Методика вивчення натуральних чисел

Вступ

Розділ І. Теоретичні основи теми дослідження.

1. Історія виникнення та розвитку уявлень про натуральне число.
2. Загальні відомості про поняття натуральне число.
3. Задачі, пов’язані з натуральними числами, їх види, способи розв’язання та класифікація.

Розділ ІІ. Методика навчання учнів натуральним числам та діям над ними.

1. Місце теми в програмі. Вимоги до знань, умінь та навичок учнів.
2. Навчання учнів натуральним числам та діям над ними. План-конспект уроку засвоєння нових знань.
3. Формування вмінь та навичок учнів у виконанні арифметичних дій над натуральними числами. План-конспект уроку формування вмінь і навичок.
4. Види контролю та його застосування.

Висновок

Література

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Для шкільної математики натуральне число є тим поняттям, з якого, як правило, починається навчання. І  вже в початкових класах учні знайомляться з різними функціями натурального числа. Відповідаючи на запитання: « Скільки машин зображено на малюнку?», - вони мають справу з числом як кількісної характеристикою множини предметів. Роблячи підрахунок предметів, використовують натуральне число як характеристику порядку. В задачах, пов'язаних з вимірюванням величин, число виступає як значення величини при вибраній одиниці, тобто як міра величини. Велика увага приділяється в початковому курсі математики і ще однієї ролі числа - як компоненту обчислень. Таким чином, натуральне число має багато функцій, і багато з них повинні бути зрозумілі і засвоєні вже молодшими школярами та розширені уже в п’ятому класі. Для цього вчителі повинні бути дуже гарно підготовлені до викладу матеріалу учням.

Натуральні числа отримують  під час рахунку предметів і при вимірюванні величин. Але якщо при вимірюванні з'являються числа, відмінні від натуральних, то рахунок приводить тільки до чисел натуральних. Щоб вести рахунок, потрібна послідовність числівників, яка починається з одиниці і яка дозволяє здійснювати перехід від одного числівника до іншого і стільки раз, скільки це необхідно. Інакше кажучи, потрібен відрізок натурального ряду. Тому, вирішуючи завдання обґрунтування системи натуральних чисел, в першу чергу треба було відповісти на питання про те, що ж являє собою число як елемент натурального ряду. Відповідь на нього було дано в роботах двох математиків - німця Грассмана і італійця Пеано. Вони запропонували аксіоматику, в якій натуральне число обґрунтовувалося як елемент необмежено триваючої послідовності.

 

 

 

 

Розділ І. Теоретичні основи теми дослідження.

1. Історія виникнення та розвитку уявлень про натуральне число.

Числа виникли з потреби рахунку і вимірювання, і зазнали тривалий шлях історичного розвитку.

Був час, коли люди не вміли рахувати. Щоб порівняти кінцеві множини, встановлювали взаємно однозначну відповідність між даними множинами або між одною з множин і підмножиною іншої множини, тобто на цьому етапі людина сприймала чисельність предметів без їх перерахунку. Наприклад, про чисельність групи з двох предметів вона могла говорити: «Стільки ж, скільки рук у людини», про множину з п'яти предметів - «стільки ж, скільки пальців на руці». При такому способі порівнюваня множини повинні були бути одночасно доступні для огляду.

В результаті дуже довгого періоду розвитку людина прийшла до наступного етапу створення натуральних чисел - для порівняння множин стали застосовувати множини-посередники: дрібні камінчики, черепашки, пальці. Ці множини-посередники вже представляли собою зачатки поняття натурального числа, хоча і на цьому етапі число не відмежовувалася від предметів, що перераховувались: мова йшла, наприклад, про п'ять камінців, п'ять пальців, а не про число «п'ять» взагалі. Назви множин-посередників стали використовувати для визначення чисельності множин, які з ними порівнювалися. Так, у деяких племен чисельність множини, що складається з п'яти елементів, позначалася словом «рука», а чисельність множини з 20 предметів - словами «вся людина».

Тільки після того як людина навчилася оперувати множинами-посередниками, встановила те спільне, що існує, наприклад, між п'ятьма пальцями і п'ятьма яблуками, тобто коли відбувся відхід від природи елементів множин-посередників, виникло уявлення про натуральне число. На цьому етапі при рахунку, наприклад, яблук, не перераховувалися вже «одне яблуко», «два яблука» і т.д., а казали слова «один», «два» і т.д. Це був найважливіший етап в розвитку поняття числа. Історики вважають, що сталося це в кам'яному віці, в епоху первіснообщинного ладу, приблизно в 10-5 тисячолітті до н.е.

З часом люди навчилися не тільки називати числа, але і позначати їх, а також виконувати над ними дії. Взагалі натуральний ряд чисел виник не відразу, історія його формування тривала. Запас чисел, які вживали, ведучи рахунок, збільшувався поступово. Поступово склалося і уявлення про нескінченність множини натуральних чисел. Так, в роботі «Псамміт» давньогрецький математик Архімед показав, що ряд чисел може бути продовжений нескінченно, і описав спосіб утворення і словесного позначення як завгодно великих чисел.

Виникнення поняття натурального числа було найважливішим моментом у розвитку математики. З'явилася можливість вивчати ці числа незалежно від тих конкретних завдань, у зв'язку з якими вони виникли. Теоретична наука, яка стала вивчати числа і дії над ними, отримала назву «арифметика». Слово «арифметика» походить від грецького arithmos, що означає «число». Отже, арифметика - це наука про число.

Арифметика виникла в країнах Стародавнього Сходу: Вавилоні, Китаї, Індії та Єгипті. Накопичені в цих країнах математичні знання були розвинені і продовжені вченими Древньої Греції. У середні віки великий внесок у розвиток арифметики внесли математики Індії, країн арабського світу та Середньої Азії, а починаючи з XIII століття - європейські вчені.

Термін «натуральне число» вперше вжив у V ст. римський вчений А.Боецій, який відомий як перекладач робіт відомих математиків минулого на латинську мову і як автор книги «Про введення в арифметику», яка до XVI століття була зразком для всієї європейської математики.

У другій половині XIX століття натуральні числа виявилися фундаментом всієї математичної науки, від стану якого залежала і міцність всієї будівлі математики. У зв'язку з цим з'явилася необхідність в строгому логічному обгрунтуванні поняття натурального числа, в систематизації того, що з ним пов'язано. Так як математика XIX століття перейшла до аксіоматичної побудови своїх теорій, то була розроблена аксіоматична теорія натурального числа. Великий вплив на дослідження природи натурального числа зробила і створена в XIX столітті теорія множин. Звичайно, в створених теоріях поняття натурального числа і дій над ними отримали велику абстрактність, але цим завжди супроводжується процес узагальнення та систематизації окремих фактів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Загальні відомості про натуральні числа.

Натуральні числа 1,2,3,… - це числа, що використовуються для рахування  предметів або для вказування порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів. Будь-яке натуральне число можна  записати за допомогою десяти арабських  цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 0 не є натуральним  числом.

 Для читання натуральних  чисел їх розбивають, починаючи  справа, на групи по три цифри  в кожній. Три перші цифри праворуч  складають клас одиниць, три  наступні – клас тисяч, потім йдуть класи мільйонів, мільярдів і т.д. Кожна із цифр класу називається його розрядом.

 Із двох натуральних  чисел менше те, яке при підрахунку називають раніше. Наприклад, число 8 менше від 12 (записують так: 8 < 12). Коли одне число більше другого, це записують так: 386 > 99. Найменшим  натуральним числом є одиниця . Найбільшого натурального числа не існує. Множину натуральних чисел позначають символом N.

До арифметичних операцій над натуральними числами прийнято відносити такі операції:

• Додавання: доданок + доданок = сума.
• Множення: множник · множник = добуток.
• Віднімання: зменшуване - від'ємник = різниця. При цьому, щоб результат також був натуральним числом, зменшуване повинно бути більшим за від'ємник, але вони також можуть бути рівними. За означенням,

, якщо.

• Ділення: ділене : дільник = частка. За означенням, , якщо . У багатьох випадках ділення виводить за межі множини натуральних і навіть цілих чисел. Тому запроваджується також інша операція.
• Ділення з остачею: ділене : дільник = (частка, остача). За означенням, ділене = a, дільник = b, частка = q, остача = r, якщо,. Така дія над натуральними числами завжди здійсненна й однозначна, хоча можливі значення для частки й остачі — це натуральні числа та 0.

Операції додавання та множення є основними, а інші означаються  через них, як описано вище; це характерно для будь-яких математичних структур з аналогічними операціями. Зазначимо  також, що додавання та множення є  замкненими операціями у множині  натуральних чисел, оскільки вони завжди дають у результаті натуральне число (якщо були здійснені над натуральними числами); цього не можна сказати про віднімання та ділення.

Основні властивості:

Комутативність додавання:

Комутативність множення:

Асоціативність додавання:

Асоціативність множення:

Дистрибутивність множення відносно додавання:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Задачі пов’язані з натуральними числами, їх види, способи розв’язання та класифікація.

Задачі, що розв’язують за допомогою додавання. Для свідомого розв’язання арифметичних задач учні повинні перш за все повторити ті питання, на які відповідає кожна із чотирьох арифметичних дій, в данному випадку дія додавання.

Вчитель може запропонувати учням скласти просту задачу, розв’язання якої  вимагає застосування однієї дії додавання. У більшості випадків учнів це не затруднить і вони запропонують питання, що потребують застосування додавання: 1) в тому випадку, коли дані частини потрібно з’єднати в одне ціле і 2) в тому випадку, коли дія додавання застосовується для збільшення даного числа на декілька одиниць.

Вчитель підкреслює обидва питання, на які відповідає дія додавання.

Задачі, що розв’язують  за допомогою віднімання.

Задача 1. В класс принесли 37 підручників і з них роздано в перший день 12. Скільки підручників залишилось нерозданими?

Задача 2. В одному класі 37 підручників, в другому на 12 підручників менше. Скільки підручників у другому класі. І в першій і в другій задачах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ ІІ. Методика навчання учнів натуральним числам та діям над ними.

1. Місце теми в програмі. Вимоги до знань, умінь та навичок учнів.

Опрацювання понять про натуральне число і арифметичні дії проводиться  протягом усього навчання в початкових і в п’ятому класах, подільність натуральних чисел вивчають в шостому класі безпосередньо перед її застосуванням під час вивчення звичайних дробів. Ставляться завдання сформувати в учнів уявлення про натуральні числа; домогтися усвідомлення математичних понять і арифметичних дій, знання таблиць кожної дії та прийомів усного й письмового виконання дій; виробити міцні обчислювальні навички. На основі правил порядку виконання дій та властивостей арифметичних дій учні повинні вміти знаходити значення числових виразів, у тому числі виразів з дужками на багато операції.

Робота над нумерацією та арифметичними діями будується в початкових класах концентрично. Програмою намічена система поступового розширення області чисел, що розглядаються: перший десяток, другий десяток, сотня, тисяча, багатоцифрові числа (в межах мільйона). У межах першого і другого десятків розглядаються лише дії додавання і віднімання (табличні випадки та випадки, пов'язані з нумерацією чисел), а в межах решти концентрів — усі арифметичні дії. Принцип "концентричності" переважно стосується нумерації і арифметичних дій. Інші питання програми вивчаються за лінійним принципом. Тому точніше буде сказати, що програмовий матеріал вивчається за концентрично-лінійним принципом. Навчання починається з невеликих чисел. Числова область поступово розширюється, і вводяться нові поняття. Така побудова курсу забезпечує систематичне повторення і поглиблення знань і вмінь, відповідає психологічному розвитку учнів. Особливо вона корисна для формування поняття про систему числення.