Метод неопределенных коэффициентов

¦(¦(x)) = ¦  (¹/_n + √x)²  =  ¹/_n + √ (¹/_n + √x)^{2 2} =     ²/_n + √x ² . 

Для композиции двух функций (n=2) предположение выполняется.

Предположим, что  k, k=3, …, n –1, равенство                

¦(¦(…¦(x)…)) = (^k/_n + √x)²        (11)

                  _k

выполняется для всех x ³ 0. Тогда

 

¦(¦(…¦(x)…)) = ¦  ¦(…¦(x)…)  = ¦ (^k/_n + √x)²    =   ¹/_n + √ (^k/_n + √x)^{2   2} =  

          _{k + 1                                  k}

= (^{k + 1}/_n + √x)², 

т.е. равенство (11) выполняется, если функция ¦ применяется k+1 раз. В силу метода математической индукции равенство (11) выполняется при всех  k=1, 2, …, n. Если k = n, то из этого равенства получаем равенство (9).

О т в  е т: ¦(x) = (¹/_n + √x)²

Задача 7. Найдите все функции ¦: R → R, являющиеся решениями функционального уравнения

¦(p + x) - ¦(p – x) = 4px,   (12)

где p – произвольное фиксированное число.

Р е  ш е н и е. Методом неопределенных коэффициентов легко установить, что квадратичные функции  g(x) = ax² + 2(1 – a)px + c, где a и с – произвольные действительные числа, являются решениями уравнения.

Для исследования вопроса о существовании других решений уравнения предположим, что ¦(x) – его произвольное решение. Пусть j(x) = ¦(x) – g(x). Тогда, подставляя функцию ¦(x) = g(x) + j(x) в уравнение (12), получим тождество:

(g(p + x) – g(p – x) + (j(p + x) – j(p – x)) = 4px, из которого следует, что функция j должна быть решением функционального уравнения

     j(p + x) – j(p - x) = 0.

Решением  этого уравнения является функция j(х) = Ф(х – р), где Ф – произвольная четная функция:

j(р + х) – j(р – х) = Ф((р + х) – р) – Ф((р – х) = Ф(х) – Ф(- х) = 0.

Следовательно, функциональное уравнение (12) имеет множество решений

¦(х) = ах² + 2(1 – а)рх + с + Ф(х – р), где а, с – произвольные действительные числа, Ф(х) – четная функция.

О т в  е т: ¦(х) = ах² + 2(1 – а)рх + с + Ф(х – р),

     а , с – произвольные действительные числа,

     Ф(х) – четная функция. 
 
 
 
 
 

 

3. Использование  метода неопределенных  коэффициентов при  выполнении тождественных  преобразований выражений 

Рассмотрим  примеры, иллюстрирующие использование  метода неопределенных коэффициентов  в школьном курсе математики.

1) Расположение многочлена по степеням.

 Возьмем функцию ¦(х) = a₀ + a₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ. Поставим перед собой задачу «расположить многочлен ¦(х) по степеням (х – х₀)»:

      ¦(х) = a₀ + a₁(х – х₀)+ a₂(x - х₀)² +…+ a_n(x - х₀)ⁿ.

 Задача  сводится к отысканию неизвестных  коэффициентов a₀, a₁, a₂, …, a_n. В каждом конкретном случае эти числа найти легко. Действительно, расположим многочлены, находящиеся в левой и правой частях равенства, по степенях х. Так как мы имеем тождество, то коэффициенты при одинаковых степенях х должны быть равны между собой. Приравняв коэффициенты правой части соответствующим заданным коэффициентам левой, мы придем к системе  n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными  a₀, a₁, a₂, …, a_n, которую и остается решить.

 Задание 1. Расположите многочлен ¦(х) = х⁴ + 2х³ – 3х² – 4х + 1 по степеням х + 1.

 Р  е ш е н и е. Полагаем:

 х⁴ + 2х³ – 3х² – 4х + 1 = а₄(х + 1)⁴ + а₃(х + 1)³ + а₂(х + 1)² + а₁(х + 1) + а₀

откуда  х⁴ + 2х³ – 3х² – 4х + 1 = а₄х⁴(4а₄+ а₃ )х³ + (6а₄ + 3а₃ + а₂)х² + (4а₄ + 3а₃ + 2а₂ + а₁)х + (а₄ + а₃ + а₂ + а₁ + а₀) и

   а4 = 1

                  4а4 + а3 = 2

                  6а₄ + 3а₃ + а₂ = -3

                  4а₄ + 3а₃ + 2а₂ + а₁ = -4

                  а₄ + а₃ + а₂ + а₁ + а₀ = 1. 

Из системы  находим:

  а₄ = 1, а₃ = -2, а₂ = -3, а₁ = 4, а₀ = 1.

Таким образом,

      ¦(х) = (х + 1)⁴ – 2(х + 1)³ – 3(х + 1)² + 4(х + 1) + 1.

2) Представление произведения  в виде многочлена  стандартного вида 

Задание 2. Не выполняя действий, представим в виде многочлена стандартного вида произведение

                  (х – 1)(х + 3)(х  + 5).

Р е  ш е н и е. Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен -15, тогда запишем:

            (х – 1)(х + 3)(х  + 5) = х³ + ах² + bx – 15,

где а  и b – неизвестные коэффициенты. Для вычисления их положим х = 1 и х = -3, тогда получим:

  а + b – 14 = 0,

            9а - 3b – 42 = 0.

Откуда  а = 7, b = 7. Следовательно, (х – 1)(з + 3)(х + 5) = х³ + 7х² + 7x – 15.

3) Разложение многочлена  на множители

Для квадратного  трехчлена ¦(x) = ax² + bx + c из курса алгебры известно разложение

            ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂), где х₁ и х₂ – корни трехчлена.

Для многочлена n-й степени  ¦(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n- 1} +…+a₀ имеем:

      a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n- 1} +…+a₀ = a_n(х – х₁)(х – х₂)… (х – х_n) (a_n ¹ 0),

где х₁, х₂, …, х_n – корни многочлена.

 Если  многочлен n-й степени имеет k корней (k< n), то

            ¦(x) = a_n(х – х₁)(х – х₂)… (х – х_k) g(x),

где g(x) – многочлен (n - k)-й степени. 

Задание 3. Дан многочлен х⁴ + 3х³ – 15х² – 19х +30. Разложим его на множители, если известно, что все его корни – целые числа.

Р е  ш е н и е. Будем искать разложение в виде

      х⁴ + 3х³ – 15х² – 19х +30 = (х – а)(х – b)(x – c)(x – d),

полагая числа а, b, c, d его корнями. Раскрывая скобки в правой части, имеем:

      х⁴ + 3х³ – 15х² – 19х +30 = x⁴ – (a + b +с + d)x³ + (ab + ac + ad + bc + bd + cd)x² – (abc + abd + acd +bcd)x + abcd.

 Откуда 

                  a + b +с + d = -3

                  ab + ac + ad + bc + bd + cd = -15

                  abc + abd + acd +bcd = 19    (1)

                  abcd = 30. 

Решим систему (1), рассуждая следующим  образом. Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел  ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30. Проведя испытания, установим. Что корни нашего многочлена  -2, -5, 1 и 3. Следовательно,

            х⁴ + 3х³ – 15х² – 19х +30 = (х – 1)(х – 3)(x + 2)(x +5). 

4) Упрощение выражений

Задание 4. Разность √|40√2 - 57| - √40 √2 +57 является целым числом. Найдем это число.

Р е ш е н и е. Так как 40√2 – 57 < 0, то |40√2 - 57| = 57 - 40 √2 . Тогда

А = √ |40√2 - 57| - √ 40 √2 +57 = √57 – 40 √2  - √57 + 40 √2 .

Положим 57 - 40√2 = (а + b√2)², где а и b – неизвестные коэффициенты. Тогда 57 - 40√2 = а² + b² + 2√2ab, откуда

     a² + 2b² = 57