Методика розвязування задач на рух

Перший  спосіб:

1) 18 • 2 = 36 (км) - проїхав до зустрічі другий велосипедист;

2) 66 - 36 = 30 (км) - проїхав до зустрічі перший велосипедист;

3) 30 : 2 = 15 (км за годину) - швидкість першого велосипедиста.

Другий  спосіб:

1) 66 : 2 = 33 (км) - зближувались велосипедисти за годину;

2) 33 - 18 = 15 (км за годину) - швидкість першого велосипедиста.

Але разом  з тим практичний досвід свідчить, що здійснення такого підходу спричиняє значні утруднення для деяких груп учнів. Їм важко усвідомити одразу всі види задач. Бракує й часу, адже на уроці потрібно розглянути п'ять розв'язків, оскільки задачі необхідно розв'язати кількома способами.

Заслуговує на увагу досвід послідовного введення задач. Спочатку на двох-трьох уроках опрацьовується перший вид задач. На основі цього виду на наступних уроках вводяться послідовно другий і третій види задач. Розглянемо такий підхід на конкретних задачах.

Задача. З двох міст одночасно назустріч один одному виїхали велосипедист і мотоцикліст, які зустрілися через 3 год. Швидкість велосипедиста 12 км/год, а мотоцикліста 50 км/год. Яка відстань між містами?

Повторюючи  задачу, вчитель спирається на таку ілюстрацію (рис. 7).

Рис. 7

Аналіз проводиться від числових даних.

Що відомо про рух велосипедиста? (Швидкість  і час руху).

Що можна  знайти? (Відстань, яку проїхав велосипедист до зустрічі).

Що відомо про рух мотоцикліста і що можна знайти? (Відомі швидкість і час, можна знайти відстань).

Чи можна знайти відстань між  містами? Повідомити план розв'язування задачі і записати розв'язання.

Розв'язання

1) 12 • 3 = 36 (км) - проїхав велосипедист;

2) 50 • 3 - 150 (км) - проїхав мотоцикліст;

3) 36 + 150 = 186 (км) - відстань між містами.

Після повторення розв'язання вчитель повідомляє, що задачу можна розв'язати іншим  способом.

Спробуємо знайти другий спосіб розв'язування задачі. Велосипедист і мотоцикліст рухалися 3 год. Чи можна знайти, на скільки кілометрів зближувалися велосипедист і мотоцикліст за одну годину? (Можна. Для цього треба додати відстані, які пройшли за годину окремо велосипедист і мотоцикліст). Велосипедист і мотоцикліст зближувалися 3 год. Як знайти відстань, яку вони подолали за цей час?

Розв'язання

1) 12 + 50 = 62 (км) - зближувалися велосипедист і мотоцикліст за годину;

2) 62 • 3 = 186 (км) - відстань між містами.

Підсумовуючи розв'язання задачі другим способом, учитель звертає увагу  на те, що велосипедист і мотоцикліст  проїхали 3 рази по 62 км.

На уроці присвяченому розгляду задач другого виду, спочатку учні розв'язують задачі першого виду.

Задача. Дві велосипедні команди  виїхали одночасно з двох селищ  назустріч одна одній і зустрілися через 2 год. Перша команда їхала з швидкістю 12 км/год, а друга 13 км/год. Знайти відстань між селищами.

Вивчення, аналіз і розв'язання задачі відбуваються з опорою на графічну ілюстрацію (рис. 8).

Рис. 8

Розв'язавши задачу, учні дістали, що відстань між селищами 50 км. Учитель. Складемо обернену задачу на знаходження швидкості другої команди (рис. 9).

Рис. 9

Задача. Дві велосипедні команди  виїхали одночасно з двох селищ  назустріч одна одній і зустрілися через 2 год. Відстань між селищами 50 км. Перша команда їхала з швидкістю 12 км/год. З якою швидкістю рухалася друга команда?

Колективно учні знаходять 2 способи  розв'язування задачі.

Перший спосіб

1) 12 • 2 = 24 (км) - проїхала до зустрічі перша команда;

2) 50 - 24 = 26 (км) - проїхала до зустрічі друга команда;

3) 26 : 2 = 13 (км/год) - швидкість другої команди.

Другий спосіб

1) 50 : 2 = 25 (км) - зближувалися команди за годину;

2) 25 - 12 = 13 (км/год) - швидкість другої команди

Аналогічно опрацьовується задача на знаходження часу руху тіл.

Розглянемо методику розв'язання задач  на рух у протилежних напрямках.

При опрацюванні нових задач не обов'язково проводити їх аналіз до повного складання плану розв'язування. Іноді досить методом бесіди з'ясувати істотну особливість задачі, а далі учні аналізують задачу самостійно. Проілюструємо сказане на задачі про рух у протилежних напрямах.

Підготовчі завдання

1) З міст А і В назустріч один одному вийшли два пішоходи. Перший йшов з швидкістю 5 км/год, а другий 4 км/год (рис. 10).

Рис. 10

Спираючись на малюнок, відповісти на такі запитання: Пішоходи рухаються  в одному напрямі чи в протилежних напрямках? Зближуються чи віддаляються пішоходи?

 

2) На рисунку 11

Рис.11

показано, що два Інші пішоходи рухаються  так само швидко, як і в першому випадку. Розглянути уважно малюнок і відповісти на ті самі запитання, що й в першому випадку.

Порівняти, як змінюється відстань між пішоходами за 1 годину в кожному випадку.

Учитель. В обох випадках пішоходи рухаються в протилежних напрямах, але в першому вони зближуються, а в другом віддаляються. Задачі першого виду називають задачами на зустрічний рух, а другого - на рух в протилежних напрямах. Задачі на зустрічний рух ми вже розв'язували, сьогодні розв'яжемо задачу на рух в протилежних напрямах.

Пояснення нового матеріалу

Задача. З двох автовокзалів, відстань між якими 40 км, одночасно вирушили в протилежних напрямах два автобуси. Яка відстань буде між ними через 2 год, якщо швидкість першого 60 км/год, а другого 70 км/год?

На рисунку 12

Рис.12

подано схематичний запис задачі.

Повторимо задачу за малюнком. Нам  треба знайти відстань між автобусами через 2 год. їхнього спільного руху. З яких трьох частин складається шукана відстань? (З відстані між автовокзалами і відстаней, що їх подолає кожен з автобусів).

На цьому вчитель припиняє аналіз задачі і пропонує учням подумати, як знайти невідомі частини шуканої відстані, і самостійно скласти план розв'язування всієї задачі.

У ході перевірки  правильності плану розв'язування вчитель  виявляє, чи всі учні класу зрозуміли  його, а потім пропонує одному з  учнів записати розв'язання задачі (з коментуванням) на дошці.

Для первинного закріплення можна розв'язати  на цьому уроці ту саму задачу, але  з іншими швидкостями. Якщо часу буде достатньо, то варто розглянути обидва способи розв'язування задачі.

Метод зв'язної  розповіді. Пояснення розв'язання задач  вчителем найчастіше застосовується для розгляду задач підвищеної трудності; задач, в яких йдеться про малознайомі учням факти чи явища; задач з буквеними даними тощо.

У ході закріплення  вмінь розв'язувати задачі на зустрічний рух та рух у протилежних напрямах варто практикувати різні творчі завдання. Бажано добиватися, щоб учні вміли самостійно складати за числовими даними задачі кожного виду.

 

Розділ 2. Розв’язування складених задач на рух

2.1. Приклади  розв’язування задач на зустрічний рух

Задача 1. Відстань між пунктами А і В - 18 км. З пункту А у напрямку до пункту В вийшов турист, а через 20 хвилин йому назустріч з пункту В вийшов другий турист, а ще через 1 годину 39 хвилин вони зустрілися. Якщо б вони вийшли одночасно, то зустріч відбулася б через 1 годину 48 хвилин. Знайти швидкості обох туристів.

Для розв'язування цієї задачі необхідно скласти систему  з двох рівнянь. Наведемо приклади завдань, які можна скласти для учнів 4 (3) класів на основі цієї задачі.

Задача 1.1. Відстань між пунктами А і В  складає 18 км. З пункту А у напрямку до пункту В вийшов турист, а другий турист одночасно вийшов йому назустріч з пункту В. Через який час зустрінуться туристи, якщо їх швидкості однакові і дорівнюють 3 км/год?

Графічна  ілюстрація буде опорою під час аналізу  задачі. Прапорець позначає місце зустрічі.

Аналіз можна провести від числових даних. Питання до учнів:

З якою швидкістю  рухалися туристи?

На скільки  кілометрів наближаються туристи один до одного за 1 годину?

Яка швидкість  зближення?

Що відомо про відстань АВ?

Чи можна знайти, через який час  зустрінуться туристи?

Розв'язання:

1) 3 + 3 = 6 (км/год) - швидкість зближення туристів;

2) 18:6 = 3 (год) - час, через який зустрінуться туристи.

Задача 1.2. Відстань між пунктами А  та В складає 28 км. З пункту А до пункту В вийшов турист зі швидкістю 3 км/год, а з пункту В назустріч йому вийшов одночасно другий турист зі швидкістю 4 км/год. На якій відстані від пункту А зустрінуться туристи?

Графічна схема умови задачі:

Питання до учнів аналогічні тим, що були для попередньої задачі. Розв'язання;

1) 3 +4 = 7 (км/год) - швидкість зближення;

2) 28 : 7 = 4 (год) - час до зустрічі;

3) 3 • 4 = 12 (км) - відстань від пункту А, на якій зустрілися туристи.

Задача 1.3. Відстань між пунктами А  та В складає 24 км. З пункту А до пункту В вийшов турист зі швидкістю 3 км/год, а з пункту В йому назустріч через одну годину вийшов другий турист зі швидкістю 4 км/год. Через який час після виходу другого туриста має відбутися їхня зустріч?

Графічна схема умови задачі:

Запитання до учнів під час аналізу задачі можуть бути такими:

Що відомо про відстань АВ?

Скільки кілометрів пройшов перший турист до виходу другого?

Як ви це знайшли?

Яку відстань залишилося пройти обом туристам до зустрічі?

Які швидкості туристів?

На скільки кілометрів зближуються туристи за одну годину?

Якщо будете знати швидкість  зближення і відстань, яку залишилося пройти до зустрічі, що знайдете?

Учні складають план розв'язування задачі і записують розв'язання.

Розв'язання:

1) 3 • 1 = 3 (км) - пройшов перший турист до виходу другого;

2) 24 - 3 = 21 (км) - залишилося пройти обом до зустрічі;

3) 3 + 4 = 7 (км/год) - швидкість зближення;

4) 21 : 7 = 3 (год) - через такий час після виходу другого туриста відбудеться зустріч.

Задача 1.4. З пункту А до пункту В  вийшов турист зі швидкістю 3 км/год, а через одну годину йому назустріч вийшов з пункту В другий турист з такою ж швидкістю. Зустріч туристів відбулася через 4 години після виходу другого туриста. Яка відстань між пунктами А і В?

Графічна ілюстрація до задачі:

Під час аналізу задачі з учнями вчитель звертає їхню увагу на те, скільки часу рухався перший турист до виходу другого, скільки часу він взагалі рухався, скільки часу рухався другий турист і якою була їхня швидкість.

Школярів слід підвести до можливості розв'язування задачі двома способами.

Розв'язання:

I спосіб: 3 • (1 + 4) + 3 • 4 = 27 (км);

II спосіб: 3 + (3 + 3) • 4 = 3 + 24 + 27 (км).

У ході розв'язування задач 1.1 - 1.4 формуються такі поняття як "швидкість зближення" та "час зближення" за умов як одночасного, так і неодночасного виходу назустріч двох туристів (двох машин тощо) за однакових чи різних швидкостей руху.

Виконання вправ на зближення доцільно поєднувати з виконанням на "розходження" ("віддалення"), наприклад, з однією із таких задач, як (Математика-4): "Два  літаки одночасно вилетіли з аеродрому  в протилежних напрямках. Через  півгодини після вильоту відстань між ними була 720 км. Перший літак летів зі швидкістю 15 км/хв. З якою швидкістю летів другий літак?"

Графічна схема до цієї задачі:

Запитання до учнів під час аналізу  задачі:

Що відомо про рух першого  літака і що можна знайти?

Яка відстань між літаками через  півгодини після вильоту?

Чи можна знайти відстань, яку  пролетів другий літак?

Яке запитання в задачі?

Як зможете на нього відповісти?

Розв'язання:

1) 15 • 30 = 450 (км) - пролетів перший літак;

2) 720 - 450 = 270 (км) - пролетів другий літак;

3) 270 : 30 = 9 (км/хв) - швидкість другого літака.

 

2.2. Приклади розв’язування  задач на рух в одному напрямку

Задача 2. З селища А у напрямку до селища В виїхав вантажний автомобіль, а через одну годину вслід за ним з селища А виїхав легковий автомобіль, швидкість якого була на 12 км/год більша за швидкість вантажного. Легковий автомобіль наздогнав вантажний під час в'їзду в селище В. Знайти швидкість кожного автомобіля, якщо відстань між селищами А та В складає 240 км.

Задача 2.1. Два автомобілі водночас виїхали з одного пункту і в одному напрямку. Швидкість першого - 60 км/год, швидкість другого - 48 км/год. Яка відстань буде між ними через 1 год, 2 год, 3 год?

Розв'язуючи цю задачу, учні мають  зрозуміти, що за одну годину перший автомобіль випередить другий на 12 км, за 2 год - на (12 • 2) км, за 3 год на (12 • 3)км.

Задача 2.2 За який час легковий автомобіль наздожене вантажний, якщо відстань між ними 48 км, а швидкість легкового  автомобіля більша за швидкість вантажного на 12 км/год?

Графічна ілюстрація до задачі:

Увагу школярів слід звернути на те, що легковий автомобіль наздоганяє вантажний  за кожну годину на 12 км, а треба наздогнати 48 км, що потребує 48: 12 = 4(год).

Задача 2.3. З селища А у напрямку до селища В одночасно виїхали легковий автомобіль зі швидкістю 60 км/год та вантажний, швидкість якого менша за швидкість легкового автомобіля на 12 км/год. Якою буде відстань між обома автомобілями через 4 години з початку руху?

Графічна схема задачі:

Розв'язання: 12 • 4 = 48 (км).

Необхідно, щоб учні зрозуміли, що, не дивлячись на те, що в задачі 2.3 одна машина випереджає другу, а в  задачі 2.2 легковий автомобіль наздоганяє вантажний, за розв'язанням вони взаємообернені і 12 км/год в задачі 2.2 - швидкість зближення, а в задачі 2.3 - це швидкість віддалення машин. 60 км/год -"зайве" число задачі 2.3 за наведеного способу розв'язання.

Задача 2.4 З селища А у напрямку до селища виїхав вантажний автомобіль зі швидкістю 48 км/год, через одну годину з селища А у тому ж напрямку виїхав легковий автомобіль, який наздогнав вантажний на відстані 240 км від селища А. Якою була швидкість легкового автомобіля?

Графічна схема умови задачі: