Автор: Пользователь скрыл имя, 19 Октября 2011 в 21:36, курсовая работа
Для решения уравнений третьей и четвертой степеней мы хотим предложить вам метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:
два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;
любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей;
любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов второй степени.
1. О методе неопределенных коэффициентов 3
2. Функциональные уравнения и метод неопределенных коэффициентов 4
3. Использование метода неопределенных коэффициентов при выполнении тождественных преобразований выражений 12
1) Расположение многочлена по степеням 12
2) Представление произведения в виде многочлена стандартного вида 12
Разложение многочлена на множители 13
Упрощение выражений 13
Избавление от иррациональности в знаменателе 14
О решении одного класса кубических уравнений 15
4. Заключение 16
5. Список используемой литературы 17
2ab = - 40.
Решая данную систему уравнений, получим а = 5, b = - 4. Значит,
√57 – 40 √2 = √(5 – 4√2)2 = 5 - 4√2 = 4 √2 – 5, так как 5 - 4√2 < 0.
5) Избавление иррациональности в знаменателе
Задание 5. Избавимся от иррациональности в знаменателе: 2
1 - 3√3 - 3√9
Р е ш е н и е. Положим 2 = а + b3√3 - c3√9, откуда
1 - 3√3 - 3√9
(1 - 3√3 - 3√9)(а + b3√3 + c3√9) = 2, или
(а –3b – 3c) + (b – a – 3c) 3√3 + (c – a – b)3√9 =2.
Отсюда a – 3b – 3c = 2,
b – a – 3c = 0,
c – a – b = 0.
Решая систему, имеем а = 1 , b = - 2 и с = - 1
5 5 5
Следовательно, 2 = 1 × (1 + 23√3 - c3√9).
1 - 3√3 - 3√9 5
6) О решении одного класса кубических уравнений
Пусть дано кубическое уравнение а1х3 + b1x2 + c1x + d1 = 0 (a1 ¹ 0).
Приведем это уравнение к виду
х3 + ах2 + bx + с = 0, (1)
где a = b1 , b = c1 , c = d1
a1 a1 a1
Положим в уравнении (1) x = y – m. Тогда
y3 + y2(a + 3m) + y(3m2 + 2am + b) + m3 + am2 + bm + с = 0. (2)
Для того чтобы уравнение (2) было двучленным, должно выполняться условие: а + 3m = 0,
b + 2am + 3m2 = 0.
Решения этой системы: m = - а , a2 = 3 b,
3
уравнение (1) постановкой x = y – a можно привести к двучленному
3
уравнению
третьей степени.
Задание 6. Решим уравнение х2 + 3х2 + 3х – 9 = 0.
Р е
ш е н и е. Подстановкой х = у
– 1 данное уравнение приводится к
двучленному уравнению третьей
степени (так как условие а2
= 3b выполняется): у2 – 10 = 0, откуда
у = 3√10 и х = 3√10 – 1.
4. Заключение
Приведенные выше задачи можно решить и другими методами. Но наша задача – показать универсальность метода неопределенных коэффициентов.
5. Список используемой литературы
1.Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г.
Толковый словарь математических терминов. – М.: Просвещение, 1971.
2. Гомонов С.А. Функциональные уравнения в школьном курсе математики // Математика в школе. – 2000. - №10.
3. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Функциональные уравнения. – Киев: Вища школа, 1983.
4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения. – СПб.: Лань, 1997.
5. Сефибеков С.Р. Внеклассная работа по математике: Кн. для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1988.