, потім іде клас одиниць який аналогічно повинен мати три цифри, а в нашому випадку ми не маємо жодної, тому дописуємо три нулі. Дістаємо: 35 006 040 000.

Практика показує, що для  дітей, які навчились виконувати чотири дії над натуральними числами  в початкових класах, виконання дій  над багатоцифровими числами  не становить значних труднощів. Особливу вагу потрібно звертати на питаннях теоретичного обґрунтування правила  виконання кожної дії, на розв’язуванні  складніших комбінованих вправ, раціоналізації обчислень, розв’язуванні складніших текстових задач. Вдосконалення  навичок усних обчислень є  важливим для всіх учнів.

Отже, спочатку проводять  діагностику знань учнів з  тим, щоб ефективно здійснювати  диференційоване навчання з погляду  як складності навчального матеріалу, так і рівня вимого до окремих  категорій учнів. Слід враховувати  і те, що учням відомий матеріал з початкової школи і тому потрібно підтримувати пізнавальний учнів до цього матеріалу. Для цього використовують дидактичні ігри, математичні ребуси, розв’язування вправ із зірочками, програмованих завдань, широко залучати наочність, історичні довідки.

Також потрібно дотримуватись  наступності з курсом початкової школи. Повторення кожної з чотирьох дій потрібно починати з практичних задач, що дасть змогу забезпечити  мотивацію навчання і підвищить  пізнавальний інтерес.

Додавання. Вважається, що поняття додавання інтуїтивно зрозуміле для учнів з досвіду початкової школи і практики. Використовуючи запис чисел у вигляді суми розрядних одиниць і закони додавання, теоретично обґрунтовують правило додавання багатоцифрових чисел, розглядаючи конкретні приклади спочатку без переходу через десяток. Наприклад, додаючи числа 5673 і 2315, подаємо кожне з них у вигляді суми розрядних доданків:

5673 = 5 тис. + 6 сот. + 7 дес. + 3 од.;

2315 = 2 тис. + 3 сот. + 1 дес. + 5 од.

Розглянувши доданки й  об’єднавши їх у групи, дістанемо:

(3 од. + 5 од.) + (7 дес. + 1 дес.) + (6 сот. + 3 сот.) + (5  тис. + 2 тис.) = 8 од. + 8 дес. + 9 сот. + 7 тис. = 7 тис. + 9 сот. + 8 дес. + 8 од. = 7988.

У разі виконання додавання  стовпчиком спочатку додають одиниці, потім – десятки і т.д. Тут  застосовують два закони: переставний  і сполучний. Достатню увагу потрібно приділити додаванню, що потребує переходу через десяток.

Окремого розгляду потребує питання про зміну суми залежно  від зміни доданків, що є елементом  пропедевтики вивчення поняття функції  у 7 класі. Для прикладу розглядають таке завдання: не обчислюючи, встановити, який знак потрібно поставити між виразами і і на скільки одна сума більша від іншої:

а) 5673 + 2345 і 5679 + 2345;

б) 123 + 2567 і 123 + 2543;

в) 1093 + 243 і 1090 + 256.

Також слід повторити додавання  натурального числа до нуля і  навпаки. Підводять дітей до висновку, що а+0 = а і 0 + а = а, 0 + 0 = 0.

Слід підкреслити можливість і однозначність дії додавання  двох натуральних чисел, натурального числа і нуля. Це важливо з погляду  розширення поняття про число.

З погляду пропедевтики різних видів виразів, доцільно звернути увагу  на неоднозначність терміна «сума». Його вживають у двох значеннях: як результат дії додавання і  як вираз, що складається з двох або  кількох чисел, сполучених знаком «+». Аналогічне зауваження стосується і  термінів «різниця», «частка».

Зауважують, що перевірка  дії додавання виконують за допомогою  цієї самої дією перестановкою доданків. Перевіряють також за допомогою  мікрокалькулятора.

Віднімання. Відняти від числа  а число b означає знайти таке число х, яке в сумі з числом b дає а. Позначають: b + х = а.

На цьому етапі навчання важливо вдосконалити навички віднімання багатоцифрових чисел. Важливо, щоб  учні усвідомили можливість двох способів перевірки дії віднімання: 1) додаванням, знаходячи зменшуване за від’ємником і різницею; 2) відніманням, знаходячи від’ємник за зменшуваним і різницею. За можливості доцільно розглянути зміну результату дії віднімання від зміни компонентів. Виявлені закономірності потрібно застосувати для раціоналізації обчислень. Рівності а - 0 = а і а – а = 0 обґрунтовують за допомогою означення дії віднімання. Учні мають міркувати так: за означенням дії віднімання маємо рівності  а+0 = а і 0 + а = а, які правильні за властивістю нуля щодо дії додавання. Отже, правильні також рівності  а - 0 = а і а – а = 0.

В межах натуральних чисел  учні повинні усвідомити, що зменшуване не може бути менше ніж від’ємник . Якщо зменшуване більше ніж від’ємник  або рівне йому, то різниця завжди існує і дорівнює певному натуральному числув першому випадку і нулю  - в другому. Повторення дії віднімання доцільно завершити повторенням типів задач, які розв’язують за допомогою цієї дії.

Множення. Вже з початкової школи учні множення натуральних чисел називають додавання однакових доданків. На етапі повторення важливо, щоб учні після розв’язування певної кількості прикладів змогли виконати узагальнення і сформулювати означення для двох чисел а і b у вигляді: помножити число а на число b відмінне від одиниці означає знайти суму b доданків,кожний з яких дорівнює а. Для добутку а · 1 потрібна домовленість, що а · 1 = а, а а · 0 = 0. Для закріплення і кращого усвідомлення означення дії множення слушними є такі запитання.

1. Чи будь-яке додавання можна замінити множенням? ( Ні. Якщо не всі доданки однакові)
2. Чи будь-яке множення можна замінити додаванням? ( Ні. Лише таке, коли множник відмінний від одиниці і нуля.)

Слід значну увагу приділити  запобіганню помилкам, яких деякі  учні припускаються під час множення на числа, що закінчуються нулями або  містять нулі всередині.

Шкільна практика свідчить, що в учнів не виникає особливих  труднощів стосовно питання про  зміну добутку в разі збільшення чи зменшення одного або двох множників  у кілька разів. Учні самостійно обґрунтовують  відповідні висновки для конкретних прикладів. Перевіряють дію множення перестановкою множників або за допомогою мікрокалькулятора.

Основні закони множення потрібно повторювати, ілюструючи їх застосування для раціоналізації обчислень. Наприклад, переставний закон дає змогу  швидше обчислити добуток 20 · 856 · 5, якщо переставити співмножники. Переставляючи  третій і другий множники, можна  усно обчислити добуток 

20 · 856 · 5 = 20 · 5 · 856 = 100 · 856 = 85 600.

Розподільчий закон також  часто використовують для раціоналізації обчислень. Наприклад,

42 · 225 = (40 + 2) ·225 = 40 · 225 + 2 · 225 = 40 · (200 + 25) + 450 = 8000 + + 1000 + 450 = 9450.

Ділення. Дію ділення означають аналогічно дії віднімання, як обернена дія до множення: поділити число а на число b означає знайти таке число х, при множенні якого на число b дістанемо число а. відразу можна обґрунтувати рівність 0 : а = 0. Заборона ділити на нуль повинна прийматися як означення. Проте доцільність такої заборони можна пояснити відповідною рівністю, записаною на основі означення дії ділення.

З погляду ідеї дальшого розширення поняття числа слід звернути увагу на виконуваність дії ділення  у множині натуральних чисел. Вона не завжди можлива, як і дія  віднімання.

З усіх чотирьох арифметичних дій найбільша кількість помилок, яких припускаються учні, припадає на дію ділення. Правило і сама дія ділення на натуральне число  найгірше сприймаються у випадках, коли між цифрами частки є нулі. Потрібно навчити учнів ще до виконання ділення визначати кількість цифр у частці. Можна ознайомити учнів із загальним прийомом визначення кількості цифр у частці: відокремивши в діленому стільки цифр, скільки їх у дільнику, підраховуємо, скільки цифр залишилось в діленому. Шукана частка міститиме стільки само цифр або на одну більше. Обґрунтувати це можна так: якщо відокремлене спочатку число ділиться (з остачею або без остачі) на дільник, то в частці дістанемо одну першу цифру, а якщо не ділиться, то не дістанемо такої цифри. При «знесенні» кожного наступного розряду діленого дістанемо в частці по одній цифрі.

Наголошують, що під час  ділення потрібно щоразу «зносити»  по одній цифрі і виконувати ділення  отриманого числа так, щоб остача була завжди меншою від дільника.